浙江省高等数学竞赛试题与答案.docx
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浙江省高等数学竞赛试题与答案
（试题共4套数学类、工科类、经管类、文专类
前面是试题后面是答案）
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
工科类
一计算题：
（每小题1４分，满分７0分）
a
b
1．求极限limlogx（x
x）。
名
姓
x
2．设函数
线
达式。
f:
RR可导，且x,yR，满足f（xy）f（x）yxy，求f（x）的表
n
3．计算
xsinxdx（n为正整数）。
0
4．计算
x
yminx,2y
dxdy，D为y
2
x与y
x
2围成的平面有界闭区域。
D
x
3
5．求曲线
acos
，（0
）的形心，其中a
0为常数。
号
y
3
asin
证
考
二、（满分20分）
准
订
证明：
1
n
lnn
n
i1
1
1lnn，n。
i
三、（满分20分）
设u:
R
2
R所有二阶偏导连续，证明
u可表示为u（x,y）
f（x）g（y）的充分必要条件为
业
2
u
u
u。
u
专
x
y
x
y
装
四、（满分20）
在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。
外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）
校
学
1
n
n
证明
k1
k1
（1）
Cn
k
1
kk1
1。
k
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
经管类
一、计算题（每小题14分，满分70分）
1求极限lim
logx（x
ab
）。
x
x
名
姓
2．设f（x）
ax
bx（
（n）
esin
a,bR为常数），求f（0）。
线
n
3．计算
4．求积分
5．设函数
xsinxdx（n为正整数）。
0
2
1x
24dx
1xx
1
2
a
0，常数a
0，试求最小的常数
a，使得f（x）6。
f（x）
x
，x
2
x
号
二、（满分20
分）
证
考
准
证明：
1
n
订
lnn
1
1lnn，n
n
i1i
三、（满分20分）
求
1
2nC2nn的值。
n1（2n
1）2
四、（满分20分）
业
专在草地中间有一个半径为R的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为
装kR,（0k2），求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）
（1）求极限lim
cos
cos
cos
n
n
4
8
2
校
2
2
2
2
2
2
2
学
（2）证明
2
2
2
2
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
数学类
一、计算题（每小题14分，满分70分）
1．求极限limlogx（xa
xb）。
x
名
姓
2．设函数f
:
R
R可导，且
x,y
R，满足f（x
y）
f（x）yxy，求f（x）的表
线
达式。
3．计算
4
x
dx。
0
（cosx
sin
x）cosx
4．计算
x
y
min
x,2ydxdy，D
为y
2
x与y
x
2
围成的平面有界闭区域。
D
号
5．求
1
2n
C2nn
的值。
n
1（2n
1）2
证
考
二、（满分20）
准
订
y
x
证明：
x,y
[0,1]
[0,1]
使xe
ye
1
2。
x
y
三、（满分20分）
设u:
R
2
R所有二阶偏导连续，证明
u可表示为u（x,y）
f（x）g（y）的充分必要条件为
业
2
u
u
专
u
u
。
xy
y
y
装
四、（满分20分）
在草地中间有一个底面半径为3米的圆柱形的房子。
外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为3米，求山羊能吃到草的草地面积
五、（满分20分）
校
学
设an
0，
an
收敛，证明：
n1
1
N
limN
an
0
lim
2
。
N
nan0N
N
N
N
n1
n
3
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
文专类
一计算题：
（每小题14分，满分70分）
1．求极限
名
姓
ab
limlogx（xx）。
x
2．设f（x）
e
ax
bx（
a,b
R为常数），求f
（n）
sin
（0）。
线
2
dx。
3．计算
xsinx
0
4．求不定积分
x
4dx。
1
2
xx
5．极值设函数
f（x）
1
2
a
0，试求最小的常数
a，使得f（x）6。
x
x0，常数a
2
x
