传热学作业.docx
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传热学作业
5.一厚度为250mm无限大平壁，其导热系数λ=43+0.08tw/（m·k），平壁一侧温度为250℃，另一侧温度为46℃，试用数值方法确定平壁内的温度分布，并确定通过该平壁的热流密度。
解：
（1）建立模型
本题属于非常物性，无热源的一维稳态导热过程
将平壁沿厚度方向（x方向）划分为N个均匀相等的间距。
节点布置如图所示
本题给出N=10。
（2）通过热流法建立离散方程
a）内节点离散方程
对节点P（i）所代表的微元体，在x方向上与节点P相邻的节点分别为L（i-1）和R（i+1）。
由于节点之间的间距很小，可以认为相邻节点间的温度分布是线性的。
节点P所代表的网格单元与它周围各网格单元之间的导热量可根据傅里叶定律直接写为:
其中
对节点P（i）所代表的微元写热平衡式，即可得节点P（i）温度的离散方程
b）边界节点离散方程
由于本题的壁面温度属于第一类边界条件，因此
c）热流密度的计算
（3）编写流程图
计算机程序中使用的变量标识符：
i节点的坐标变量
t（i）节点i的温度
tt前一次算出的节点温度
k迭代次数
计算机程序中输入数据：
n沿x方向的网格划分数
e控制迭代过程终止的误差
m允许的最大迭代次数
（4）编写程序
本题使用matlab软件，所编写的程序如下：
clear;clc;
t=ones（1,11）;%设定各项初始值
q=ones（1,11）;
t
（1）=250;
t（11）=46;
e=0.01;
k=1;
while1%迭代程序
tt=t;
fori=2:
10
a=43+0.08*（t（i-1）+t（i））/2;
b=43+0.08*（t（i）+t（i+1））/2;
t（i）=（a*t（i-1）+b*t（i+1））/（a+b）;
end
k=k+1;
ttt=abs（t（5）-tt（5））;
if（tttbreak;
end
end
fori=2:
11%计算热流密度
a=43+0.08*（t（i-1）+t（i））/2;
q（i）=q（i-1）+a*（t（i）-t（i-1））;
end
k
t
q=q（i）/0.25
w=0:
25:
250;v=w/25+1;y=t（v）;%绘制温度分布图
plot（w,y）,xlabel（'位置（mm）'）,ylabel（'温度（℃）'）
legend（'平壁内的温度分布',0）,grid
（5）计算结果
迭代次数k=75
平壁温度分布见下表
节点i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
温度t（℃）
250.00
232.01
213.59
194.71
175.35
155.46
134.98
113.87
92.06
69.47
46.00
热流密度q=-4.47E+04w/m2
（6）温度分布图
10.一砖墙厚240mm，内、外表面的表面传热系数分别为6.0w/（m2·k）和15w/（m2·k），墙体材料的导热系数λ=0.43w/（m·k），密度ρ=1668kg/m3，比热容c=0.75kJ/（kg·K），室内空气温度保持不变为20℃，室外空气温度周期性变化，中午12点温度最高为3℃，晚上12点温度最低为-9℃，试用数值计算方法确定内、外墙壁面温度在一天内的变化。
解：
（1）建立模型
本题属于常物性，无热源的一维非稳态导热过程
将平壁沿厚度方向（x方向）划分为N个均匀相等的间距，时间从τ=0开始，按Δτ分割为k段，令i表示内节点位置，k表示kΔτ时刻，节点布置如图所示
本题给出N=10。
（2）通过热流法建立离散方程（采用显式差分格式）
a）内节点离散方程
导热微分方程式为
（1）
温度对时间的一阶导数，采用向前差分，则
（2）
温度对x的二阶导数，采用中心差分表达式应为
（3）
将式（3）和式
（2）代入式
（1），就得到内节点（i,k）的节点离散方程
将上式移项整理得
上式可写作
b）边界节点离散方程
由于本题的壁面温度属于第三类边界条件，因此
整理上式，可得
上式中
，
，于是
移项整理得
，
同理，在室外的壁面上
，
（3）编写流程图
本题中，室外温度的周期变化函数和墙体的初始需要假设
设室外温度按余弦变化，墙体初始温度均匀为1℃。
则
℃
℃
计算机程序中使用的变量标识符：
i节点的坐标变量
t（i）节点i的温度
k时间间隔变量
计算机程序中输入数据：
n沿x方向的网格划分数
np控制打印间隔
tm时间间隔总数
tfa室内温度
tfb室外温度
No
（4）编写程序
本题使用matlab软件，所编写的程序如下：
clear;clc;
n=10%x节点数
tm=480%时间节点
