B、{x|-1x2}
C、{x|x<-1}∪{x|x>2}
D、{x|x-1}∪{x|x2}
【答案】B
【解析】由题可得CRA={x|x
2-x-2≤0}，所以{x|-1x2}
【考点定位】集合
3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解
该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比
例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是：
A、新农村建设后，种植收入减少。
B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A
【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60，%
【考点定位】简单统计
4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A、-12
B、-10
C、10
D、12
【答案】B
【解析】3*（a1+a1+d+a1+2d）=（a1+a1+d）（a1+a1+d+a1+2d+a1+3d），整理得:
2d+3a1=0;d=-3∴a5=2+（5-1）*（-3）=-10
【考点定位】等差数列求和
5、设函数f（x）=x3+（a-1）x
3+（a-1）x
2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的
切线方程为：
A、y=-2x
B、y=-x
C、y=2x
D、y=x
【答案】D
【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:
f（x）+f（-x）=2*（a-1）x
2=0∴a=1
f（x）=x3+x
求导f‘（x）=3x2+1
f‘（0）=1所以选D
【考点定位】函数性质：
奇偶性；函数的导数
6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=
A、--
B、--
C、-+
D、-
【答案】A
11
【解析】AD为BC边∴上的中线AD=ABAC
22
111
E为AD的中点∴AE=ADABAC
244
1131
AB-ABACAB
EB=AB-AE=（）AC
4444
【考点定位】向量的加减法、线段的中点
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对
应点为11A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N
的路径中，最短路径的长度为
A、
B、
C、3
D、2
【答案】B
【解析】将圆柱体的侧面从A点展开：
注意到B点在
1
4
圆周处。
AA
B
∴最短路径的长度为AB=22+42
【考点定位】立体几何:
圆柱体的展开图形，最短路径
8.设抛物线C：
y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，
则·=
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】D
【解析】
抛物线C：
y2=4x的焦点为F（1,0）
2
直线MN的方程:
y（x2）
3
2-6y+8=0∴y=2或y=4
消去x整理得：
y
M、N的坐标（1，2），（4，4）
则·=（0,2）·（3,4）=0*3+2*4=8
【考点定位】抛物线焦点向量的数量积
如果消去Ｘ，计算量会比较大一些，您不妨试试。
9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的
取值范围是
A.[-1，0）
B.[0，+∞）
C.[-1，+∞）
D.[1，+∞）
【答案】C
【解析】
根据题意：
f（x）+x+a=0有两个解。
令M（x）=-a,
N（x）=f（x）+x=
?
?
?
?
+?
?
?
?
≤0
?
?
+?
?
?
?
≤0
?
?
?
?
+?
?
?
?
?
?
>0
?
?
?
?
+1>0?
?
≤0
分段求导：
N‘（x）=f（x）+x=
1
说明分段是增函数。
考虑极限位置，图形如下：
?
?
+1>0?
?
>0
M（x）=-a在区间（-∞，+1]上有2个交点。
∴a的取值范围是C.[-1，+∞）
【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
此图由三个半圆构成，三个半圆
的直径分别为。
直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域
记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。
在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，
Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
【答案】A
【解析】
整个区域的面积：
S1+S半圆BC=S
半圆AB+S半圆AC+S
△ABC
根据勾股定理，容易推出S
半圆BC=S半圆AB+S
半圆AC
∴S1=S△ABC故选A
【考点定位】古典概率、不规则图形面积
11.已知双曲线C：
-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条
渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=
A.
B.3
C.
D.4
【答案】B
【解析】N
右焦点,OF=3+1==2，
F
o
渐近线方程y=±
3
x∴∠NOF=∠MOF=30°
3
M
在Rt△OMF中，OM=OF*co∠sMOF=2*cos=3°03
在Rt△OMN中，MN=O?
Mtan∠?
?
?
?
?
=?
3*tan（30°+30°）=3
【考点定位】双曲线渐近线、焦点
概念清晰了，秒杀！
有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。
如果用解方程，
计算量很大。
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所
得截面面积的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
2
如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=
2
截面面积S=6×
3
×（
4
2
）
2
2=
【考点定位】立体几何截面
【盘外招】交并集理论：
ABD交集为3，AC交集为
3
4
，选A
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.
【答案】6
【解析】
当直线z=3x+2y经过点（2，0）时，Zmax=3*2+0=6
【考点定位】线性规划（顶点代入法）
14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.