号
二、（满分20分）
证
p
考
p
p
准
设p
R，且p1，证明
a0,b0有a
b
ab
。
订
2
2
三、（满分20分）验证
x
x
4
4
4
dx，并计
0
（cosx
sinx）cosx
0
（cosxsinx）cosx
算积分
4
x
dx
（cosxsin
x）cosx
0
业
四、（满分20）
专
装
在草地中间有一个半径为
R的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为
kR,（0k
2），求山羊能吃到草的草地面积。
五、（满分20分）
设函数f（x）在（0,
）内可导，且极限lim
f（x）与lim
f（x）都存
xx
校
在，证明limf（x）0。
学
x
2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题答案
4
工科类答案
一、计算题
1、若
x
a
b
x
a
b
a
x
ba
a
b
lim
lo
gx
（
x
l
i
m
l
ogx
（x1
a）
li
m
loxg
（1
a
x
x
x
同理，当alogx
（x
a
xb）
=b，
所以lim
logx（xa
xb）
=max（a,b）
x
x
2、解：
由假设，
y
0
，有
f（x
y）
f
（x）
1
x
f
可导
f
（x）
1
x
y
同理f（x）
1
x
f（x）
1
x
f（x）
x
2
/2
c
x
n
n
j
n
3、解：
xsinx
dx
j
x
sin
x
dx
x
j
sin
xdx
0
j
1
j1
0
n
n
xsin
xdx
2
j
1
n
2n
n
n
1
2
2n
n
0
j
1
4、解：
D1
x,y
x
y
x,0
x
1
D2
x,y
x/2
y
x,0
x
1/2
D3
2
y
x,1/2
x
1,D4
2
y
x/2,0
x
1/2
x,yx
x,yx
原积分
（y
x）xdxdy
（x
y）xdxdy
（x
y）xdxdy
（x
y）ydxdy
D1
D2
D3
D4
1
x
1
x
1
x
1
1
x
dx
（y
x）xdy
1dx
（x
y）xdy
2dx1（y
x）xdy
2dx
2（x
y）2ydy
0
x
x2
0
x
0
x2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
x
4
1
4
x
5
6
1
x
4
4
6
7
6
x
x2
8
（
x
5
x）1
2
（
x
6
x
21
x）
2
7
0
8
12
2
32
0
24
0
1
1
11
1
1
253
24
7
24
5
32
24
5
32
16
64
21
17920
5、解：
xc
xds/
ds
0，yc
yds/
ds
L
L
L
L
而ds
2
（y
）
2
3asin
cos
d
（x）
d
2
ds
3asin
cos
d
basin
cosd
3a
L
0
0
3
2
/2
4
6
2
yds
x3asin
cos
d
sin
cos
d
asin
6a
5
a
L
0
0
xc
0
yc
2
a
5
5
j1
1
1
j
1
二、证明：
显然
dx
dxj2
j
x
j
j
1x
n
1
j1j
n
另一方面
j1
n
1
1
n
j
1
dx1
n
1
1lnn
1
j
1x
1
dx
j
2
j
j2
x
1
n
1
1
1
n
1
j11
1
1
n
dx
ln
j
j
1
j
n
j
1
j
x
n
n
三、证明：
u
f（x）g（y）时，显然有uuxy
uxuy
反之，若uuxy
uxuy成立，即有
（uuxy
uxuy
2
ux
）y0
）/u
（
u
ux/uf1（x）
也即lnu
f1（x）dx
g1（y）
f2（x）
g1（y）
uf（x）g（y）
四、解：
（方法一）以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在
x轴上
x3
点，则羊跑最远的曲
线在x
3的区域内是渐开线
即x
3（cost
（
/3
t）sint）y
3（sin
t
（
/3
t）cost）
记在x
3山羊能吃到草的草地面积为S1
3
/3
0
/3
2
S12
ydx
2
2
tdt
2
（3sin
t
（
3t）cost）（3t
）costdt
2
9sin
9sin
tdt
3/2
0
/3
0
/3
2
2
/3
2
3
（
3t）sintcost
（
tdt
2
2
tdt
3t）
cos
9sin
0
0
2
2
1
/3
1
2
/3
3（
3t）sin
t（
3t）（t
sin2t）
0
6（
3t）（t
sin2t）
9sin
t
dt
2
2
0
/3
/3
3
3t
2
1
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