试题五二次规划.docx

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试题五二次规划

考试课程数学实验2002.06.15

A卷

1.已知非线性方程

。

取初值，在满足

的条件下，试用迭代公式

求该方程[0,1]内的根__0.44655_（保留小数点后5位）,该迭代方法是__1___阶收敛。

给出求解该方程的Newton迭代公式

xk-（0.25xk+0.25+cos

（1）-cosxk）/（0.25+sinxk）。

x0=0.5;

x=zeros（50,1）;

x

（1）=x0;

forj=1:

50

x（j+1）=acos（0.25*x（j）+0.25+cos

（1））;

ifnorm（x（j+1）-x（j））<=1e-6

break;

end;

end;

j

x（j+1）

输出结果：

ans=0.446554*********

NEWTON法（2阶收敛）:

对于方程f（x）=0，其牛顿法迭代公式为：

f（x）=0.25x+0.25+cos

（1）-cos（x）

x（k+1）=x（k）-（0.25x（k）+0.25+cos

（1）-cos（x（k）））/（0.25+sin（x（k）））

xk-（0.25xk+0.25+cos

（1）-cosxk）/（0.25+sinxk）

2．已知常微分方程初值问题：

。

试用数值方法求y

（1）=_1.3091_（保留小数点后4位），你用的方法是___龙格-库塔方法___。

%待解常微分方程组函数M文件源程序：

functiondy=ff（x,y）

dy=[y

（2）;y

（1）*sin（x+y

（1））-y

（2）*exp（x）];

%应用欧拉方法和龙格-库塔方法求解该常微分方程：

ts=0:

0.1:

1;

y0=[1,0];

[x,y]=ode45（@ff,ts,y0）;%龙格-库塔方法求数值解

[x,y（:

1）]

输出结果：

1.0000000000000001.309095782053819

3．假定显著性水平

。

已知某厂生产某种家用装修材料，某有害物质含量服从正态分布。

在一次连续五天的抽查检验中，得其材料的有害物质含量为

:

1.1,1.0,0.9,0.8,0.5，试问这种材料有害物质含量的置信区间（精确到3位小数）为_[0.3861.344]_;若规定这种材料的有害物质含量不能超过万分之五，试根据这次抽样的结果作假设检验。

你的原假设为___H0:

μ≤0.5_,用的Matlab命令是__ttest（x,0.5,0.01,1）___,检验结果是___接受原假设_。

x=[1.11.00.90.80.5];

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit（x,0.01）

输出结果：

muci=

0.385979420705654

1.334020579294346

x=[1.11.00.90.80.5];

[h,sig,ci]=ttest（x,0.5,0.01,1）

输出结果：

h=0

4.某投资公司经理正在考虑将30万元基金用于股票投资。

经过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了三种股票作为候选投资对象。

经过分析，该经理认为每年股票1的期望收益为每股5（元），方差为4；股票2的期望收益为每股8（元），而方差为36；股票3的期望收益为每股10（元），而方差为100。

假设不同股票的收益是相互独立的，目前股票1、2、3的市价分别为每股20元、25元，30元。

投资风险用收益的方差大小来衡量，如股票1投资x股时，投资风险为4x2。

1）如果不考虑投资风险，如何投资可以得到最大的期望收益？

2）如果该投资人期望今年至少得到5万元的投资收益，但是希望投资的总风险最小，则应如何投资？

3）计算在不同的投资期望收益（从0到最大收益，以整万元为单位）下投资的总风险，将计算结果填入下表（保留四位有效数字），并根据该问题的实际意义和以下数据给出拟合函数。

收益（万元）

风险

（1）不考虑投资风险，为线性约束优化：

决策变量：

股票一股数：

x1；

股票二股数：

x2；

股票三股数：

x3；

目标函数：

Z=5*x1+8*x2+10*x3

约束条件：

20*x1+25*x2+30*x3=300000!

!

!

!

!

此约束条件不恰当，可以选择不全部投资，即使此时全部投资获益最大！

20*x1+25*x2+30*x3≤300000

基本模型：

max（z）=5*x1+8*x2+10*x3

s.t.20*x1+25*x2+30*x3≤30000

x1,x2,x3

0

优化程序（线性）：

c=[5810];

A1=[202530];

b1=[300000];

v1=[000];

[x,z,ef,out,lag]=linprog（-c,A1,b1,[],[],v1）

输出结果：

x=

1.0e+003*

0.0000

0.0000

10.0000

z=

-1.0000e+005

优化方案：

股票一股数：

0；

股票二股数：

0；

股票三股数：

10000；

最大收益：

100000元

（2）非线性约束优化：

决策变量：

股票一股数：

x1；

股票二股数：

x2；

股票三股数：

x3；

目标函数：

Y=4*x1^2+36*x2^2+100*x3^2

约束条件：

20*x1+25*x2+30*x3=300000!

!

!

!

!

