离散数学屈婉玲课后习题答案.docx
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离散数学屈婉玲课后习题答案
离散数学屈婉玲课后习题答案
【篇一：
离散数学第四版课后答案】
xt>第1章习题解答
1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，
（1），
（2），（8），（9），
（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，
所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为
（1），
（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们
都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，
（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来
的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许
多表述法，例如，“虽然?
?
，但是?
?
”、“不仅?
?
，而且?
?
”、“一面?
?
，
一面?
?
”、“?
?
和?
?
”、“?
?
与?
?
”等。
但要注意，有时“和”或“与”
联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结
的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或
“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2
（1）p:
2是无理数，p为真命题。
（2）p:
5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:
2是素数，q：
三角形有三条边。
由于p与q都是真
命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：
雪是黑色的，q：
太阳从东方升起。
由于p为假命
题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:
2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不
知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：
太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1
（10）p：
小李在宿舍里.p的真值则具体情况而定，是确定的。
（12）p∨q，其中，p:
4是偶数，q:
4是奇数。
由于q是假命题，所以，q
为假命题，p∨q为真命题。
（13）p∨q，其中，p:
4是偶数，q:
4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q
为假命题。
（14）p：
李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。
（15）p：
蓝色和黄色可以调配成绿色。
这是真命题。
分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不
能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。
1．3令p:
2+2=4,q:
3+3=6,则以下命题分别符号化为
（1）p→q
（2）p→?
q
（3）?
p→q
（4）?
p→?
q
（5）p?
q
（6）p?
?
q
（7）?
p→q
（8）?
p?
?
q
以上命题中，
（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。
分析本题要求读者记住p→q及p?
q的真值情况。
p→q为假当且仅当
p为真,q为假,而p?
q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，
在4个蕴含式中，只有
（2）p→r，其中，p同
（1），r：
明天为3号。
在这里，当p为真时，r一定为假，p→r为假，当p为假时，无论r为真
还是为假，p→r为真。
2
1．5
（1）p∧q，其中，p：
2是偶数，q：
2是素数。
此命题为真命题。
（2）p∧q，其中，p：
小王聪明，q：
小王用功
（3）p∧q，其中，p：
天气冷，q：
老王来了
（4）p∧q，其中，p：
他吃饭，q：
他看电视
（5）p∧q，其中，p：
天下大雨，q：
他乘公共汽车上班
（6）p→q，其中，p，q的含义同（5）
（7）p→q，其中，p，q的含义同（5）
（8）?
p?
?
q，其中，p：
经一事，q：
长一智
这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。
在符号化时，应该注意，不要将联结
词部分放入简单命题中。
例如，在
（2）中，不能这样写简单命题：
p：
小王不但
聪明，q：
小王而且用功。
在（4）中不能这样写：
p：
他一边吃饭，q：
他一边
看电视。
关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
p→q所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要
条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。
例如，“因为p，所以q”，“只要p，
就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则?
p”“没有q，就没有p”等都表
达了q是p的必要条件，因而都符号化为p→q或?
p?
?
q的蕴含式。
在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为p→q，而在（6）（7）中，
p成了q的必要条件，因而符号化为q→p。
在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符
号化为蕴含式。
1．6
（1），
（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。
3
001，?
，111题中指派p,q为0,r为1，于是就是考查001是该公式p∧（q∧r）的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。
1.7
（1），
（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。
一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。
（1）对
（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法
表1.2给出了
（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，
（1）为重言式。
p∨q∨rp→（p∨q∨r）
pqr
00001
00111
01011
01111
10011
10111
11011
11111
等值演算法
p→（p∨q∨r）
?
?
p∨（p∨p∨r）（蕴含等值式）
?
（?
p∨p）∨p∨r（结合律）
?
1∨q∨r（排中律）
?
1（零律）
4
【篇二：
离散数学_屈婉玲_耿素云_张立昂_主编_高等教育出版社_课后最全答案】
t>课后练习题答案
1.将下列命题符号化，并指出真值：
（1）p∧q,其中，p:
2是素数，q:
5是素数,真值为1；
（2）p∧q,其中，p:
是无理数，q:
自然对数的底e是无理数,真值为1；
（3）p∧┐q,其中，p:
2是最小的素数，q:
2是最小的自然数,真值为1；
（4）p∧q,其中，p:
3是素数，q:
3是偶数,真值为0；
（5）┐p∧┐q,其中，p:
4是素数，q:
4是偶数,真值为0.
