数学课本多项式函数的图形与多项式不等式.docx

数学课本多项式函数的图形与多项式不等式.docx

《数学课本多项式函数的图形与多项式不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学课本多项式函数的图形与多项式不等式.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

数学课本多项式函数的图形与多项式不等式

2-4　多项式函数的图形与多项式不等式

　　这一节要透过多项式函数图形讨论如何解多项式不等式，例如

f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0。

f（x）与0的关系就有f（x）＞0，

f（x）≥0，f（x）＜0，f（x）≤0。

1　多项式函数的图形

1.一次函数f（x）＝ax＋b的图形是一条直线。

2.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图形是一条拋物线。

3.三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图形：

可用描点画图。

在高三选修数学甲的课程中，会用微积分来处理，此处我们用计算机软件来描绘，例如：

（1）f（x）＝x3－4x2＋x＋6

＝（x＋1）（x－2）（x－3）。

图43

（2）f（x）＝－x3－2x2－2x－1

＝－（x＋1）（x2＋x＋1）。

图44

图43的图形最右方会上升到无限大，最左方会下降到负无限大。

图44的图形最右方会下降到负无限大，最左方会上升到无限大。

4.四次函数f（x）＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图形：

（1）f（x）＝x4－3x2＋2

＝（x2－2）（x＋1）（x－1）。

（2）f（x）＝－x4－2x3＋2x＋1

＝－（x－1）（x＋1）3。

图45

图46

图45的图形最右方上升到无限大。

图46的图形最右方下降到负无限大。

5.五次以上的多项式函数，要透过微积分来处理，此处我们就不介绍了。

　　一般来说，有以下观察的结论：

※多项式函数的图形

多项式函数f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的图形，则：

（1）若an＞0，则图形的最右方会上升到无限大；

若an＜0，则图形的最右方会下降到负无限大。

（2）多项式函数的图形是一条连续不间断的曲线。

　　同学们要思考一下多项式函数的图形性质

（2）的重要性：

有了这个性质，勘根定理才能成立（想象由大楼的12楼到地下1楼，这条路线是连续不断且必通过地表）。

例题　1　

已知多项式函数f（x）＝－x4－2x3＋2x＋1＝－（x－1）（x＋1）3的图形如图47，试就x讨论f（x）值的正负号。

解　观察图47可得，

若－1＜x＜1，则f（x）＞0，

若x＝－1，1，则f（x）＝0，

若x＜－1或x＞1，则f（x）＜0。

图47

随堂练习　

已知多项式函数f（x）＝x3－4x2＋x＋6的图形如图48，试就x讨论f（x）值的正负号。

图48

2　一次不等式

　　设f（x）为多项式，则f（x）＞0（或f（x）≥0，f（x）＜0，f（x）≤0）称为多项式不等式。

“解多项式不等式”的意思是求出使得不等式成立的所有x值。

　　一次不等式形如

ax＋b＞0（或ax＋b≥0，ax＋b＜0，ax＋b≤0）。

　　解一次不等式只要移项即可，但是要注意同乘或同除一个负数时，不等号要变方向。

随堂练习　

试解下列不等式：

（1）2x－4＜0。

（2）－3x－5＜0。

3　二次不等式

　　二次不等式形如ax2＋bx＋c＞0（或≥，＜，≤），可以利用图形来解。

例题　2　

试解下列不等式：

（1）x2＋5x－6≤0。

（2）x2－4x＋4＞0。

　　　　（3）x2－x＋1＜0。

解　

（1）画y＝x2＋5x－6＝（x－1）（x＋6）的概略图形如图49：

我们要找函数值小于或等于0的那些x值。

观察图形可知－6≤x≤1，

故不等式的解为－6≤x≤1。

图49

