秋北师大版九年级数学下册河南检测24 二次函数的应用.docx
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秋北师大版九年级数学下册河南检测24二次函数的应用
2.4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积问题
01 基础题
知识点 利用二次函数解决面积问题
1．已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（B）
A．25cm2B．50cm2
C．100cm2D．不确定
2．（六盘水中考）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（C）
A．60m2B．63m2
C．64m2D．66m2
第2题图第3题图
3．用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（C）
A.
m2B.
m2
C.
m2D．4m2
4．（衢州中考）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.
5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过3s，△PBQ的面积最大．
6．（滨州中考）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180cm，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？
最大为多少？
（材质及其厚度等暂忽略不计）
解：
根据题意，得y＝20x（90－x）
＝－20x2＋1800x
＝－20（x－45）2＋40500.
∵a＝－20＜0，
∴当x＝45时，函数有最大值，y最大＝40500，
即当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大为40500cm3.
02 中档题
7．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为（D）
A．x＝10，y＝14B．x＝14，y＝10
C．x＝12，y＝15D．x＝15，y＝12
第7题图第8题图
8．如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为4m2.
9．（温州中考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2.
10．（安徽中考）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？
最大值是多少？
解：
（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍．∴AE＝2BE.设BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF＋FC＋HG＋AE＋EB＋EF＋BC＝80，即8a＋2x＝80.∴a＝－
x＋10，3a＝－
x＋30.∴y＝（－
x＋30）x＝－
x2＋30x.
∵a＝－
x＋10＞0，∴x＜40.
则y＝－
x2＋30x（0＜x＜40）．
（2）∵y＝－
x2＋30x＝－
（x－20）2＋300（0＜x＜40），且－
＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
11．（成都中考）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直
角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm.
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
解：
（1）∵AB＝xm，则BC＝（28－x）m，
∴x（28－x）＝192.
解得x1＝12，x2＝16.
答：
x的值为12或16.
（2）由题意，可得S＝x（28－x）＝－x2＋28x＝－（x－14）2＋196.
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∴
解得6≤x≤13.
∴x＝13时，S取到最大值为－（13－14）2＋196＝195.
答：
花园面积S的最大值为195平方米．
03 综合题
12．（潍坊中考改编）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，求该纸盒侧面积的最大值．
解：
如图，∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形CGQH，
∴AD＝BE＝BF＝CG＝CH＝AK.
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO＝PE＝PF＝QG＝QH＝OK，四边形ODEP，四边形PFGQ，四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO＝∠AKO＝90°.
连接AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD＝∠OAK＝30°.
设OD＝x，则AO＝2x，AD＝
x，
∴DE＝6－2
x.
∴纸盒侧面积为3x（6－2
x）＝－6
x2＋18x＝－6
（x－
）2＋
.
∴当x＝
时，纸盒有最大侧面积，纸盒侧面积最大为
cm2.
第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
01 基础题
知识点 利用二次函数解决实物抛物线问题
1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：
米）的一部分，则水喷出的最大高度是（A）
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
2．（金华中考）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－
（x－80）2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（B）
A．16
米B.
米
C．16
米D.
米
3．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是3m.
第3题图第4题图
4．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5米．
5．（绍兴中考）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－
（x－6）2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－
（x＋6）2＋4．
6．（随州中考）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：
m）与飞行时间t（单位：
s）之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？
最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：
m）与飞行时间t（单位：
s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
解：
（1）∵抛物线y＝at2＋5t＋c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴
解得
∴抛物线的表达式为y＝－
t2＋5t＋
＝－
（t－
）2＋
，
∴当t＝
时，y最大＝4.5.
（2）把x＝28代入x＝10t，得t＝2.8，
∴当t＝2.8时，y＝－
×2.82＋5×2.8＋
＝2.25＜2.44.
∴他能将球直接射入球门．
02 中档题
7．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（C）
A．50m
B．100m
C．160m
D．200m
8．（台州中考）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝1.6．
9．（德州中考）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在到水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；
（2）求出水柱的最大高度为多少？
解：
（1）如图所示：
以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的表达式为y＝a（x－1）2＋h，
代入（0，2）和（3，0），得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－
（x－1）2＋
，
即y＝－
x2＋
x＋2（0≤x≤3）．
（2）y＝－
（x－1）2＋
（0≤x≤3），
当x＝1时，y最大＝
，
即水柱的最大高度为
m.