2.将下列命题符号化，并指出真值：
（1）p∨q,其中，p:
2是偶数，q:
3是偶数,真值为1；
（2）p∨q,其中，p:
2是偶数，q:
4是偶数,真值为1；
（3）p∨┐q,其中，p:
3是偶数，q:
4是偶数,真值为0；
（4）p∨q,其中，p:
3是偶数，q:
4是偶数,真值为1；
（5）┐p∨┐q,其中，p:
3是偶数，q:
4是偶数,真值为0；
3.
（1）（┐p∧q）∨（p∧┐q）,其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：
小丽从筐里拿一个梨；
（2）（p∧┐q）∨（┐p∧q）,其中，p：
刘晓月选学英语，q：
刘晓月选学日语；.
4.因为p与q不能同时为真.
5.设p:
今天是星期一，q:
明天是星期二，r:
明天是星期三：
（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；
（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；
（3）pq，真值为1；
（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.
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第二章命题逻辑等值演算
本章自测答案
5.
（1）：
∨∨,成真赋值为00、10、11；
（2）：
0，矛盾式，无成真赋值；
（3）：
7.
（1）：
（2）：
8.
（1）：
1?
（2）：
（3）：
11.
（1）：
（2）：
∨∨∨∨∧?
∨∧∧∨∧∧∨.∧∨∧∨；?
1；∨∧∨?
∧∨∨∧∨∨∧,重言式；∨∧∨∧∨∧∨；∨∨∨∨∨∨∨?
?
∧∧∧∧∧；；∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；?
0，矛盾式.（3）：
0?
12.a?
∧∧∧∧?
∨∨.
第三章命题逻辑的推理理论
本章自测答案
6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系
（1）、（3）、（6）推理正确，其余的均不正确，下面以
（1）、
（2）为例，证明
（1）推理正确，
（2）推理不正确
（1）设p:
今天是星期一，q:
明天是星期三，推理的形式结构为
（p→q）∧p→q（记作*1）
在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.
可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取a为p,b为q时，*1为假言推理定律，即（p→q）∧p→q?
q
（2）设p:
今天是星期一，q:
明天是星期三，推理的形式结构为
（p→q）∧p→q（记作*2）
可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等
（p→q）∧q→p
?
（┐p∨q）∧q→p
?
q→p
?
┐p∨┐q
?
?
∨∨
从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.
9.设p:
a是奇数，q:
a能被2整除，r:
a：
是偶数
推理的形式结构为
（p→q┐）∧（r→q）→（r→┐p）（记为*）
可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：
（p→┐q）∧（r→q）→（r→┐p）
?
（┐p∨┐q）∨（q∨┐r）→（┐q∨┐r）（使用了交换律）
?
（p∨q）∨（┐p∧r）∨┐q∨┐r
?
（┐p∨q）∨（┐q∧┐r）
?
┐p∨（q∨┐q）∧┐r
?
1
10.设p:
a,b两数之积为负数，q:
a,b两数种恰有一个负数，r：
a，b都是负数.
推理的形式结构为
（p→q）∧┐p→（┐q∧┐r）
?
（┐p∨q）∧┐p→（┐q∧┐r）
?
┐p→（┐q∧┐r）（使用了吸收律）
?
p∨（┐q∧┐r）
?
∨∨∨
由于主析取范式中只含有5个w极小项，故推理不正确.
11.略
14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明
①p→（q→r）前提引入
②p前提引入
③q→r①②假言推理
④q前提引入
⑤r③④假言推理
⑥r∨s前提引入
（2）证明：
①┐（p∧r）前提引入
②┐q∨┐r①置换
③r前提引入
④┐q②③析取三段论
⑤p→q前提引入
⑥┐p④⑤拒取式
（3）证明：
①p→q前提引入
②┐q∨q①置换
③（┐p∨q）∧（┐p∨p）②置换
④┐p∨（q∧p③置换
⑤p→（p∨q）④置换
15.
（1）证明：
①s结论否定引入
②s→p前提引入
③p①②假言推理
④p→（q→r）前提引入
⑤q→r③④假言推论
⑥q前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
（2）证明：
①p附加前提引入
②p∨q①附加
③（p∨q）→（r∧s）前提引入
④r∧s②③假言推理
⑤s④化简
⑥s∨t⑤附加
⑦（s∨t）→u前提引入
⑧u⑥⑦拒取式
16.