此约束条件错误，为减少投资风险，投资商可以选择不全部投资！

20*x1+25*x2+30*x3≤300000

5*x1+8*x2+10*x3

50000

基本模型：

min（y）=4*x1^2+36*x2^2+100*x3^2

s.t.5*x1+8*x2+10*x3

50000

20*x1+25*x2+30*x3≤300000

x1,x2,x3

0

优化程序（非线性）：

functiony=min1（x）

y=4*x

（1）^2+36*x

（2）^2+100*x（3）^2;

x0=[0010000];

A1=[-5-8-10;

202530];

b1=[-50000300000];

v1=[000];

[x,y,ef,out,lag]=fmincon（@min1,x0,A1,b1,[],[],v1）

Z=5*x

（1）+8*x

（2）+10*x（3）

T=20*x

（1）+25*x

（2）+30*x（3）

另：

可以使用二次规划：

H=[800;0720;00200];

A=[-5-8-10;202530];

c=[000];

b=[-50000,300000];

v1=[0,0,0];

[x,f]=quadprog（H,c,A,b,[],[],v1）;

x

VAR=f

REV=-A（1,:

）*x

输出结果：

x=

1.0e+003*

6.9230768599643811.2307692571085390.553846164330979

y=

2.769230769230770e+008

Z=

50000

T=

1.858461538461538e+005

优化方案：

股票一股数：

6923；

股票二股数：

1231；

股票三股数：

554；

盈利金额：

50000元

投资金额：

185846元

最小风险：

276923077

（3）

y=zeros（1,11）;

z=zeros（1,11）;

fori=1:

11

x0=[0010000];

A1=[-5-8-10;

202530];

b1=[-10000*（i-1）300000];

v1=[000];

[x,y（i）,ef,out,lag]=fmincon（@min1,x0,A1,b1,[],[],v1）;

z（i）=5*x

（1）+8*x

（2）+10*x（3）

end;

y

z

grid

plot（z,y）

输出结果：

保留四位有效数字！

还要有0！

！

！

收益（万元）

1

2

3

4

5

风险

11076923

44307692

99692308

177230769

276923077

收益（万元）

6

7

8

9

10

风险

398769231

542769231

708923077

1624988257

10000000000

?

?

根据收益与风险对投股数的次数关系，可大致猜想关系如下：

y=f（z）=b1*z^2/（z+b2）;

非线性回归分析：

y=f（z）=b1*z^2/（z+b2）;

一元线性回归分析：

n=11;

T=[ones（n,1）,z'];

[b0,bint,r,rint,s]=regress（y',T）;

非线性回归分析：

M文件：

functiony=fun（b,z）

y=b

（1）*z.^2./（z+b

（2））;

回归程序：

[b,R,J]=nlinfit（z,y,'fun',b0）%以一元线性回归结果b0作初值！

zz=0:

10000:

100000

yy=b

（1）*zz.^2./（zz+b

（2））

plot（z,y,'o',zz,yy）

nlintool（z,y,'fun',b）

拟合度很差！

！

！

！

！

！

！

求助！

！

！

考试课程数学实验2002.06.15

B卷

1.已知非线性方程

。

取初值

，在满足

的条件下，试用迭代公式

求该方程[0,1]内的根

____________（保留小数点后5位）,该迭代方法是____阶收敛。

给出求解该方程的Newton迭代公式

___________________________________________________。

2．已知常微分方程初值问题：

。

试用数值方法求y

（1）=（精确到4位小数），你用的方法是,Matlab命令是。

3．假定显著性水平

。

已知某厂生产某种家用装修材料，某有害物质含量服从正态分布。

在一次连续五天的抽查检验中，得其材料的有害物质含量为

:

1.1,1.0,0.9,0.8,0.7，试问这种材料有害物质含量的置信区间（精确到3位小数）为____________________;若规定这种材料的有害物质含量不能超过万分之五，试根据这次抽样的结果作假设检验。

你的原假设为______________________,用的Matlab命令是__________________________,检验结果是____________。

4.某投资公司经理正在考虑将30万元基金用于股票投资。

经过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了三种股票作为候选投资对象。

经过分析，该经理认为每年股票1的期望收益为每股5（元），方差为4；股票2的期望收益为每股8（元），而方差为36；股票3的期望收益为每股20（元），而方差为100。

假设不同股票的收益是相互独立的，目前股票1、2、3的市价分别为每股20元、25元，60元。

投资风险用收益的方差大小来衡量，如股票1投资x股时，投资风险为4x2。

1）如果不考虑投资风险，如何投资可以得到最大期望收益？

2）如果该投资人期望今年至少得到5万元的投资收益，但是希望投资的总风险最小，则应如何投资？

3）计算在不同的投资期望收益（从0到最大收益，以整万元为单位）下投资的总风险，将计算结果填入下表（保留四位有效数字），并根据该问题的实际意义和以下数据给出拟合函数。

收益（万元）

风险

考试课程数学实验2002.06.15

A卷答案

1．解：

由原方程积分可得：

f（x）=x/4+1/4+cos

（1）-cos（x）=0

0.44655;1;