tfa=20;%室内温度
np=10;
Bia=6*0.24/（n-1）/0.43;%计算Bi及Fo准则数初始值
Bib=15*0.24/（n-1）/0.43;
Fo=0.43/1668/750*86400/tm/（0.24/（n-1））^2;
p=（2*Bib+2）*Fo%显式差分格式的稳定性条件P<1
t=ones（1,n）;%输入墙体内部温度的初始值，各节点均设为1
tw=ones（1,tm+1）;
tn=ones（1,tm+1）;
if（p>1）%迭代程序开始
disp（'不稳定'）
else
fors=1:
tm+1
tfb=-3-6*cos（（s-1）/tm*2*pi）;%室外温度
fork=2:
n-1
t
（1）=2*Fo*（t
（2）+tfa*Bia）+（1-2*Fo-2*Bia*Fo）*t
（1）;
t（n）=2*Fo*（t（n-1）+tfb*Bib）+（1-2*Fo-2*Bib*Fo）*t（n-1）;
t（k）=Fo*（t（k-1）+t（k+1））+（1-2*Fo）*t（k）;
end
tn（s）=t
（1）;
tw（s）=t（n）;
end%迭代程序结束
Bia%输出计算结果
Bib
Fo
fork=1:
tm/np
tnn（1,k）=tn（1,np*k）;
tww（1,k）=tw（1,np*k）;
end
tnn
tww
w=0:
tm;%绘制温度变化图
plot（24*w/tm,tn（w+1）,'-r',24*w/tm,tw（w+1））,grid
axis（[0,24,-10,22]）
set（gca,'xtick',[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24]）
set（gca,'ytick',[-10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24]）;
xlabel（'时间'）,ylabel（'温度（℃）'）
legend（'内壁面温度','外壁面温度',0）
end
（5）计算结果
准则数初始值：
Bia=0.3721，Bib=0.9302，Fo=0.0870
时间
内壁面温度（℃）
外壁面温度（℃）
时间
内壁面温度（℃）
外壁面温度（℃）
0:
30
8.22
-1.39
12:
30
14.55
3.89
1:
00
9.45
-1.86
13:
00
14.65
4.06
1:
30
10.28
-2.14
13:
30
14.74
4.19
2:
00
10.89
-2.30
14:
00
14.83
4.27
2:
30
11.37
-2.36
14:
30
14.93
4.31
3:
00
11.76
-2.32
15:
00
15.01
4.30
3:
30
12.09
-2.20
15:
30
15.10
4.26
4:
00
12.36
-2.01
16:
00
15.18
4.18
4:
30
12.59
-1.76
16:
30
15.26
4.06
5:
00
12.79
-1.47
17:
00
15.34
3.91
5:
30
12.97
-1.13
17:
30
15.41
3.73
6:
00
13.13
-0.76
18:
00
15.48
3.53
6:
30
13.27
-0.37
18:
30
15.54
3.31
7:
00
13.40
0.04
19:
00
15.60
3.07
7:
30
13.52
0.46
19:
30
15.65
2.82
8:
00
13.64
0.89
20:
00
15.70
2.57
8:
30
13.75
1.31
20:
30
15.74
2.33
9:
00
13.86
1.72
21:
00
15.77
2.08
9:
30
13.96
2.11
21:
30
15.80
1.85
10:
00
14.06
2.49
22:
00
15.83
1.64
10:
30
14.16
2.83
22:
30
15.85
1.45
11:
00
14.26
3.15
23:
00
15.86
1.28
11:
30
14.36
3.44
23:
30
15.87
1.14
12:
00
14.46
3.68
0:
00
15.88
1.03
（6）温度变化图
clear;clc;
t=ones（1,11）;
q=ones（1,11）;
t
（1）=250;
t（11）=46;
e=0.05;
k=1;
while1
tt=t;
fori=2:
10
a=43+0.08*（t（i-1）+t（i））/2;
b=43+0.08*（t（i）+t（i+1））/2;
t（i）=（a*t（i-1）+b*t（i+1））/（a+b）;
