}，
要使B⊆∁RA，需
≤
，解得－
≤a<0.
综上可得，实数a的取值范围是a≥－
.
题型四 集合中的新定义问题
例4
（2011·广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
思维启迪：
本题是一道新定义问题试题，较为抽象，题意难以理解，但若“以退为进”，取一些特殊的数集代入检验，即可解决．
答案 A
解析 不妨设1∈T，则对于∀a，b∈T，∵∀a，b，c∈T，都有abc∈T，不妨令c＝1，则ab∈T，故T关于乘法是封闭的，故T、V中至少有一个关于乘法是封闭的；若T为偶数集，V为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而B、C错误；若T为非负整数集，V为负整数集，显然T、V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T，∀x，y，z∈V，有xyz∈V，但是对于∀x，y∈V，有xy>0，xy∉V，D错误．故选A.
探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．
已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．
答案 6
解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．
集合中元素特征认识不明致误
典例：
（5分）（2012·课标全国）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
易错分析 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素（x，y）不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．
解析 ∵B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4）}，
∴B中所含元素的个数为10.
答案 D
温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：
一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、（x，y）；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）的定义域，{y|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）的值域，{（x，y）|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）图象上的点．
遗忘空集致误
典例：
（5分）若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．
易错分析 从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，易遗忘S＝∅的情况．
解析
（1）P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－
，
为满足S⊆P可使－
＝－3或－
＝2，
即a＝
或a＝－
.故所求集合为
.
答案
温馨提醒
（1）根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．
（2）在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S＝∅时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－
可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.
方法与技巧
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
失误与防范
1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
2．解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．解答集合题目，认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩（∁UB）＝∅这五个关系式的等价性．
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟，满分：
57分）
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．（2012·广东）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于（ ）
A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴∁UM＝{3,5,6}．
2．（2011·课标全国）已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
答案 B
解析 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．
∴M∩N的子集共有22＝4个．
3．（2012·山东）已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（ ）
A．{1,2,4}B．{2,3,4}
C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}
答案 C
解析 ∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴（∁UA）∪B＝{0,2,4}．
4．已知集合M＝{x|
≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于（ ）
A．∅B．{x|x≥1}
C．{x|x>1}D．{x|x≥1或x<0}
答案 C
解析 由
≥0，得
∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥1}，
M∩N＝{x|x>1}．
二、填空题（每小题5分，共15分）
5．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝__________.
答案 －1或2
解析 由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.
6．已知集合A＝{（0,1），（1,1），（－1，2）}，B＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝_________.
答案 {（0,1），（－1,2）}
解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
7．（2012·天津）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝
（－1，n），则m＝________，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x|－5B＝{x|（x－m）（x－2）<0}，所以m＝－1，n＝1.
三、解答题（共22分）
8．（10分）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
（1）∵A∩B＝[0,3]，∴
∴m＝2.
（2）∁RB＝{x|xm＋2}，∵A⊆∁RB，
∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.
9．（12分）设符号@是数集A中的一种运算：
如果对于任意的x，y∈A，都有x@y＝xy∈A，则称运算@对集合A是封闭的．设A＝{x|x＝m＋
n，m、n∈Z}，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭？
解 设x＝m1＋
n1，y＝m2＋
n2，那么xy＝（m1＋
n1）×（m2＋
n2）＝（m1n2＋m2n1）
＋m1m2＋2n1n2.
令m＝m1m2＋2n1n2，n＝m1n2＋m2n1，则xy＝m＋
n，
由于m1，n1，m2，n2∈R，所以m，n∈R.
故A对通常的实数的乘法运算是封闭的．
B组 专项能力提升
（时间：
25分钟，满分：
43分）
一、选择题（每小题5分，共15分）
1．（2012·湖北）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2．（2011·安徽）设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（ ）
A．57B．56C．49D．8
答案 B
解析 由S⊆A知S是A的子集，又∵A＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S⊆A的S共有26＝64（种）可能．又∵S∩B≠∅，B＝{4,5,6,7,8}，∴S中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S⊆A的所有子集S中，不含4,5,6的子集共有23＝8（种），∴满足题意的集合S的可能个数为64－8＝56.
3．（2011·湖北）已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝
，x>2}，则∁UP等于（ ）
A.
B.
C．（0，＋∞）D．（－∞，0]∪
答案 A
解析 ∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，
P＝{y|y＝
，x>2}＝{y|0}，
∴∁UP＝{y|y≥
}＝
.
二、填空题（每小题5分，共15分）
4．（2012·陕西改编）集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝____________.
答案 （1,2]
解析 M＝{x|lgx>0}＝{x|x>1}，
N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，
∴M∩N＝{x|x>1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|15．已知M＝{（x，y）|
＝a＋1}，N＝{（x，y）|（a2－1）x＋（a－1）y＝15}，若M∩N＝∅，则a的值为____________．
答案 1，－1，
，－4
解析 集合M表示挖去点（2,3）的直线，集合N表示一条直线，因此由M∩N＝∅知，点（2,3）在集合N所表示的直线上或两直线平行，由此求得a的值为1，－1，
，－4.
6．设A＝{x||x|≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}，若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是__________．
答案 （－∞，－3）
解析 A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y≤t}，
由A∩B＝∅知，t<－3.
三、解答题
7．（13分）已知集合A＝{y|y2－（a2＋a＋1）y＋a（a2＋1）>0}，B＝{y|y＝
x2－x＋
，0≤x≤3}．
（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围；
（2）当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁RA）∩B.
解 A＝{y|ya2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．
（1）当A∩B＝∅时，
∴
≤a≤2或a≤－
.
（2）由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0，
依题意Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
∴a的最小值为－2.
当a＝－2时，A＝{y|y<－2或y>5}．
∴∁RA＝{y|－2≤y≤5}，∴（∁RA）∩B＝{y|2≤y≤4}．
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