2.[0.3861.334];

;ttest（x,0.5,0.01,1）;接受H0

3.1.3090（or1.3091）;R-K方法

4..参考解答：

问题1）全部投资于股票3，最大的期望收益10万元。

问题2）分别用x1、x2和x3表示投资股票1、2、3的数量，决策目标可以表示为

Min

（1）

投资的期望收益约束为

5x1+8x2+10x3>=50000

（2）

考虑可用于投资的资金的限制，即

20x1+25x2+30x3300000（3）

（1）-（3）构成本题的优化模型（加上x1和x2的非负限制）。

MATLAB程序如下：

H=[800;0720;00200];

A=[-5-8-10;202530];

c=[000];

b=[-50000,300000];

v1=[0,0,0];

[x,f]=quadprog（H,c,A,b,[],[],v1）;

x

VAR=f

REV=-A（1,:

）*x

计算结果为：

.0769*******

VAR=2.769230769230770e+008

REV=50000

由于在投资时购买股票的数量必须是整数，我们简单将上述结果取整。

例如：

x1=6923，x2=1231，x3=554（股）。

所用去的资金为185855（元），期望利润为50003（元），此时的风险（方差）为276956312。

问题3）:

分别计算期望利润为0~10万元的情况，MATLAB程序如下：

H=[800;0720;00200];

A=[-5-8-10;202530];

c=[000];

v1=[000];

fori=1:

11,

b=[10000*（-i+1）,300000];

x=quadprog（H,c,A,b,[],[],v1）;

REV（i）=-A（1,:

）*x;

VAR（i）=x'*H*x/2.0;

end

plot（REV,VAR）;

xlabel（'REV'）;

ylabel（'VAR'）;

B卷答案

1．

0.71553;1;

2.[0.5741.226];

;ttest（x,0.5,0.01,1）;拒绝H0

3.1.6296（or1.6297）;R-K方法

4.参考解答：

问题1）全部投资于股票3，最大的期望收益10万元。

问题2）计算结果为：

X=5196.30484988453,923.78752886836,831.40877598153

VAR=2.078521939953814e+008REV=50000

由于在投资时购买股票的数量必须是整数，我们简单将上述结果取整。

例如：

x1=5196，x2=925，x3=831（股）。

所用去的资金为176905（元），期望利润为50000（元），此时的风险（方差）为207852264。

问题3）

考试课程数学实验2002.06.15

A卷答案

2．解：

由原方程积分可得：

f（x）=x/4+1/4+cos

（1）-cos（x）=0

0.44655;1;

2.[0.3861.334];

;ttest（x,0.5,0.01,1）;接受H0

3.1.3090（or1.3091）;R-K方法

4..参考解答：

问题1）全部投资于股票3，最大的期望收益10万元。

问题2）分别用x1、x2和x3表示投资股票1、2、3的数量，决策目标可以表示为

Min

（1）

投资的期望收益约束为

5x1+8x2+10x3>=50000

（2）

考虑可用于投资的资金的限制，即

20x1+25x2+30x3300000（3）

（1）-（3）构成本题的优化模型（加上x1和x2的非负限制）。

MATLAB程序如下：

H=[800;0720;00200];

A=[-5-8-10;202530];

c=[000];

b=[-50000,30000];

v1=[0,0,0];

[x,f]=quadprog（H,c,A,b,[],[],v1）;

x

VAR=f

REV=-A（1,:

）*x

计算结果为：

.0769*******

VAR=2.769230769230770e+008

REV=50000

由于在投资时购买股票的数量必须是整数，我们简单将上述结果取整。

例如：

x1=6923，x2=1231，x3=554（股）。

所用去的资金为185855（元），期望利润为50003（元），此时的风险（方差）为276956312。

问题3）:

分别计算期望利润为0~10万元的情况，MATLAB程序如下：

H=[800;0720;00200];

A=[-5-8-10;202530];

c=[000];

v1=[000];

fori=1:

11,

b=[10000*（-i+1）,300000];

x=quadprog（H,c,A,b,[],[],v1）;

REV（i）=-A（1,:

）*x;

VAR（i）=x'*H*x/2.0;

end

plot（REV,VAR）;

xlabel（'REV'）;

ylabel（'VAR'）;

B卷答案

1．

0.71553;1;

2.[0.5741.226];

;ttest（x,0.5,0.01,1）;拒绝H0

3.1.6296（or1.6297）;R-K方法

4.参考解答：

问题1）全部投资于股票3，最大的期望收益10万元。

问题2）计算结果为：

X=5196.30484988453,923.78752886836,831.40877598153

VAR=2.078521939953814e+008REV=50000

由于在投资时购买股票的数量必须是整数，我们简单将上述结果取整。

例如：

x1=5196，x2=925，x3=831（股）。

所用去的资金为176905（元），期望利润为50000（元），此时的风险（方差）为207852264。

问题3）