end
k=k+1;
ttt=abs（t（5）-tt（5））;
if（tttbreak;
end
end
fori=2:
11
a=43+0.08*（t（i-1）+t（i））/2;
q（i）=q（i-1）+a*（t（i）-t（i-1））;
end
k
t
q=q（i）/0.25
终止误差0.05
迭代次数59
热流密度q=4.4745e+004
温度分布
节点i
温度t（℃）
1
250
2
231.8819
3
213.3572
4
194.4046
5
174.9949
6
155.0898
7
134.6405
8
113.5867
9
91.8558
10
69.3612
11
46
clear;clc;
m=10
tm=480
tfa=20;
Bia=6*0.24/（m-1）/0.43;
Bib=15*0.24/（m-1）/0.43;
Fo=0.43/1668/750*86400/tm/（0.24/（m-1））^2;
p=（2*Bib+2）*Fo
Bia=6*0.24/（m-1）/0.43;
Bib=15*0.24/（m-1）/0.43;
Fo=0.43/1668/750*86400/tm/（0.24/（m-1））^2;
p=（2*Bib+2）*Fo
t=ones（1,m）;
tw=ones（1,tm+1）;
tn=ones（1,tm+1）;
forn=1:
2;
fors=1:
tm+1
tfb=-3-6*cos（（s-1）/tm*2*pi）;
fork=2:
m-1
t
（1）=2*Fo*（t
（2）+tfa*Bia）+（1-2*Fo-2*Bia*Fo）*t
（1）;
t（m）=2*Fo*（t（m-1）+tfb*Bib）+（1-2*Fo-2*Bib*Fo）*t（m-1）;
t（k）=Fo*（t（k-1）+t（k+1））+（1-2*Fo）*t（k）;
end
tn（s）=t
（1）;
tw（s）=t（m）;
end
end
Bia
Bib
Fo
fork=1:
48
tnn（1,k）=tn（1,10*k）;
tww（1,k）=tw（1,10*k）;
end
tnn
tww
时间
内壁面温度（℃）
外壁面温度（℃）
0:
30
16.474
1.8308
1:
00
16.447
1.7595
1:
30
16.418
1.727
2:
00
16.3876
1.7342
2:
30
16.3562
1.7808
3:
00
16.3244
1.8661
3:
30
16.2928
1.9888
4:
00
16.2617
2.1467
4:
30
16.2319
2.3372
5:
00
16.2038
2.557
5:
30
16.1778
2.8024
6:
00
16.1545
3.0691
6:
30
16.1342
3.3527
7:
00
16.1172
3.6483
7:
30
16.1039
3.9507
8:
00
16.0945
4.255
8:
30
16.0891
4.5558
9:
00
16.0879
4.8481
9:
30
16.0908
5.1268
10:
00
16.0978
5.3871
10:
30
16.1089
5.6247
11:
00
16.1237
5.8354
11:
30
16.1421
6.0157
12:
00
16.1638
6.1625
12:
30
16.1883
6.2732
13:
00
16.2153
6.346
13:
30
16.2442
6.3796
14:
00
16.2747
6.3735
14:
30
16.3062
6.3278
15:
00
16.3381
6.2432
15:
30
16.3699
6.1212
16:
00
16.4011
5.9639
16:
30
16.4311
5.774
17:
00
16.4595
5.5548
17:
30
16.4856
5.3099
18:
00
16.5092
5.0436
18:
30
16.5297
4.7605
19:
00
16.5469
4.4653
19:
30
16.5604
4.1632
20:
00
16.5701
3.8593
20:
30
16.5756
3.5588
21:
00
16.5771
3.2669
21:
30
16.5743
2.9885
22:
00
16.5675
2.7285
22:
30
16.5566
2.4912
23:
00
16.542
2.2807
23:
30
16.5237
2.1007
0:
00
16.5022
1.9542
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