（1）证明：
①p结论否定引入
②p→┐q前提引入
③┐q①②假言推理
④┐r∨q前提引入
⑤┐r③④析取三段论
⑥r∧┐s前提引入
⑦r⑥化简
⑧┐r∧r⑤⑦合取
（2）证明：
①┐（r∨s）结论否定引入
②┐r∨┐s①置换
③┐r②化简
④┐s②化简
⑤p→r前提引入
⑥┐p③⑤拒取式
⑦q→s前提引入
⑧┐q④⑦拒取式
⑨┐p∧┐q⑥⑧合取
⑩┐（p∨q）⑨置换
口p∨q前提引入
⑾①口┐（p∨q）∧（p∨q）⑩口合取
17．设p：
a到过受害者房间，q:
a在11点以前离开，r：
a犯谋杀罪，s：
看门人看见过a。
前提：
（p∧┐q）→r,p,q→s,┐s
结论：
r
证明：
①q→s前提引入
②┐s前提引入
③┐q①②拒取式
④p前提引入
⑤p∧┐q③④合取
⑥（p∧┐q）→r前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
18．
（1）设p：
今天是星期六，q：
我们要到颐和园玩，s：
颐和园游人太多。
前提：
p→（p∨r）,s→┐q,p,s
结论：
r
证明：
①s→┐q前提引入
②s前提引入
③┐q①②假言推理
④p前提引入
⑤p→（q∨r）前提引入
⑥q∨r④⑤假言推理
⑦r③⑥析取三段论
（2）设p:
小王是理科学生，q：
小王数学成绩好，r：
小王是文科学生。
前提：
p→q,┐r→p,┐q
结论：
r
证明：
①p→q前提引入
②┐q前提引入
③┐p①②拒取式
④┐r→p前提引入
⑤r③④拒取式
【篇三：
屈婉玲版离散数学课后习题答案【4】】
txt>4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：
（1）整数集合z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元
（2）非零整数集合错误！
未找到引用源。
普通的除法运算。
不封闭
（3）全体n?
n实矩阵集合错误！
未找到引用源。
（r）和矩阵加法及乘法运算，其中
n错误！
未找到引用源。
2。
封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；
加法单位元是零矩阵，无零元；
乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；
（4）全体n?
n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n错误！
未找到引用源。
2。
不封闭
（5）正实数集合错误！
未找到引用源。
和错误！
未找到引用源。
运算，其中错误！
未找到引用源。
运算定义为：
错误！
未找到引用源。
不封闭因为1?
1?
1?
1?
1?
1?
?
1?
r?
（6）n错误！
未找到引用源。
关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律
加法单位元是0，无零元；
乘法无单位元（n?
1），零元是0；n?
1单位元是1
（7）a={a1,a2,?
an}错误！
未找到引用源。
n错误！
未找到引用源。
运算定义如下：
错误！
未找到引用源。
封闭不满足交换律，满足结合律，
（8）s=错误！
未找到引用源。
关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律
（9）s={0,1},s是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律
（10）s=错误！
未找到引用源。
s关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律
5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。
见上题
7．设*为z?
错误！
未找到引用源。
上的二元运算?
x,y?
z?
，
x*y=min（x，y）,即x和y之中较小的数.
（1）求4*6，7*3。
4,3
（2）*在z上是
否适合交换律，结合律，和幂等律？
满足交换律，结合律，和幂等律
（3）求*运算的单位元，零元及z?
中所有可逆元素的逆元。
单位元无，零元1,所有元素无逆元
8．s?
q?
q?
q为有理数集，*为s上的二元运算，错误！
未找到引用源。
a,b,x,y错误！
未找到引用源。
s有
a，b*x，y=ax，ay+b
（1）*运算在s上是否可交换，可结合？
是否为幂等的？
不可交换：
x,y*a,b=xa，xb+y?
a，b*x，y
可结合：
（a,b*x,y）*c,d=ax，ay+b*c,d=axc，axd+（ay+b）
a,b*（x,y*c,d）=a,b*xc,xd+y=axc，a（xd+y）+b
（a,b*x,y）*c,d=a,b*（x,y*c,d）
不是幂等的
（2）*运算是否有单位元，零元？
如果有请指出，并求s中所有可逆元素的逆元。
设a,b是单位元，错误！
未找到引用源。
x,y错误！
未找到引用源。
s，a,b*x,y=x,y*a,b=x,y
则ax,ay+b=xa,xb+y=x,y，解的a,b=1,0，即为单位。
设a,b是零元，错误！
未找到引用源。
x,y错误！
未找到引用源。
s，a,b*x,y=x,y*a,b=a,b
则ax,ay+b=xa,xb+y=a,b，无解。
即无零元。
错误！
未找到引用源。
x,y错误！
未找到引用源。
s，设a,b是它的逆元a,b*x,y=x,y*a,b=1,0
ax,ay+b=xa,xb+y=1,0
a=1/x,b=-y/x
所以当x?