03 综合题
10．（青岛中考）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－
x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为
m.
（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
解：
（1）由题意，得点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（3，
），代入表达式，得
解得
∴该抛物线的函数表达式为y＝－
x2＋2x＋4.
∵y＝－
x2＋2x＋4＝－
（x－6）2＋10，
∴拱顶D到地面OA的距离为10m.
（2）抛物线的对称轴为直线x＝6，汽车宽4m，
当x＝6＋4＝10时，y＝－
×102＋2×10＋4＝
>6，
∴这辆货车能安全通过．
（3）当y＝8时，－
x2＋2x＋4＝8，即x2－12x＋24＝0，解得x1＝6＋2
，x2＝6－2
.
∴两排灯的水平距离的最小值是：
6＋2
－（6－2
）＝4
（m）．
第3课时 利用二次函数解决利润问题
01 基础题
知识点 利用二次函数解决利润问题
1．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y与x的函数关系是（D）
A．y＝x2＋aB．y＝a（x－1）2
C．y＝a（1－x）2D．y＝a（1＋x）2
2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出（350－10x）件商品，则商品所获利润y元与售价x元之间的函数关系为（B）
A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
3．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数表达式为（A）
A．y＝－10x2＋100x＋2000
B．y＝10x2＋100x＋2000
C．y＝－10x2＋200x
D．y＝－10x2－100x＋2000
4．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，这种工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（B）
A．3.6元B．5元
C．10元D．12元
5．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，于是当地政府决定对该特产的销售进行投资．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：
每投入x万元，可获得利润P＝－
（x－60）2＋41（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是205万元．
6．某水果店销售一批水果，每箱进价为40元，售价为60元，每天可卖50箱，则一天的销售利润为1__000元．由于积压时间不能太长，所以该店决定降价售出，若每降价5元，则每天可多售出10箱．若现在售价为x元（40＜x＜60），则现在每天可多卖出（120－2x）箱，每天共卖出（170－2x）箱，每箱的利润为（x－40）元，即每天的总利润为（x－40）（170－2x）元．
7．（沈阳中考）某种商品每件进价为20元，调查表明：
在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件．若使利润最大，则每件的售价应为25元．
8．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．则果园里增种10棵橘子树时，橘子总个数最多．
9．（十堰中考）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：
若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销售量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱
．
（1）写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？
最大利润是多少元？
解：
（1）根据题意，得y＝60＋10x，
由36－x≥24，得x≤12，
∴x的取值范围为1≤x≤12，且x为整数．
（2）设所获利润为W，
则W＝（36－x－24）
（10x＋60）
＝－10x2＋60x＋720
＝－10（x－3）2＋810，
∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810.
此时定价为：
36－3＝33（元）．
答：
超市定价为33元，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．
02 中档题
10．某体育商店试销一款成本为50元的足球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于50%.经试销发现，每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝－x＋120，那么可求出该体育商店试销中一天可获得的最大利润为1__125元．
11．（安徽中考）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入－成本）；
（3）试说明
（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
解：
（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，则
解得
即y与x之间的函数表达式是y＝－2x＋200.
（2）由题意可得W＝（x－40）（－2x＋200）＝－2x2＋280x－8000.
（3）∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2（x－70）2＋1800（40≤x≤80），
∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，
当x＝70时，w最大，此时w最大＝1800.
即售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
03 综合题
12．（莆田中考）某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1所示（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数表达式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图2所示．
视频讲解
（1）求y2的表达式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得的利润最大？
最大利润是多少？
解：
（1）由题意可得，函数y2的图象经过两点（3，6），（7，7），
∴
解得
∴y2的表达式为y2＝
x2－x＋
（1≤x≤12）．
（2）设y1＝kx＋b.
∵函数y1的图象过两点（4，11），（8，10），
∴
解得
∴y1的表达式为y1＝－
x＋12（1≤x≤12）．
设这种水果每千克所获得的利润为w元．
则w＝y1－y2
＝（－
x＋12）－（
x2－x＋
）
＝－
x2＋
x＋
，
∴w＝－
（x－3）2＋
（1≤x≤12）．
∴当x＝3时，w取最大值
.
答：
第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是
元/千克．
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