高考数学复习题集合.docx

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高考数学复习题集合

高考数学复习第1讲　集合

1.元素与集合

（1）集合元素的性质:

　　　　、　　　　、无序性. 

（2）集合与元素的关系:

①属于,记为　　　　;②不属于,记为　　　　. 

（3）集合的表示方法:

列举法、　　　　和　　　　. 

（4）常见数集及记法

数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

2.集合间的基本关系

文字语言

符号语言

记法

基本

关系

子集

集合A中的　　　　都是集合B中的元素 

x∈A⇒x∈B

A⊆B或

集合A是集合B的子集,但集合B中　　有一个元素不属于A 

A⊆B,∃x0∈

B,x0∉A

A　 

B或

B⫌A

相等

集合A,B的元素完全　 

A⊆B,B⊆A

空集

　　任何元素的集合,空集是任何集合的子集 

∀x,x∉⌀,

⌀⊆A

⌀

3.集合的基本运算

　表示

运算　

文字语言

符号语言

图形语言

记法

交集

属于A　　属于B的元素组成的集合 

{x|x∈A,

　　x∈B} 

并集

属于A 

属于B的元素组成的集合

{x|x∈A,

　　x∈B} 

补集

全集U中　　属于A的元素组成的集合 

{x|x∈U,

x　　A} 

4.集合的运算性质

（1）并集的性质:

A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=　　　　;A∪B=　　　　⇔B⊆A. 

（2）交集的性质:

A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A　　　　B. 

（3）补集的性质:

A∪（∁UA）=U;A∩（∁UA）=　　　　; 

∁U（∁UA）=　　　　;∁U（A∪B）=（∁UA）　　　　（∁UB）;∁U（A∩B）=　　　　∪　　　　. 

常用结论

（1）非常规性表示常用数集:

如{x|x=2（n-1）,n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.

（2）①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;

②任何一个集合是它本身的子集;

③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C（真子集也满足）;

④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.

（3）集合子集的个数:

集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:

card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）（常用在实际问题中）.

题组一　常识题

1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为　　　　. 

2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有　　　　个. 

3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则（∁UA）∪B=　　　　　　　. 

4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为　　　　. 

题组二　常错题

◆索引:

忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.

5.已知集合A={1,3,

},B={1,m},若B⊆A,则m=　　　　. 

6.已知x∈N,y∈N,M={（x,y）|x+y≤2},N={（x,y）|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是　　　　. 

7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是　　　　. 

8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1

探究点一　集合的含义与表示

例1

（1）[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={（x,y）|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为（　　）

A.9B.8

C.5D.4

（2）设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为　　　　. 

[总结反思]解决集合含义问题的关键有三点:

一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.特别提醒:

含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.

变式题

（1）已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是（　　）

A.-1∉AB.-11∈A

C.3k2-1∈AD.-34∉A

（2）[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是　　　　. 

探究点二　集合间的基本关系

例2

（1）[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N⊆M,则实数a的取值集合为（　　）

A.{1}B.{-1,1}

C.{1,0}D.{1,-1,0}

（2）设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是（　　）

A.M=NB.M⫋N

C.N⫋MD.M∈N

[总结反思]

（1）一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.

（2）确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:

不能忽略任何非空集合是它自身的子集.

（3）根据集合间的关系求参数值（或取值范围）的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.

变式题

（1）设x,y∈R,集合A={（x,y）|y=x},B=

（x,y）

=1

则集合A,B间的关系为（　　）

A.A⫋BB.B⫋A

C.A=BD.A∩B=⌀

（2）已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=⌀,则a的取值范围是　　　　　　　. 

探究点三　集合的基本运算

角度1　集合的运算

例3

（1）[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|ex<1},则（　　）

A.A∩B={x|x<1}

B.A∪B={x|x

C.A∪（∁RB）=R

D.（∁RA）∩B={x|0

（2）[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|lnx<1},则A∪B=（　　）

A.{x|x

C.{x|x≤e}D.{x|x>e}

[总结反思]对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.

