平行四边形综合复习.docx

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平行四边形综合复习

教学内容：

第十二章复习平行四边形综合复习

【本章知识框架】

【本章重点】

1．几种特殊四边形的特征

边

角

对角线

对称性

平行四边形

对边平行且相等

对角相等

两条对角线互相平分

轴对称

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

两条对角线互相平分且相等

轴对称

中心对称

菱形

对边平行

四边都相等

对角相等

两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

轴对称

中心对称

正方形

对边平行四边相等

四个角都是直角

两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

轴对称

中心对称

等腰梯形

两底平行

两腰相等

同一底上的

两个角相等

两条对角线相等

轴对称

2．几种特殊四边形

平行四边形：

（1）两组对边分别平行；

（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等．

矩形：

（1）有三个角都是直角；

（2）是平行四边形，并且有一个角是直角；（3）是平行四边形，并且两条对角线相等．

菱形：

（1）四条边相等；

（2）是平行四边形，并且一组邻边相等；（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直．

正方形：

（1）是矩形，并且有一组邻边相等；

（2）是菱形，并且有一个角是直角．

等腰梯形：

（1）是梯形，并且同一底上的两个角相等；

（2）是梯形，并且两条对角线相等．

【解题思想】

1．转化思想

（1）边形问题化归为三角形问题来处理．

（2）梯形问题化归为三角形、平行四边形问题来处理．

2．代数一计算法

通过计算来解决几何问题的方法就是代数法．如：

列方程等．

3．运用变化思想

即运用平移、旋转、对称等变换来构造图形解决几何问题的方法．

【经典例题精讲】

一、有关图形判定问题

此类问题仍是根据定义或识别方法来证明是什么图形，只要牢记识别方法，并能灵活运用即可．

例1如图12-1，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的，试说明四边形EFGH是正方形．

解：

∵矩形ABCD的外角都是直角，HE、EF都是外角平分线，

∵∠BAE＝∠ABE＝45°，

∴∠E＝90°．

同理可证∠F＝∠G＝90°．

∴四边形EFGH是矩形．

∵AD＝BC，∠HAD＝∠HDA＝∠FBC＝∠FCB，

∴△ADH与△BCF重合，

∴AH＝BF．

又∵∠EAB＝∠EBA，

∴AE＝BE，

∴AE＋AH＝EB＋BF，

∴EH＝EF，

∴四边形EFGH是正方形．

二、有关平行四边形、梯形特征问题

平行四边形、梯形特征主要作用：

证角相等、线段相等、直线平行、直线垂直、线段互相平分等．

例2如图12-2，正方形ABCD中，EF⊥GH，试说明EF＝GH．

解：

作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N．

∵ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠B＝90°，

∴EM平行且等于BC，HN平行且等于AB，

∴EM＝HN，EM⊥HN．

∵EF⊥HG，∠HOF＝∠EON，

∴∠FEM＝∠GHN．

又∵∠EMF＝∠HNG，

∴△EMF与△HNC重合，

∴EF＝GH．

三、有关旋转变换、平移变换、对称变换的问题

例3已知如图12-3，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE＝CF＋AE．

分析：

要说明BE＝CF＋AE，如果把△ABE绕点B沿顺时针旋转90°成△BCN，现在只须说明BN＝NF，而∠BFN＝∠ABE＋∠EBF，∠ABE＝∠CBF，从而有∠BFN＝∠FBN，所以BN＝NF＝CN＋CF＝AE＋CF＝BE．

解：

将△ABE绕点B沿顺时针旋转90°成△BCN．

∴∠ABF＝∠CBE，BE＝BN．

∵四边形ABCD为正方形，

∴CD∥AB，

∴∠NFB＝∠ABF．

∵∠ABF＝∠ABE＋∠EBF，

∠NBF＝∠NBC＋∠CBF，

∠EBF＝∠FBC，

∴∠NBF＝∠NFB，

∴BN＝NF＝CN＋CF．

∴BE＝AE＋CF．

说明：

旋转变换就是图形绕点旋转，其性质为：

旋转前后的图形重合．

四、实际问题

例4如图12-4，是由电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的正方形面积为1，求这个矩形色块图的面积．

分析：

只需设其中一个正方形的边长为x，则其余的正方形均可用x表示．

解：

不妨设正方形Ⅰ边长为x，则正方形Ⅱ边长为x＋1，正方形Ⅲ边长为x－1，正方形Ⅳ边长为x－2，进而矩形长为x＋x＋1＝2x＋1，宽为x＋x－1＝2x－1，于是矩形面积

．

整理得

，解得．

．

∵

时，正方形Ⅳ边长为x－2＝0不合题意，舍去．

∴x＝6，

∴

．

【中考热点】

本章命题热点有平行四边形、梯形的性质、识别，多以填空题、选择题、计算题出现或其他知识结合出证明题．

【历届中考题目】

一、填空题

1．如果梯形的两底之比为2︰5，中位线长14cm，那么较大的底长为________cm．

2．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是________

．

3．已知

中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是________．

4．平行四边形ABCD的周长为28cm，AC和BD交于O，△OAB的周长比△OBC的周长大4cm，则AB＝________cm，BC＝________cm．

5．如果四边形ABCD满足条件________，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直．

6．如图12-5，

中，AC、BD相交于O，过点O作BC平行线交CD于点E，若OE＝3cm，则AD＝________cm．

7．已知菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么对角线交点到任一边的距离等于________cm．

