超市收银员合理排班论文.docx
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超市收银员合理排班论文
2012南昌大学第九届数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择题号是（从A/B中选择一项填写）：
A.
报名序号是______49__________.
参赛队员（打印并签名）：
所属院系（请填写完整的全名）：
1._____刘欣_________签名:
_________________院系:
_____信息工程______
2._____马辉_________签名:
_________________院系:
____信息工程_______
3.______刘归港_____签名:
_________________院系:
__信息工程_______
日期：
2012年5月28日
2012南昌大学第九届数学建模竞赛
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超市收银员合理排班
摘要
本文是一个如何合理安排超市收银员排班，使顾客满意度最大，并且使超市成本最低的问题。
以概率论与数理统计、等待排队论知识等为基础，运用合理的假设，我们建立了模型——等待排队模型，采用常用的泊松分布过程。
并且用最小二乘法进行曲线拟合，进行优化判断。
首先，我们根据已知的数据分析超市的整个情况，开始着手建立等待排队模型，然后用此模型判断这个超市收银员排班的合理性。
再次，针对顾客等待问题，我们运用已经合理假设的条件以及建立好了的等待排队模型，然后用Lingo和Matlab进行优化求解，使得顾客等待时间最少；针对收银员的排班及超市成本最低的问题，我们利用以上模型合理地给出了使超市成本最低的收银员的排班。
最后，我们去除少些理想化的条件，尽可能接近现实生活地分析、调整了整个模型，最终完整地给出了等待排队模型和排班表格。
关键字：
等待排队泊松分布曲线拟合
1.问题的重述
超市是我们生活中不可或缺的一部分，但是其中也会多多少少的出现很多问题：
超市的顾客数受收银员数量的影响，如果收银员数量偏少，会使等待排队交费的人数偏多，顾客看到收银处排队人数很多就会放弃进入超市的意愿，甚至在超市内只购买一两件商品的顾客也会放弃购买意愿。
附录1中是表格是调查员对某一超市七天实际调查到的不同时刻收银员数量和正在排队等待交费的顾客人数，收银员每天工作时间不超过7小时及顾客接受服务的时间约0.8分钟到5分钟。
为使顾客等待交费时间不宜过长，同时又要考虑超市企业聘用收银员的成本，请根据调查数据，建立数学模型，验证这个超市收银员的排班计划是否合理？
如果安排不合理，请给该超市安排一份收银员的排班计划。
2.模型的假设
（1）顾客到达收银台的时间间隔服从参数为λ的泊松分布
（2）收银台的服务时间服从参数为μ的复指数分布
（3）排队系统空间无限，即允许永远排队
（4）根据题中顾客接受服务的时间约0.8分钟到5分钟，假设顾客平均接受服务的时间为3分钟
（5）根据实际问题，假设顾客等待交费时间为10分钟
3.模型符号的说明
符号
涵义
Ls
排队系统中顾客的平均数（包括正在接受服务的顾客）
Lq
系统中排队等待的顾客的平均数
Ws
平均逗留时间（平均等待时间+平均服务时间）
Wq
平均等待时间
λ
单位时间内顾客到达的平均数
μ
单位时间内被服务完毕离去的平均顾客数
1/λ
相邻两顾客到达的平均时间
1/μ
每个顾客的平均服务时间
load
系统到达负荷load=λ/μ
R
在此定义R=λ
T
在此定义T=1/μ
S
收银员的个数
Pwait
顾客等待概率
服务系统在每个时间段所需的收银员数目
Ci
所求出的第i个时间段的收银员数目
4.问题分析
通过用数学模型来合理安排超市收银员排班，使顾客满意度最大，并且使超市成本最低。
先不管题目中给出的数据是否正确，我们用其中的某些数据来分析超市的整体运营状况，顾客需要等待的时间。
从题目给出的表格中可以看出顾客在每个时刻等待排队的人数，我们用最小二乘法进行了曲线的拟合，我们可以知道，只要分析出其中一天的情况，其他六天的情况也是类似的，星期一顾客等待的拟合曲线，横轴是时间，纵轴是等待顾客的数量，如图
（一）。
我们可以得到每个时间段所需要的收银员是不同的，因此，要解排班问题，首先就要求出每个时间段所需要收银员的人数。
再根据每个时间段所需要收银员的数量来建立排班模型。
在建立求每个时间段收银员数量的模型上，我们必须要考虑到，收银员工作的时间不能超过7个小时，顾客等待的时间不能太长，收银员的成本要低。
在这些基础上，我们有了假设。
顾客接受的时间是0.8到5分钟，这个时间段主要是根据顾客买东西的多少来决定的，而这个是很随机的，因此，我们就取了平均值，假设每个顾客接受服务的时间是3分钟。
为了使顾客等待的时间不能太长，根据我们的调查，一般情况下，顾客最多等待10分钟。
在这些情况下我们建立了模型，并进行求解。
图
（一）
5.模型建立和求解
5.1.1我们所建立的是等待排队模型，所用的是最常见的M/M/S/
模型，即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立，且服从参数为λ的复指数分布（即输入过程为Poisson过程），服务台的服务时间也独立同分布，且服从参数为μ的负指数分布，而且系统空间无限大，允许永远排队。
为此，我们利用Little公式来计算：
5.2下面我们用优化模型来给出收银员排班：
综合附件2中的表格，我们还用最小二乘法画出了星期一这一天等待顾客数量和需要收银员数量的拟合曲线，我们只需要分析对比七天中的一天就可以了，其他几天是类似的情况。
如图
（二），上面那条曲线代表的是等待顾客的数量，下面那条曲线代表的是需要收银员的数量。
从图中我们可以知道，等待顾客的数量和用模型所求到的收银员的数量的曲线是很类似的，因此我们可以知道，所求收银员的数量是比较理想的结果。
证明了结果的真确性。
由以上求出的数据可知，理论收银员数目跟题目中给出的收银员数目是不相同的，也就是说，题目中给出的排班无法达到题目中的要求，故是不合理的。
图
（二）
表中也给出了我们用模型解出的需排班的收银员数，但是那是在一定假设条件下的结果，我们知道，一个大型的超市，不仅仅是考虑到超市企业的成本问题，现在的信誉和形象问题更加重视。
在上述模型中，我们假设的是收银员连续工作7个小时，可想而知，收银员工作的时间太长，而且错过了中午12点和晚上6点左右正常吃饭休息的时间，这样肯定影响收银员工作的效率和超市收银员的形象。
从排班的情况来看，我们可以看到，收银员上班的时间是不一样的，这样便带来了对于收银员不公平的心理。
为了解决上述问题，我们重新优化了排班问题的模型：
我们重新假设收银员连续工作时间为5个小时，并且只在8点，12点，13点，17点，18点有轮班。
其他假设不改变。
因此有模型如下：
用Lingo求解得到下表中的值：
时间
星期一
星期二
排班收银员
收银员需求
顾客数
排班收银员
收银员需求
顾客数
8:
00
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0
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0
8
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00
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00
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00
0
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4
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00
0
9
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30
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00
0
5
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0
9
20
22:
00
0
5
11
0
3
9
总数
32
27
时间
星期三
星期四
排班收银员
收银员需求
顾客数
排班收银员
收银员需求
顾客数
8:
00
16
2
5
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9:
00
0
16
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7
22
10:
00
0
14
28
0
12
39
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00
0
9
20
0
9
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12:
00
7