角度2　利用集合运算求参数

例4

（1）已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是（　　）

A.[3,6）B.[1,2）

C.[2,4）D.（2,4]

（2）设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若（∁UA）∩B=⌀,则p应该满足的条件是（　　）

A.p>1B.p≥1

C.p<1D.p≤1

[总结反思]根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.

角度3　集合语言的运用

例5

（1）已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为（　　）

A.16B.17C.18D.20

（2）对于a,b∈N,规定a*b=

集合M={（a,b）|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为　　　　. 

[总结反思]解决集合新定义问题的关键是:

（1）准确转化:

解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.

（2）方法选取:

对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.

第1讲　集合

考试说明1.集合的含义与表示:

（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系;

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

2.集合间的基本关系:

（1）理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;

（2）在具体情境中,了解全集与空集的含义.

3.集合的基本运算:

（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;

（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合间的关系及运算.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.

（1）确定性　互异性　

（2）∈　∉　（3）描述法　图示法　（4）N　N*或N+　Z　Q　R

2.任意一个元素　B⊇A　至少　⫋　相同　A=B　不含

3.且　且　A∩B　或　或　A∪B　不　∉　∁UA

4.

（1）B∪A　A　

（2）⊆　（3）⌀　A　∩　（∁UA）　（∁UB）

对点演练

1.4或1　[解析]因为-4∈A,所以x2-5x=-4,解得x=1或x=4.

2.4　[解析]因为（A∪B）⊇B,A={a,b},所以满足条件的集合B可以是{c},{a,c},{b,c},{a,b,c},所以满足条件的集合B有4个.

3.（-∞,0）∪[1,+∞）　[解析]因为∁UA={x|x>2或x<0},B={y|1≤y≤3},所以（∁UA）∪B=（-∞,0）∪[1,+∞）.

4.1　[解析]由题意可得1∈B,又a2+2≥2,故a=1,此时B={1,3},符合题意.

5.0或3　[解析]因为B⊆A,所以m=3或m=

即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m≠1,所以m=0或3.

6.4　[解析]依题意得M={（0,2）,（0,1）,（1,1）,（0,0）,（1,0）,（2,0）},所以M∩N={（1,1）,（0,0）,（1,0）,（2,0）},所以M∩N中有4个元素.

7.0或1或-1　[解析]易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,∴N=⌀或N=M,∴a=0或a=±1.

8.2≤a≤4　[解析]由|x-a|<1得-1

或

∴2≤a≤4.

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨]

（1）根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;

（2）因为9∈A,所以依据2a-1=9或a2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.

（1）A　

（2）-3　[解析]

（1）当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={（-1,-1）,（-1,0）,（-1,1）,（0,-1）,（0,0）,（0,1）,（1,-1）,（1,0）,（1,1）},共有9个元素.

（2）∵集合A,B中有唯一的公共元素9,∴9∈A.

若2a-1=9,即a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.

若a2=9,则a=±3,当a=3时,A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;

当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意.

综上所述,a=-3.

变式题　

（1）C　

（2）2　[解析]

（1）当k=0时,x=-1,所以-1∈A,所以A错误;令-11=3k-1,得k=-

∉Z,所以-11∉A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A,所以D错误;因为k∈Z,所以k2∈Z,则3k2-1∈A,所以C正确.

（2）由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m≠1;

若3-m=1,则m=2,符合题意;

若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.

例2　[思路点拨]

（1）先求出集合M={x|x2=1}={-1,1},当a=0和a≠0时,分析集合N,再根据集合M,N的关系求a;

（2）把集合对应的函数化简,求出集合M,N,即可得M,N的关系.