8．如图12-6，

中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠ABC＝75°，则∠EAF的度数是________．

9．在△ABC中，AD⊥BC于D，E、F分别是AB、AC的中点，连结DE、EF、FD，当△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形（填写一个你认为恰当的条件即可）．

10．菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________，面积为________．

11．（2003·河南省C卷）如图12-7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，CD＝BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E＝40°，则∠ACD＝________度．

12．菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE＝DE，则∠EBF＝________．

13．（2001·江苏盐城市·20）如图12-8，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于O，则图中面积相等的三角形有________．

14．如图12-9，梯形ABCD的中位线EF长为a，高为h，则图中阴形部分的面积是________．

15．要证明一个四边形是菱形可先证明这个四边形是________形，再证这个四边形为________形．

16．如图12-10，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，则∠D＝________．

二、选择题

17．下列命题中，正确命题是（）．

A．两条对角线相等的四边形是平行四边形

B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形

C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形

18．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是（）．

A．10与16B．12与16

C．20与22D．10与40

19．不能判定ABCD为平行四边形的题设是（）．

A．AB＝CD，AD＝BCB．AB平行且等于CD

C．AB＝CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC

20．下列命题中真命题是（）．

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形

C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形

D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

21．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）．

A．四条边相等B．对角线垂直且互相平分

C．对角线相等D．对角线平分一组对角

22．梯形的面积为

，中位线长20cm，则梯形的高是（）．

A．3cmB．4cm

C．5cmD．6cm

23．已知矩形的对角线长为10cm，那么顺次连结矩形四边中点所得的四边形周长为（）．

A．40cmB．10cm

C．5cmD．20cm

三、解答题

24．如图12-11，

的对角线相交于点O，直线EF经过O点与AB、CD分别相交于E、F，AM⊥EF于M，CN⊥EF于N，试说明AM＝CN．

25．已知，如图12-12，AD∥BC，BD⊥EF，且AF＝CE，试说明，四边形ABCD是平行四边形．

26．如图12-13，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，试说明重叠部分ABCD为菱形．

27．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BE⊥DC，DC＝BC，试说明AB＝BE．

28．（2003·江西省）有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，如图12-14，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．

（1）试说明AF＝EC；

（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C．

①当x︰b为何值时，直线E′E经过原矩形的一个顶点？

②在直线E′E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE′，直线BE′与EF是否平行？

你若认为平行，请给予说明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？

【单元达纲检测】

（满分100分，时间90分钟）

一、填空题（每小题4分，共40分）

1．

中，若∠C＝∠B＋∠D，则∠A＝________，∠B＝________．

2．

中的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB＝________，BC＝________．

3．在

中，BC＝6，且BC是

周长的

，那么AB＝________．

4．一平行四边形两条对角线的长度分别是5cm和7cm，一边长为acm，则a的取值范围是________．

5．梯形ABCD的面积是24，AD∥BC，且AD＝5，BC＝7，那么梯形的高是________．

6．把一个矩形的四条边的中点连结起来，所得的四边形是________．

7．

中，AB＝2，BC＝3，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF＝________．

8．要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出________张．

9．平行四边形ABCD中，若________，对角线AC、BD互相垂直（只需填使结果成立的一种情况即可）．

10．如图12-17所示，其中阴影部分的面积是________．

二、选择题（本题共8小题，每题5分，每小题只有—个选项符合题意）

11．一个边长为2和3的平行四边形，当它的边长保持不变，其内角大小可以变化，它可变为（）．

A．正方形B．矩形

C．菱形D．梯形

12．已知

被对角线AC分成两个周长为6cm的三角形，如果

的周长是7cm，那么AC的长等于（）．

A．1cmB．2.5cm

C．3.5cmD．9.5cm

13．下列题设中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）．

A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠C，∠B＝∠D

C．AB＝AD，CB＝CDD．AB＝CD，CD＝BC

14．四边形ABCD中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形是（）．

A．梯形B．等腰梯形

C．直角梯形D．任意四边形

15．如果梯形的对角互补，最大角是最小角的3倍，上底为a，下底长为b（b

A．a＋bB．

C．b－aD．

16．下列命题中，真命题是（）．

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形

B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形

C．两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形

D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形

17．如图12-18，点M是

的一边AD上任意一点，如果△CMB的面积为S，△CDM的面积为

，△ABM的面积为

，则下列S、

的大小关系中正确的是（）．

A．

B．

C．

D．无法确定

18．如图12-19，正方形ABCD的边长为1，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM相交于点P，则四边形APCD的面积是（）．

A．

B．

C．

D．

三、解答题（第19题6分，第20、21题各7分）

19．如图12-20所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，那么BC＝CD＋AD吗？

请说明理由．

20．如图12-21，

中，∠B，∠C的平分线交于点O，BO和CD的延长线交于E，试说明BO＝OE．

21．如图12-22所示，

的对角线AC的中垂线与边AB、CD分别交于点E、F，那么四边形AECF是菱形吗？

请说明理由．