（2）画y＝x2－4x＋4＝（x－2）2的概略图形如图50：

我们要找函数值大于0的那些x值。

观察图形可知除了x＝2之外都成立。

故不等式的解为

x＜2或x＞2（可合并写为x≠2）。

图50

（3）画y＝x2－x＋1的概略图形如图51：

因为判别式b2－4ac＝（－1）2－4．1．1＝－3＜0，

且二次项系数1＞0，故图形恒在x轴上方，

即x2－x＋1之值恒为正。

因此不等式x2－x＋1＜0无解。

图51

随堂练习　

试解下列不等式：

（1）（x－1）（x＋2）≥0。

（2）x2－6x＋9≤0。

　　　　（3）x2＋x＋1＞0。

　　依判别式b2－4ac的正负，可得图形及相对应的函数值正负号如下表所示：

b2－4ac＞0

b2－4ac＝0

b2－4ac＜0

a＞0

a＜0

　　解不等式时，可先由判别式可知概略的图形，然后依照题目的条件来选择相对应的正确范围即可。

　　实际上，调整让最高次方的系数为正，较容易思考。

例如：

解－x2－x＋2＜0，可化为x2＋x－2＞0来思考。

随堂练习　

试解下列不等式：

（1）－6x2－7x＋5＜0。

（2）－x2－x－3＞0。

　　底下我们介绍另一个观点：

分析每个因式的正负号，

这个观点有助于我们解高次的不等式。

　　以x2－3x－4＝（x＋1）（x－4）≥0为例，关键是看每个因式的正负变化。

正负号改变的“关键点”在x＝－1和x＝4。

因此分三段讨论：

①先看“x＋1”。

它在x＜－1时为负，x＞－1时为正，在x＝－1时为零。

②再看“x－4”。

它在x＜4时为负，x＞4时为正，在x＝4时为零。

因此有下表中的前两列正负号。

第三列（x＋1）（x－4）的正负号可由前两列相乘而来。

x

－1　　　　4

x＋1

－

＋

＋

x－4

－

－

＋

（x＋1）（x－4）

＋

－

＋

③我们要解x2－3x－4＝（x＋1）（x－4）≥0，因此观察第三列的正负号马上得到解为x≤－1或x≥4。

图52示意图

随堂练习　

试解不等式x2－7x＋10＜0。

4　高次不等式

　　解高次不等式的原理是相同的。

如果已经有图形，则观察图形即可，否则就先因式分解，然后逐个讨论因式的正负号。

例题　3　

（1）试解不等式（x－1）（x＋2）（x－3）＞0。

（2）试解不等式（x－2）2（x＋3）（－x2＋x－1）≥0。

解　

（1）考虑每个因式的正负号：

x－1在x＜1时为负，在x＞1时为正。

x＋2在x＜－2时为负，在x＞－2时为正。

x－3在x＜3时为负，在x＞3时为正。

因此可得下表：

x

－2　　　　　1　　　　　　3

x－1

－

－

＋

＋

x＋2

－

＋

＋

＋

x－3

－

－

－

＋

（x－1）（x＋2）（x－3）

－

＋

－

＋

因此所求（x－1）（x＋2）（x－3）＞0的解为－2＜x＜1或x＞3。

图53示意图

（2）将不等式两边同乘－1使最高次项为正，以方便思考。

此时即解（x－2）2（x＋3）（x2－x＋1）≤0。

考虑每个因式的正负号：

（x－2）2在x＝2时为零，其余为正。

x＋3在x＜－3时为负，在x＞－3时为正，在x＝－3时为零。

x2－x＋1恒正（因为首项系数1＞0且判别式b2－4ac＜0）。

因此可得下表：

x

－3　　　　2

（x－2）2

＋

＋

＋

x＋3

－

＋

＋

x2－x＋1

＋

＋

＋

（x－2）2（x＋3）（x2－x＋1）

－

＋

＋

因此所求（x－2）2（x＋3）（x2－x＋1）≤0的解为x≤－3或x＝2。

图54示意图

随堂练习　

（1）试解不等式（x－1）（x－4）（x＋3）3＜0。

（2）试解不等式（x＋1）2（x＋2）（x2＋x＋3）＞0。

　　因为实系数多项式必可分解成一次或二次的因式乘积，因此只要知道如何分解，按照上述方法就可以解任意次数的多项式不等式了。

例题　4　

已知实系数方程式f（x）＝x3＋ax＋b＝0有一虚根1－2i，试解f（x）＜0。

解　因为实系数多项式方程式虚根成对，故1＋2i也是f（x）＝0的根。

因此（x－（1－2i））（x－（1＋2i））＝x2－2x＋5为f（x）的因式。

令f（x）＝（x2－2x＋5）（x＋c），