【答案】-63
【解析】
S1=2a1+1=a1∴a1=-1
n>1时，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1两式相减：
Sn-Sn-1=an=2an-2an-1∴an=2an-1
an=a1×2n-1=（-1）×2n-1
∴S6=（-1）×（26-1）=-63
【考点定位】等比数列的求和
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法
共有种.（用数字填写答案）
【答案】16
【解析】
C21C42+C22C14=2×6+1×4=16
【考点定位】排列组合
16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.
【答案】
-33
2
【解析】
f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx（1+cosx）
考虑到f（x）为奇函数，可以求f（x）最大值.将f（x）平方：
2（x）=4sin
f
2x（1+cosx）2=4（1-cosx）（1+cosx）3=4/3（3-3cosx）（1+cosx）3≧（4/3）×（（3-3cosx）
+3（1+cosx））/4）
4=
4
3
×（
6
4
）4=
4=
27
4
当3-3cosx=1+cosx即cosx=
1
2
时，f2（x）取最大值
2（x）取最大值
-33f（x）min=
2
【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用
【其他解法】：
１．求导数解答
２．f（x）=2sinx（1+cosx）看成单位圆中一个三角形面积求解。
三.解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=，求BC.
【答案】
【解析】
（1）在△ABD中，由正弦定理得
BD
sin∠?
?
=
AB
sin∠?
?
?
?
?
?
2
∴sin∠ADB=ABsin∠ADB/BD=
5
由题设可知，∠ADB<90°∴cos∠?
?
?
?
=?
?
1-
2
=
25
23
5
2
（2）由题设及
（1）可知cos∠BDC=sin∠AD=B
5
在△BCD中，由余弦定理得
BC
2=BD2+DC2-2BD×DC×cos∠BDC
=25+8-2×5××
2
5=25
∴BC=5
【考点定位】正弦定理余弦定理
18.（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕
把?
DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
（1）证明：
平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
【答案】
【解析】
（1）由已知可得PF⊥BF，BF⊥EF∴BF⊥平面PEF
又BF在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD
（2）PH⊥EF，垂足为H，由
（1）可得，PH⊥平面ABFD∴DP与平面ABFD所成角就是∠PDH.
CD
2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+（EF-HF）2+PH2
2222
CF=PF=HF+PH
设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是：
2=12+（2-HF）2+PH
2
2
2=HF2+PH
2
1
1
∴解方程得HF=
2
PH=
3
2
3
在Rt△PHD中,sin∠PDH=PH/PD=/2=
2
3
.
4
【考点定位】立体几何点、直线、面的关系
17.（12分）
设椭圆C：
+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，
点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
∠OMA∠=OMB.
【答案】
【解析】
（1）由已知可得F（1，0），直线l的方程为x=1
由已知可得,点A的坐标为（1，
2
）或（1，—
2
2
）
2
∴直线AM的方程为y=—
2
x+2或y=
2
2
x—2
2
0
（2）当l与x轴重合，.∠OMA∠=OM=B0
当l与x轴垂直，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA∠=OMB
当l与x轴不重合且不垂直，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）
点A（x1,y1）,B（x2,y2），x1<2,X2<2,则直线MA、MB的斜率之和
?
?
1?
?
2?
?
（?
1?
-1）?
?
（?
2?
-1）2?
?
?
1?
?
2?
-3?
?
?
?
1+?
2?
+4?
?
KMA+KMB=
?
?
1-2+?
?
2-2=?
1?
-2+?
?
2-2=
（?
?
1-2）（?
?
2-2）
将y=k（x-1）代入椭圆C的方程得：
（2k2+1）x2-4k
2+1）x2-4k
2x+（2k2-2）=0
4?
?
2
x1∴+x2=
2?
?
2+1,x
2?
?
2-2
2?
?
2+1
1x2=
4?
?
3-4?
?
-12?
?
3+8?
?
3+4?
?
2?
?
?
1?
?
?
2-3?
?
?
?
1+?
?
2+4?
?
=2?
?
2+1=0
从而KMA+KMB=0MA、MB的倾斜角互补，∴∠OMA∠=OMB
综上所述，∠OMA∠=OMB
【考点定位】圆锥曲线
20、（12分）
某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，
如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的ｋ概率都为P
（0（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），f（P）求f（P）的最大值点
。
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的作为P的
值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格
品支付25元的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的
和记为X，求EX：
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的
所有产品作检验？
【答案】
【解析】
（1）f（P）=C202P2（1-P）
2P2（1-P）
18=12（9P）
2（9P）
81C20
2（1-P）
1（9P?