0时，?
x,y?
?
1?
1
x,?
y
x
10．令s={a，b}，s上有四个运算：
*，错误！
未找到引用源。
分别有表10.8确定。
（a）（b）（c）（d）
（1）这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？
（a）交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；
（b）满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元
a?
1?
a,b?
1?
b
（c）满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律
a?
（b?
b）
a?
（b?
b）?
a?
a?
b,?
（a?
b）?
b（a?
b）?
b?
a?
b?
a
没有单位元,没有零元
（d）不满足交换律，满足结合律和幂等律
没有单位元,没有零元
（2）求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。
见上
16．设v=〈n，+，错误！
未找到引用源。
〉，其中+，错误！
未找到引用源。
分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成v的子代数，为什么？
（1）s1=错误！
未找到引用源。
是
（2）s2=错误！
未找到引用源。
不是加法不封闭
（3）s3={-1，0，1}不是，加法不封闭
第十一章部分课后习题参考答案
8.设s={0，1，2，3}，为模4乘法，即
y=（xy）mod4?
x,y∈s,x
问〈s，〉是否构成群？
为什么？
y=（xy）mod4?
s解：
（1）?
x,y∈s,x,是s上的代数运算。
（2）?
x,y,z∈s,设xy=4k+r0
（xy）z=（（xy）mod4）?
r?
3z=rz=（rz）mod4
=（4kz+rz）mod4=（（4k+r）z）mod4=（xyz）mod4
同理x（yz）=（xyz）mod4
y）z=x1）=（1（yz），结合律成立。
所以，（x（3）?
x∈s,（x（4）1?
1?
1,3?
1x）=x,，所以1是单位元。
?
3,0和2没有逆元
所以，〈s，
〉不构成群
9.设z为整数集合，在z上定义二元运算。
如下：
?
x,y∈z,xoy=x+y-2
问z关于o运算能否构成群？
为什么？
解：
（1）?
x,y∈z,xoy=x+y-2?
（2）?
x,y,z∈z,
（xoy）oz=（x+y-2）oz=（x+y-2）+z-2=x+y+z-4
同理（xoy）oz=xo（yoz），结合律成立。
（3）设e是单位元，?
x∈z,xoe=eox=x,即x+e-2=e+x-2=x,e=2
（4）?
x∈z,设x的逆元是y,xoy=yox=e,即x+y-2=y+x-2=2,所以，x?
1?
y?
4?
xz,o是z上的代数运算。
所以〈z，o〉构成群
11.设?
?
1g=?
?
?
?
?
00?
?
?
1?
?
1?
?
?
00?
?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
00?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
00?
?
?
?
?
?
1?
?
，证明g关于矩阵乘法构成一个群．
解：
（1）?
x,y∈g,易知xy∈g,乘法是z上的代数运算。
（2）矩阵乘法满足结合律
（3）设?
?
?
1?
00?
?
?
1?
是单位元，
（4）每个矩阵的逆元都是自己。
所以g关于矩阵乘法构成一个群．
14.设g为群，且存在a∈g,使得
g={ak∣k∈z}
证明：
g是交换群。
证明:
?
x,y∈g，设x
xy?
aa?
aklk?
l?
a,l?
kky?
a?
aall，则?
yx?
?
ak
所以，g是交换群
17.设g为群，证明e为g中唯一的幂等元。
证明:
设e0
18.设g为群，a,b,c∈g,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣
证明：
先证设（abc
设（abc）k?
g也是幂等元，则e02?
e0，即e02?
e0e，由消去律知e0?
e）k?
e?
（bca）k?
e?
e,则（abc）（abc）（abc）?
（abc）?
e，
a（bc）（abc）（abc）a?
（bc）aa?
1即?
e
左边同乘a?
1，右边同乘a得
（bca）（bca）（bca）?
（bca）?
（bac）
kkk?
a?
1ea?
e反过来，设（bac）?
e,则（abc）?
e.
由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣
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