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13:
00
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00
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00
0
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8
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0
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8
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8
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00
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00
0
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0
9
21
0
8
19
21:
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0
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0
8
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22:
00
0
5
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0
5
14
总数
33
28
时间
星期五
星期六
排班收银员
收银员需求
顾客数
排班收银员
收银员需求
顾客数
8:
00
14
2
4
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00
0
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10:
00
0
14
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0
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00
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8
19
0
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00
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00
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1
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0
8
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00
0
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22
18:
00
4
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19:
00
0
5
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0
14
29
20:
00
0
10
32
0
10
33
21:
00
0
6
18
0
8
26
22:
00
0
4
12
0
8
16
总数
32
35
时间
星期日
排班收银员
收银员需求
顾客数
8:
00
16
3
9
9:
00
0
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00
0
16
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00
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1
3
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0
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15:
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0
8
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16:
00
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5
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17:
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10
24
18:
00
6
15
36
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00
0
9
20
20:
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0
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38
21:
00
0
8
25
22:
00
0
6
18
总数
39
经过优化改进的模型显然更符合现实超市的情况，更能体现出超市的人性化管理，提高收银员的积极性和工作的效益，并在此基础上使超市的成本最低，从而使顾客的满意度最大又使超市保持良好的形象。
6.改进方向
现实中的超市顾客流量是不定的，而且也不一定符合泊松分布，所以我们只能做到无限大地趋近于现实情况，却做不到与现实超市条件达到吻合。
如果要做到更加贴合实际的方案，还需要更多可靠的数据，比如每个时间段进入超市的人数，调查顾客的心理，顾客一般最多愿意等待多长的时间，顾客看到多少人排队的时候会放弃进入超市的愿望等，这些具体的数据我们还需要考证和调查。
在排班的问题上，尽量做到公平，消除员工不积极的情绪，为超市带来更大的效益。
7.参考文献
[1]谢金星，薛毅，优化建模与LINGO/LINGO软件，北京：
清华大学出版社，2007.9
[2]段五朵，乐励华，概率论与数理统计（第四版），江西：
江西高校出版社，2009.9
[3]卓金武，MATLAB在数学建模中的应用，北京：
北京航空航天出版社，2012.2
[4]姜启源，数学模型，北京：
高等教育出版社，2011.1
Lingo和Matlab编译的程序见附件3
附件1：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
收银员
顾客数
8:
00
6
8
6
9
6
5
6
10
6
4
6
8
6
9
9:
00
8
21
8
19
8
40
8
22
8
25
10
42
10
46
10:
00
8
27
8
16
8
28
8
39
8
29
10
44
10
40
11:
00
6
24
6
15
6
20
6
20
6
19
8
35
8
32
12:
00
2
16
2
8
2
13
2
10
2
9
2
15
2
12
13:
00
2
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2
4
2
5
2
6
2
3
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14
2
10
14:
00
4
16
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18
4
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16:
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13
17:
00
6
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6
12
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11
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17
6
16
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22
6
24
18:
00
6
9
6
10
6
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10