2+（1-P）?
18）
18
2×{
≧
81C20
}
20
20=1
81C20
2×
9
}
{
10
20
19×918
当9P=1-P，即f（P）的最大值点P0=0.1.f（0.1）=
1019
（2）令Y表示余下的180件产品中不合格品件数，依题意可知Y-B（180,0.1）,
X=20*2+25Y=40+25Y
∴EX=E（40+25Y）=40+25EY=490
（ii）如果开箱检验，检验费=200*2=400元
EX>400,∴应该对这箱余下的所有产品作检验。
【考点定位】随机变量及分布：
二项分布最值（基本不等式）、数学期望
21、（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点,,证明：
.
【答案】
【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞）
f’（x）=-
1
?
?
2-1+
?
?
=-
?
?
?
?
2-?
?
?
?
+1
?
?
2
△=a2-4
（i）若a≤2,则f’（x）≤0，当且仅当a=2,x=1时f’（x）=0，∴f（x）在（0，+∞）单调递
减。
（i）若a>2,令f’（x）=0得到，?
?
=
?
?
±?
?
2-4
2
?
?
-?
?
2-4
当x∈（0，）∪（
2
?
?
+?
?
2-4
2
，+∞）时，f’（x）<0
当x∈（
?
?
-?
?
2-4
2
?
?
+?
?
2-4
2
）时，f’（x）>0
?
?
-?
?
2-4
2
∴f（x）在x∈（0，
?
?
+?
?
2-4
）,（，+∞）单调递减,在（
2
?
?
-?
?
2-4
2
?
?
+?
?
2-4
2
）单调递增。
（2）由
（1）可得f（x）存在2个极值点当且仅当a>2
由于f（x）的极值点x1,x2满足x2-ax+1=0所以x1x2=1不妨设x11由于
fx1-f（x2）
x1-x2
=
1
x1x2
?
?
?
?
1?
-?
?
?
?
?
2?
?
?
?
?
1?
?
-?
?
?
?
?
2?
?
-2?
?
?
?
2?
?
-1+?
?
=-2+?
?
=-2+?
?
x1-x2x1-x21/x2-x2
等价于
1
x2-?
?
2+2?
?
?
2?
?
0
设g（x）=
1
x-?
?
+2?
?
?
由?
?
?
（1）可知g（x）在（0，+∞）单调递减，又g
（1）=0,从而当x∈（1，+
∞）时g（x）<0
1
∴
x2
-?
2?
+2?
?
?
?
2?
0即
【考点定位】函数导数的应用
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第
一题计分。
18.[选修4-4：
坐标系与参数方程]、（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C?
的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C?
的极坐标方程为p2+2p-3=0.
（1）求C?
的直角坐标方程:
（2）若C?
与C?
有且仅有三个公共点，求C?
的方程.
【答案】
【解析】
（1）由x=cosθ,y=sinθ得到C?
的直角坐标方程：
x2+y2+2x-3=0即（x+1）
2+y2+2x-3=0即（x+1）
2+y2=4
（2）由
（1）可知C2是圆心为A（-1,0），半径为2的圆。
由题设可知，C1是过点B（0，2）且关于Y轴对称的两条射线，且
C1：
=
?
?
?
+?
2?
?
>0
-?
?
?
?
+2?
?
≤0
显然，K=0时，C1与C2相切，只有一个交点。
K>0时，C1与C2没有交点。
∴C1与C2有且仅有三个交点，则必须满足K<0且y=kx+2（x>0）与C2相切,圆心到射线的距离
|-?
?
+2|
d=
?
?
2+1=2故K=-4/3或K=0.
经检验，因为K<0，所以K=-4/3。
综上所述，所求C?
的方程y=-
4
3
∣x∣+2.
【考点定位】极坐标与参数方程直线与圆的关系
19.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.
【答案】
-2?
?
≤-1【解析】
（1）当a=1时，f（x）=∣x+1∣-∣x-1∣=
2?
?
-1
?
<1
2?
?
>1
∴不等式f（x）﹥1的解集为{x|x>
1
2
}
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等价于∣ax-1∣<1成立
若a≤0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣≧1
若a>0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣<1的解集为02
∴
?
?
2
>=1故0?
?
综上所述，a的取值范围是（0，2］。
【考点定位】绝对值不等式含参数不等式恒成立的问题
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