比较二次项系数得－2＋c＝0，得c＝2，

所以f（x）＝（x＋2）（x2－2x＋5）。

因为x2－2x＋5＝（x－1）2＋4恒正，故原不等式相当于解x＋2＜0。

故f（x）＝（x＋2）（x2－2x＋5）＜0的解为x＜－2。

随堂练习　

令f（x）＝x3＋x2－4x＋6，且已知方程式f（x）＝0有一虚根1＋i。

试求不等式f（x）≥0的解。

5　简易分式不等式

　　观察到

＞0⇔f（x），g（x）同号⇔f（x）‧g（x）＞0，

若解

≥0时，就要注意分母g（x）不能为0，其他情形亦同理。

　　整理解分式不等式的原则如下：

※解分式不等式的原则

若f（x），g（x）为多项式，g（x）≠0，则：

（1）

＞0的解与f（x）．g（x）＞0的解相同。

（2）

＜0的解与f（x）．g（x）＜0的解相同。

（3）

≥0的解与“f（x）．g（x）≥0且g（x）≠0”的解相同。

（4）

≤0的解与“f（x）．g（x）≤0且g（x）≠0”的解相同。

例题　5　

试解下列不等式：

（1）

＞0。

（2）

≥x。

解　

（1）因为

＞0与（x－1）（x＋1）（x－2）＞0的解相同，

故解（x－1）（x＋1）（x－2）＞0，

得－1＜x＜1或x＞2。

（2）移项得

－x≥0，通分得

≥0，

图55示意图

即

≤0，故解x（x－2）（x－1）≤0，得x≤0或1≤x≤2。

但是分母为x－1，所以要剔除掉x＝1，

故原不等式的解为

x≤0或1＜x≤2。

　　注意到

（2）的第一步不可以贸然地消去x，因为我们并不知道x是正是负，也不知道x是否为0。

随堂练习　

试解下列不等式：

（1）

＞0。

（2）

≤1。

例题　6　

小崇打算在自家庭院内围一面积为12平方米的矩形，因成本考虑，希望周长不超过16米，试问此矩形宽的范围？

解　设所围的矩形宽为x米，

所以长为

米。

故依题意，

周长2

≤16，x＞0，

所以

≤8，

故得x2＋12≤8x，（因为x＞0，可以左右两式同乘x）

图56

即x2－8x＋12≤0。

分解为（x－6）（x－2）≤0，

故得解为2≤x≤6，

即矩形宽的范围为2米到6米。

随堂练习　

某数与其倒数的和不超过3，则此数可能的范围为何？

　　最后，我们看一题综合本章概念的问题。

例题　7　

若k为实数，且对所有的实数x，不等式x2＋（k＋1）x＋4≥0均成立﹐试求k的范围。

解　因为x2＋（k＋1）x＋4≥0恒成立，

表示函数y＝x2＋（k＋1）x＋4的图形会是下图两者之一

（总之不会落到x轴以下）。

图57

图58

如果是第一种（如图57），则判别式b2－4ac＝0，

如果是第二种（如图58），则判别式b2－4ac＜0。

因此综合起来判别式b2－4ac≤0，即

（k＋1）2－4‧1‧4≤0，

整理得k2＋2k－15≤0，

分解得（k－3）（k＋5）≤0，

解得－5≤k≤3。

随堂练习　

若对所有的实数x，不等式3x2＋2ax－a≥0均成立，试求a的范围。

习题　2-4

一、基本题

1.试解下列不等式：

（1）2x＋5＜3＋5x。

（2）

。

2.试解下列不等式：

（1）x2－2x＜3。

（2）x2－6x＋1≥0。

（3）x2＋x＋2＜0。

3.试解下列不等式：

（1）（x＋2）（x－1）（x－4）≥0。

（2）（x＋1）（x－1）2（x－2）3＜0。

（3）2x3－5x2－x＋6＞0。

　　　　（提示：

先因式分解─用上一节的方法！

）

4.试解下列不等式：

（1）

＜x。

（2）

≤1。

二、进阶题

5.已知三次函数f（x）的图形如下，试求f（x）≤0的解。

6.设f（x）＝x2－4mx＋m＋3，若f（x）恒为正值，试求m之范围。

7.下图为三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图形，试求出f（x）。

8.已知|x－a|＜b的解是－2＜x＜8，试求不等式x2－2ax＋b≥0的解。

9.设二次函数y＝f（x）的图形如下，试求f（2x）＞0的解。

三、挑战题

10.已知通过原点的直线L与拋物线y＝x2＋1没有交点。

试求直线L的斜率之范围。