2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题01-不等式.doc

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1、（2001一试6）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（　　）．

　Ａ．2枝玫瑰价格高　　Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｃ．价格相同　　　　Ｄ．不确定

【答案】A

2、（2003一试5）已知x，y都在区间（－2，2）内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

3、（2004一试3）不等式+logx3+2>0的解集为（）

A．[2，3）B．（2，3]C．[2，4）D．（2，4][来源:

学+科+网Z+X+X+K]

【答案】C

【解析】令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2），Þx∈[2，4），选C．

4、（2005一试1）使关于的不等式有解的实数的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】D

5、（2006一试2）设，则的取值范围为（）

A．B．C．　D．

【答案】B

6、（2007一试2）设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）

A.B. C. D.[−3，3]

【答案】A

【解析】令，则有，排除B、D。

由对称性排除C，从而只有A正确。

一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立。

由于，

所以，从而上述不等式等价于。

7、（2001一试10）不等式的解集为。

9、（2009一试3）在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数．

【答案】

【解析】由题意知

[来源:

Zxxk.Com]

10、（2009一试4）使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．

【答案】2009

【解析】设．显然单调递减，则由的最大值，可得．

11、（2011一试3）设为正实数，，，则．[来源:

Zxxk.Com]

12、（2012一试3）设，则的最大值是.

13、（2001一试15）用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？

证明你的结论。

3．设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为RCD

若记，则S1、S2为定值，于是

只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小

4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．

而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，

这就说明，要证结论成立

14、（2003一试13）设≤x≤5，证明不等式2++<2．

15、（2003二试3）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥q（q+1）2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：

图中必存在一个空间四边形（即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形）．

【解析】证明：

设点集为V＝{A0，A1，…，An－1}，与Ai连线的点集为Bi，且|Bi|＝bi．于是1≤bi≤n－1．又显然有

bi＝2l≥q（q+1）2+2．

若存在一点与其余点都连线，不妨设b0＝n－1．

则B0中n－1个点的连线数

l－b0≥q（q+1）2+1－（n－1）（注意：

q（q+1）＝q2+q＝n－1）

＝（q+1）（n－1）－（n－1）+1＝（q－1）（n－1）+1[来源:

学科网]

≥（n－1）+1≥[（n－1）]+1．（由q≥2）

但若在这n－1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n－1个点内至多连线[]条，故在B0中存在一点Ai，它与两点Aj、Ak（i、j、k互不相等，且1≤i，j，k）连了线，于是A0、Aj、Ai、Ak连成四边形．

现设任一点连的线数≤n－2．且设b0＝q+2≤n－2．且设图中没有四边形．于是当i≠j时，Bi与Bj没有公共的点对，即|Bi∩Bj|≤1（0≤i，j≤n－1）．记＝V\B0，则由|Bi∩B0|≤1，得|Bi∩|≥bi－1（i＝1，2，…，n－1），且当1≤i，j≤n－1且i≠j时，Bi∩与Bj∩无公共点对．从而

（n－1）（n－b0）（n－b0－1）≥（nq－q+2－b0）（nq－q－n+3－b0）．（n－1≥q（q+1）代入）

得q（q+1）（n－b0）（n－b0－1）≥（nq－q+2－b0）（nq－q－n+3－b0）．（各取一部分因数比较）①

但（nq－q－n+3－b0）－q（n－b0－1）＝（q－1）b0－n+3（b0≥q+2）≥（q－1）（q+2）－n+3＝q2+q+1－n＝0．②

（nq－q+2－b0）－（q+1）（n－b0）＝qb0－q－n+2≥q（q+1）－n+2＝1＞0．③

又（nq－q－n+3－b0）、（nq－q+2－b0）、q（n－b0－1）、（q+1）（n－b0）均为正整数，

从而由②、③得，q（q+1）（n－b0）（n－b0－1）＜（nq－q+2－b0）（nq－q－n+3－b0）．④

由①、④矛盾，知原命题成立．

又证：

画一个n×n表格，记题中n个点为A1，A2，…，An，若Ai与Aj连了线，则将表格中第i行j列的方格中心涂红．于是表中共有2l个红点，当d（Ai）＝m时，则表格中的i行及i列各有m个红点．且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红．

由已知，表格中必有一行有q＋2个红点．不妨设最后一行前q＋2格为红点．其余格则不为红点（若有红点则更易证），于是：

问题转化为：

证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点．

若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点．于是，前n－1行的前q＋2个方格中，每行至多有1个红点．去掉表格的第n行及前q＋2列，则至多去掉q＋2＋（n－1）＝q＋2＋q2＋q＝（q＋1）2＋1个红点．于是在余下（n－1）×（n－q－2）方格表中，至少有

2l－（q＋1）2－1＝q（q＋1）2＋2－（q＋1）2－1＝（q－1）（q＋1）2＋1＝q3＋q2－q个红点．

设此表格中第i行有mi（i＝1，2，…，n－1）个红点，于是，同行的红点点对数的总和＝C．其中n－1＝q2＋q．（由于当n＞k时，C＋C＜C＋C，故当红点总数

16、（2008一试14）解不等式．

【解析】方法一：

由，且在上为增函数，故原不等式等价于

．　　　　　　　　　　　　　　

即　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　

分组分解　　　

，

，　　　　　　　　　　　　

所以，。

所以，即．故原不等式解集为．　

方法二：

由，且在上为增函数，故原不等式等

17、（2009一试11）求函数的最大和最小值．

【解析】函数的定义域为.因为

当时等号成立．故的最小值为．

又由柯西不等式得

所以．

由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．[来源:

Z#xx#k.Com]

18、（2009二试2）求证不等式：

，，2，…

【解析】证明：

首先证明一个不等式：

⑴，．

事实上，令，．

则对，，．

于是，．在⑴中取得

⑵．

19、（2012二试3）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为

求证：

因而

证法二:

不妨设

以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切，

设是是圆上任意一点,由于

因而,以为圆心,为半径的圆覆盖上述个圆

故

所以