73加乘原理综合应用学生版.docx

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73加乘原理综合应用学生版

知识框架图

7计数综合

7-3加乘原理综合运用

7-3-1简单加乘原理综合运用

7-3-2加乘原理与数字问题

7-3-3加乘原理与图论

教学目标

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．

3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．

在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：

数论类问题、染色问题、图形组合．

知识要点

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：

在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．

还有这样的一种情况：

就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．

⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．

⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．

加法原理运用的范围：

完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：

“加法分类，类类独立”．

乘法原理运用的范围：

这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：

“乘法分步，步步相关”．

例题精讲

模块一、简单加乘原理综合应用

【例1】商店里有2种巧克力糖：

牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：

苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友．

⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？

⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各

种，他有几种选法？

（2级）

【例2】从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？

（2级）

【例3】从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？

（2级）

【巩固】如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？

（2级）

【巩固】王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？

（2级）

【例4】如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点

出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？

（6级）

【例5】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？

（4级）

【例6】某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？

（6级）

【例7】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？

（6级）

【例8】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？

（6级）

【巩固】五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：

共可以表示多少种不同的信号？

（6级）

【例9】五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：

共可以表示多少种不同的信号？

（6级）

【巩固】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：

共可以表示多少种不同的信号？

如果白旗不能打头又有多少种？

（6级）

【例10】（2008年清华附中考题）小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两局，谁先胜三局谁赢．共有种可能的情况．（6级）

【例11】（2009年“数学解题能力展示”中年级复赛试题）过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么，妈妈送出这5件礼物共有　　　　　种方法．（6级）

【例12】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：

一共有多少种不同的订法？

（6级）

【例13】玩具厂生产一种玩具棒，共

节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家厂共可生产________种颜色不同的玩具棒．（8级）

【例14】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由

个字母

、

、

、

、

组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母

不打头，⑵单词中每个字母

后边必然紧跟着字母

，⑶

和

不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？

（8级）

【例15】从6名运动员中选出4人参加

接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：

⑴甲不能跑第一棒和第四棒；

⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6级）

模块二、加乘原理与数字问题

【例16】由数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的数？

（4级）

【例17】由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？

（6级）

【巩固】用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？

（6级）

【巩固】用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？

（6级）

【例18】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数．（6级）

【巩固】用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

（6级）

【例19】在2000到2999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？

（6级）

【例20】在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个?

（6级）

【例21】某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜至少要试多少次？

（6级）

【例22】从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?

（6级）

【巩固】从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?

（6级）

【巩固】从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?

（6级）

【例23】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个．【2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛】（8级）

【巩固】从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少种不同的乘积？

（6级）

【例24】自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同．这样的数共有多少个？

（6级）

【巩固】在1000到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？

（6级）

【例25】如果一个三位数

满足

，

，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数．（8级）

【例26】用数字1，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个？

（6级）

【例27】七位数的各位数字之和为60，这样的七位数一共有多少个？

（6级）

【例28】从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？

（6级）

【例29】在

的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？

（6级）

【巩固】在1~10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？

（6级）

【巩固】在

这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？

（6级）

【巩固】从7，8，9，

，76，77这71个数中，选取两个不同的数，使其和为3的倍数的选法总数是多少?

（6级）

【巩固】从这些数中选取两个数，使其和被3除余1的选取方法有多少种？

被3除余2的选取方法有多少种？

（6级）

【例30】1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法？

（6级）

【例31】一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：

从一位到六位的回文数一共有多少个?

其中的第1996个数是多少?

（6级）

【例32】如图，将1，2，3，4，5分别填入图中

的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．【走进美妙数学花园少年数学邀请赛】（6级）

【巩固】在如图所示1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．（6级）

【例33】从1～12中选出7个自然数，要求选出的数中不存在某个自然数是另一个自然数的2倍，那么一共有种选法．（6级）

【例34】从

到

这

个自然数中有个数的各位数字之和能被4整除．（6级）

【巩固】从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有多少个？

（6级）

【巩固】从1到3998这3998个自然数中，又多少个数的各位数字之和能被4整除？

（6级）

【例35】（2001年第十届日本小学数学奥林匹克决赛）表中第1行是把

的整数依次全部排列出来，然后从第2行起是根据规律一直排到最后的第100行.请问：

这个表中一共有多少个数能被77整除？

【例36】有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？

（6级）

【巩固】有两个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？

（6级）

【例37】有两个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这两个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？

（6级）

【巩固】有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这三个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？

（6级）

【巩固】3个骰子掷出的点数和中，哪个数最有可能？

（6级）

【例38】有一种用12位数表示时间的方法：

前两位表示分，三四位表示时，五六位表示日，七八位表示月，后四位表示年．凡不足数时，前面补0．按照这种方法，2002年2月20日2点20分可以表示为200220022002．这个数的特点是：

它是一个12位的反序数，即按数位顺序正着写反着写都是相同的自然数，称为反序数．例如171，23032等是反序数．而28与82不相同，所以28，82都不是反序数．

问：

从公元1000年到2002年12月，共有多少个这样的时刻？

（6级）

【例39】假如电子计时器所显示的十个数字是“0126093028”这样一串数，它表示的是1月26日9时30分28秒．在这串数里，“0”出现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现．如果在电子计时器所显示的这串数里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只能出现一次，称它所表示的时刻为“十全时”，那么2003年一共有多少个这样的“十全时”？

（6级）

模块三、加乘原理与图论

【例40】地图上有A，B，C，D四个国家（如下图），现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

（6级）

【巩固】如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

（6级）

【例41】如右图，有A、B、C、D、E五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：

每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？

（6级）

【巩固】如右图，有A，B，C，D四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？

（6级）

【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：

共有多少种不同的染色方法?

（6级）

【例42】分别用五种颜色中的某一种对下图的

，

，

，

，

，

六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：

有多少种不同的染法？

（8级）

【例43】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？

（6级）

【例44】直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？

（6级）

【巩固】直线a，b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？

（4级）

【巩固】直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？

（4级）

【巩固】三条平行线上分别有2，4，3个点（下图），已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：

以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？

（6级）

【例45】5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？

（6级）

【例46】一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？

（6级）

【例47】在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？

（补充知识：

由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）．（6级）

【例48】从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出种不同的挑法来．（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）【第九届北京市“迎春杯”决赛第二题第8题】（6级）

【例49】用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？

（6级）

【例50】用红、黄、蓝三种颜色对一个正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？

如果有红、黄、蓝、绿四种颜色对正方体进行染色使相邻面颜色不同一共有多少种方法？

如果有五种颜色去染又有多少种？

（注：

正方体不能翻转和旋转）（6级）

【巩固】用6种不同的颜色来涂正方体的六个面，使得不同的面涂上不同的颜色一共有多少种涂色的方法？

（将正方体任意旋转之后仍然不同的涂色方法才被认为是相同的）（6级）