（1）D　

（2）A　[解析]

（1）∵集合M={x|x2=1}={-1,1},N={x|ax=1},N⊆M,

∴当a=0时,N=⌀,成立;

当a≠0时,N=

则

=-1或

=1,

解得a=-1或a=1.

综上,实数a的取值集合为{1,-1,0}.故选D.

（2）集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=（a-2）2+1,a∈R}={x|x≥1},

N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=（2b+1）2+1,b∈R}={y|y≥1},∴M=N.

变式题　

（1）B　

（2）a<-

或a>1　[解析]

（1）由题意得,集合A={（x,y）|y=x}表示直线y=x上的所有点,集合B=

（x,y）

=1

表示直线y=x上除点（0,0）外的所有点,所以B⫋A.故选B.

（2）当N=⌀时,由a>3a+1得a<-

满足M∩N=⌀;当N≠⌀时,由M∩N=⌀得

解得a>1.所以a的取值范围是a<-

或a>1.

例3　[思路点拨]

（1）先求出∁RA,∁RB,再判断各选项是否正确;

（2）先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.

（1）C　

（2）A　[解析]

（1）∵集合A={x|x<1},B={x|ex<1}={x|x<0},

∴∁RB={x|x≥0},∁RA={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0},故A错误;

A∪B={x|x<1},故B错误;A∪（∁RB）=R,故C正确;（∁RA）∩B=⌀,故D错误.故选C.

（2）集合A={x|2x≤1}={x|x≤0},B={x|lnx<1}={x|0

例4　[思路点拨]

（1）分别求出集合A和B,根据A∩B中有三个元素,求出实数m的取值范围;

（2）根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.

（1）C　

（2）B　[解析]

（1）集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=

∵A∩B中有三个元素,∴1≤

<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4）.

（2）∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},

∴∁UA={x|x≤1},又（∁UA）∩B=⌀,∴p≥1.

例5　[思路点拨]

（1）按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;

（2）根据定义分情况讨论满足条件的点（a,b）的个数,从而得出M中的元素个数.

（1）D　

（2）41　[解析]

（1）根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5},共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20（个）.

（2）由a*b=36,a,b∈N*知,

若a和b一奇一偶,则a×b=36,满足此条件的有1×36=3×12=4×9,故点（a,b）有6个;

若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18,共18组,

故点（a,b）有35个.

所以M中的元素个数为41.

【备选理由】例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.

例1　[配合例2使用][2018·陕西黄陵中学三模]已知集合M={x|y=（-x2+2x+3

x∈N},Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},则下列运算正确的是（　　）

A.M∩Q=⌀B.M∪Q=Z

C.M∪Q=QD.M∩Q=Q

[解析]C　由-x2+2x+3>0,得-1

∵Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},∴Q={0,1,2,3,4},

∴M∩Q=M,M∪Q=Q,故选C.

例2　[配合例3使用][2018·佛山南海中学模拟]已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},B={x|-1≤x≤2},则A∩B的子集的个数为（　　）

A.3B.4

C.7D.8

[解析]D　∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0,1,2},

B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={0,1,2},∴A∩B的子集的个数为23=8,故选D.

例3　[配合例3使用]设集合A={x||x-1|≥2},B={x|y=lg（-x-3）},则A∩B=（　　）

A.（-4,+∞）B.[-4,+∞）

C.（-∞,-3）D.（-∞,-3）∪[3,+∞）

[解析]C　由|x-1|≥2,得x-1≥2或x-1≤-2,即x≥3或x≤-1.

由-x-3>0,得x<-3,

所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3},故选C.

例4　[配合例4使用]已知集合A={x|y=

},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为（　　）

A.（-∞,-3]∪[2,+∞）

B.[-1,2]

C.[-2,1]

D.[2,+∞）

[解析]C　要使函数y=

有意义,则4-x2≥0,据此可得A={x|-2≤x≤2}.

若A∪B=A,则集合B是集合A的子集,据此有

求解不等式组可得,实数a的取值范围为[-2,1].