巧数图形.docx

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巧数图形

巧数图形

例题解答：

第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段．

第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段．

第三部分是FG一条线段．

第四部分是JK一条线段．

　　10＋10＋1＋1＝22（条）

答：

这幅图共有22条线段．

方法指导：

　　数线段可以根据左端点将线段分类，数出每一类有多少条线段，然后再相加得出线段的总的条数．

例3．  一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条？

　思路分析：

将这条线段上的10个点从左到右依次标为

、

、…、

、

以

为左端点的线段为

、

、

、

、

、

、

、

、

共有9条；

为左端点的线段为

、

、

、…、

，共有8条；…；以

为左端点的线段为

，只有1条；以

为左端点的线段不存在．因此，共有线段：

　9＋8＋…＋3＋2＋1

＝（9＋1）×9÷2

＝45（条）

答：

一共有45条线段．

方法指导：

　　一般地，如果线段上有几个点（其中n是大于或等于2的自然数），那么以这n个点为端点的线段共有：

（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝n×（n－1）÷2

例4．  下面图形中有几个角？

　　思路分析：

数角的个数为了不遗漏、不重复，也需要按一定的顺序去数，可以采用与数线段相同的方法．

以OA为一边的角有：

∠AOB、∠AOC、∠AOD，共3个；

以OB为一边的角有：

∠BOC、∠BOD，共2个．

以OC为一边的角有：

∠COD，只有1个．

　　3＋2＋1＝6（个）

答：

图中共有6个角．

例5．  数出下面图中共有多少个三角形？

　思路分析：

数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．

以AB为边的三角形有：

△ABD、△ABE、△ABC，共有3个．

以AD为边的三角形有：

△ADE、△ADC，共有2个．

以AE为边的三角形有：

△AEC，只有1个．

所以，图中一共有三角形：

3＋2＋1＝6（个）．

我们还可以发现，可以抓住底边BC来考虑，底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形．

底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．

底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．

底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．

所以一共有三角形：

3＋2＋1＝6（个）．

方法指导：

　　数角的个数和三角形个数这些基本图形时，所采用的方法与数线段的方法相同．即角的个数＝射线数×（射线数－1）÷2．即三角形个数就是底边上的线段数．

例6．  数一数图中共有多少个三角形？

　思路分析：

我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．

在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）三角形，

在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）三角形；

在△BDC中，一共有5个三角形．

　　15＋15＋5＝35（个）

答：

图中共有35个三角形．

例7．  图中共有多少个不同的三角形？

　思路分析：

将本题分成

（1）、

（2）两部分来数：

第

（1）部分中共有三角形：

3＋2＋1＝6（个）；第

（2）部分中共有3＋2＋1＝6（个）三角形．所以，共有三角形6＋6＝12（个）．

例8．  数出下图中共有多少个三角形？

　思路分析：

这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把图中最小的一个三角形看作基本图形．

由一个基本三角形构成的三角形共有8个；

由两个基本三角形构成的三角形共有4个；

由四个基本三角形构成的三角形共有4个．

因此：

8＋4＋4＝16（个），所以，图中共有16个三角形．

例9．  数出下面图形中共有多少个三角形？

　思路分析：

这题采用把其中最小的三角形作为一个基本图形，然后分类相加的方法．

由一个基本三角形构成的三角形共有9个；

由四个基本三角形构成的三角形共有3个；

由九个基本三角形构成的三角形只有1个．

因此9＋3＋1＝13（个），所以，图形中共有13个三角形．

例10．     下面两幅图中各有多少个长方形？

　思路分析：

（1）中长方形都是竖向的，可以利用对应的方法来数．因为每个长方形都和底边上的一条线段对应，因此用数长边上的线段条数来数长方形的个数．所以，图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10（个）．

（2）我们可用按基本图形组合的方法来数．

由一个基本长方形构成的长方形共有6个；

由两个基本长方形构成的长方形共有7个；

由三个基本长方形构成的长方形共有2个；

由四个基本长方形构成的长方形共有2个；

由六个基本长方形构成的长方形有1个；

所以，图中共有长方形6＋7＋2＋2＋1＝18（个）．

本题还可以结合数线段的方法，这题中长方形的长被分成了3段，线段总数为3＋2＋1＝6条，宽被分成了2段，线段总数为2＋1＝3（条）．由此可见，长方形的个数＝6×3＝18（个）．于是，可以整理出数长方形个数的方法：

长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以宽上的线段数．

例11．     数出各图中正方形的个数．

　思路分析：

（1）中最基本的正方形有9个，即边长为1的正方形有9个（9＝3×3）；由4个基本正方形组成的正方形，即边长为2的正方形有4个（4＝2×2）；由9个基本正方形组成的正方形，即边长为3的正方形有1个（1＝1×1）所以共有正方形9＋4＋1＝14（个）．

（2）中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；边长为2的正方形有9个，即9＝3×3；边长为3的正方形有4个，即4＝2×2；边长为4的正方形有1个，即1＝1×1．所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30（个）．因此，如果一个正方形的各边被分成几个等份，那么正方形的个数便是1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n．

方法指导：

　　正确数出图形的个数，首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个．然后再从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少．有些图形被分成了几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和．

例12．   图中共有多少个正方形？

　思路分析：

将正方形分类，将每一类的总数相加，就可得到所有正方形的个数．由两块小三角形构成的正方形有4个；由四块小三角形构成的正方形有4个；由八块小三角形构成的正方形有1个；由十六块小三角形构成的正方形有1个．由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．所以，图中共有4＋4＋1＋1＝10（个）正方形．

例13．     数出图中共有多少个正方形？

　思路分析：

根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：

第1类：

边长为1的正方形有24个；第2类：

边长为2的正方形有13个；第3类：

边长为3的正方形有4个；第4类：

边长为4的正方形有1个．

所以图中共有24＋13＋4＋1＝42（个）正方形．

这题如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（个）正方形，添上了去掉的小正方形后，这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形．

所以，图中共有30＋8＋4＝42（个）正方形．

例14．     下图中共有多少个长方形？

　思路分析：

我们可以先将大长方形中的5小块编上号：

这5块都是符合要求的长方形．

然后数由两小块拼成的长方形，共有4个，即①＋②，②＋③，③＋④，④＋⑤；再数由三小块拼成的长方形，共有2个，即①＋③＋④，③＋④＋⑤；没有由四小块拼成的长方形；最后数由5小块拼成的长方形只有最大的一个．

所以，图中共有5＋4＋2＋1＝12（个）长方形．

例15．     数出下图中共有多少个三角形？

　思路分析：

首先将大三角形中六小块分别编上号．通过观察，我们可以发现这6小块中，④和⑤不是三角形，因此，由一块形成的三角形有4个；由两块拼成的三角形有5个，即分别是①＋②，①＋③，③＋④，②＋④，⑤＋⑥；由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋③＋⑤，②＋④＋⑥；由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③＋④；没有由五块拼成的三角形；由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形．所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13（个）．

方法指导：

数长方形、正方形、三角形以及一些不规则的图形都可以采用编号数图形的方法，就是将原来图中的每一小块都编上号，先看每一小块是否符合要求的图形，接着数由两个小块相拼成的图形中有几个是符合要求的图形，再依次数由三小块、四小块……拼成的图形中各有几个是符合要求的图形，最后将每一步数得的结果加起来．