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13
8
32
8
36
19:
00
8
12
8
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13
8
15
8
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29
8
20
20:
00
8
20
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8
19
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32
10
33
10
38
21:
00
8
14
8
20
8
18
8
15
8
18
10
26
10
25
22:
00
4
11
4
9
4
13
4
14
4
12
4
16
4
18
附件2：
时间
星期一
星期二
排班收银员
收银员需求
顾客数
排班收银员
收银员需求
顾客数
8:
00
9
3
8
8
3
9
9:
00
5
9
21
1
9
19
10:
00
0
14
27
0
8
16
11:
00
0
10
24
0
8
15
12:
00
0
8
16
0
3
8
13:
00
0
3
8
0
2
4
14:
00
4
8
16
1
4
13
15:
00
0
9
20
6
8
17
16:
00
5
8
17
3
6
18
17:
00
0
3
10
0
4
12
18:
00
0
3
9
0
3
10
19:
00
0
4
12
0
4
12
20:
00
0
9
20
0
10
30
21:
00
0
5
14
0
9
20
22:
00
0
5
11
0
3
9
总数
23
19
时间
星期三
星期四
排班收银员
收银员需求
顾客数
排班收银员
收银员需求
顾客数
8:
00
12
2
5
7
3
10
9:
00
4
16
40
5
7
22
10:
00
0
14
28
0
12
39
11:
00
0
9
20
0
9
20
12:
00
0
5
13
0
3
10
13:
00
0
2
5
0
2
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00
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3
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3
10
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00
1
8
15
3
8
16
16:
00
5
6
18
5
8
17
17:
00
0
5
11
0
8
17
18:
00
0
3
10
0
3
10
19:
00
0
5
13
0
8
15
20:
00
0
9
21
0
8
19
21:
00
0
6
18
0
8
15
22:
00
0
5
13
0
5
14
总数
25
20
时间
星期五
星期六
排班收银员
收银员需求
顾客数
排班收银员
收银员需求
顾客数
8:
00
14
2
4
13
3
8
9:
00
0
8
25
0
13
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10:
00
0
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29
0
13
44
11:
00
0
8
19
0
11
35
12:
00
0
3
9
0
8
15
13:
00
0
1
3
4
5
14
14:
00
4
3
9
2
8
17
15:
00
2
3
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0
6
18
16:
00
4
8
15
8
8
16
17:
00
0
8
16
0
7
22
18:
00
0
5
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0
10
32
19:
00
0
5
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0
14
29
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00
0
10
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0
10
33
21:
00
0
6
18
0
8
26
22:
00
0
4
12
0
8
16
总数
24
27
时间
星期日
排班收银员
收银员需求
顾客数
8:
00
16
3
9
9:
00
0
14
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00
0
16
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11:
00
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3
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12
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00
4
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14
15:
00
2
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15
16:
00
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00
0
15
36
19:
00
0
9
20
20:
00
0
12
38
21:
00
0
8
25
22:
00
0
6
18
总数
31
附件3：
！
求解收银员人数程序
model:
load=R*T;
R=9/Wq;
Pwait=@peb（load,S）;
Wq=Pwait*T/（S-load）;
Ws=Wq+T;
Ls=Ws*R;
T=（3/60）;
Wq<（10/60）;
min=S;
!
@gin（S）;
@bnd（1,S,20）;
End
！
排班收银员的程序：
model:
x1>=3;
x1+x2>=14;
x1+x2+x3>16;
x1+x2+x3+x4>=10;
x1+x2+x3+x4+x5>=4;
x1+x2+x3+x4+x5+x6>=3;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7>=5;
x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8>=8;
x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9>=5;
x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10>=10;
x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11>=15;
x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12>=9;
x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13>=12;
x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14>=8;
x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15>=6;
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15;
！
优化后的收银员排班程序：
model:
x1>=3;
x1+x2>=14;
x1+x2+x3>=16;
x1+x2+x3+x4>=10;
x1+x2+x3+x4+x5>=4;
x2+x3+x4+x5+x6>=3;
x3+x4+x5+x6+x7>=5;
x4+x5+x6+x7+x8>=8;
x5+x6+x7+x8+x9>=5;
x6+x7+x8+x9+x10>=10;
x7+x8+x9+x10+x11>=15;
x8+x9+x10+x11+x12>=9;
x9+x10+x11+x12+x13>=12;
x10+x11+x12+x13+x14>=8;
x11+x12+x13+x14+x15>=6;
x2=0;x3=0;x4=0;x7=0;x8=0;x9=0;x12=0;x13=0;x14=0;
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15;
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