DSP第二版中文习题解答图文精Word文件下载.docx
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对于因果系统来说,输出响应有变化一定是在输入有变化以后才有发生,输出变化不能发生在输入变化之前,即因果系统不是超前系统。
于是对于0121,,（（,（（nnxnxnynyn2≤==如系统输入无变化即则输出也无变化该系统是稳定系统。
具体见参考答案2.24.
（（（（（（4
（1232425（（4（（4（（
kkhnnnnnnnynunhnukhnkhnkδδδδδδ∞∞
==+−+−+−−−−−=−∗=
−∗−=−∑∑再求具体见参考答案
2.30例,对（（0
kTxnxnnkδ∞
==−⎡⎤⎣⎦∑（（（（,10TnnTnnδδδδ1=+=≠+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦但
2.31考虑如下差分方程:
12
（（1（2（155
ynynynxn+
−−−=求该方程齐次解的一般形式;
分别有一因果和非因果的LTI系统都有这个方程表征,求这两
个系统的单位脉冲响应;
证明因果LTI系统是稳定的,非因果LTI系统是不稳定的;
当
（3（5n
xnu⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠
n,求该差分方程的一个特解。
解:
齐次解是假设输入时,系统对初始条件的响应,即系统的零输入响应,也称为系统的自然响应。
系统特解是假设零初始条件下,系统对输入（0xn=（xn的响应。
a此方程特征方程为2
120155cc+
−=,得特征根为1223,35
cc=−=差分方程齐次解为:
1223（35n
ynAA⎛⎞⎛⎞
=−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
b求取系统的单位脉冲响应,因为对于（（xnnδ=,系统特解是零。
因此系统的单
位冲激响应为1223（35nn
hnAA⎛⎞⎛⎞
的形式,现求取两个常数项,可以利用迭
代法求取常数项。
1AA和2对于输入为（nδ的输出响应:
13
hnhnhnnδ+−−−=因果系统满足:
（1（20hh−=−=1212
（0（0（1（21155
12123
（1（1（0（11551535hhhAAhhhAδδ=−
−+−==+−=−+−=−=+A
得1210910293,（（1919193195n
AAhnunun⎛⎞⎛⎞==∴=−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
因果系统（
同理,对于非因果系统,系统初始条件（1（20hh==,则系统满足:
1212
（2（1（0（2（001555135（1（1（0（102152351592（2（0（1（0215249hhhhhhhAAhhhAδδδ+
−=→=⎡⎤
−=+−==−+⎢⎥⎣⎦⎡⎤
−=+−−=−=+
⎢⎥⎣⎦5A得12109,1919
AA=−
=−10293（（1（1193195n
hnunun⎛⎞⎛⎞
∴=−−−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
因果系统−−
也可以对差分两边求取Z变换,得到
121211112
（（（（155
111019919（122323（11111553535YzzYzzYzXzYzHzXzzzzzzz−−−−−−−+
−==
===+⎛⎞⎛⎞+−+−+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
1−利用因果序列和非因果序列（右边序列和左边序列的Z反变换特性c因果系统的冲激响应指数项小于1,即
（nhn∞
∞∑,故系统是稳定系统,而非因果
系统
→∞∑,故该系统是非稳定系统
d系统特解求取时,其解具有与输入相同的形式,当（（n
xnaun=,且不是特征
方程的解,其特解形式是。
这里a（（n
pynAaun=3
5
a=
是特征方程的解,因此特解形式,把此解形式代入:
（（npynAnaun=（（（（1
3132331251555551323121
15555993（（
19195nnnn
pAnAnAnAnAnAnAynnun−−−−⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
+−−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
∴+−−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞
∴=∴=⎜⎟⎝⎠
2.42
[][][][]12121
12（（（（（（（（（（（（（（（（（（1（（（1
naynxnxnhnhnxnnhnhnxnhnhnnhnhnnnunununδδδβδααβα
−=+∗∗=∗+∗=∗∴=+∗=+−∗=+−
（（
1（1jjjjjYeecHe
eX
eωω
ω
βα−−+==
−
2.50a
[][]
[]（（（（（6（2（2（4（（（2（2（（4（6（
（62（2（6（4
（（62（2（8（4（10
qnvnwnununnnnunnunnunnunnunnunnununununununδδδδδδδδ=∗=−−∗+−+−=∗+∗−+∗−−−∗−−∗−−−∗−=−−+−−−+−−−δ
b根据:
（（（（（1（（2（（3（（（（1（（（1
（（（1（12（3（5
nknkrnvnqkqnnqnnqnnqnkqnunvnwnunrnwnununununδδδδ−=−∞
−=−∞
∗=
=∗−+∗−+∗−+=∗
=∗−=∗∗−∴=∗−=−+−+−∑∑
第三章作业讲解
3.3求下列每个序列的Z变换,包括收敛域,并画出零极点图。
全部以闭式表示
[][][][][][]（（（（（（[]（[][][][][][][][]（（（1211011,1,21,,,,,,1bbcxxhhxhxhcbbcbbcxnNxnNxnNxnLhnLynxnhnLLLxnMNhnMNynxnhnMMNNxnxnxnXzXzzXz−−−21=∗==∗++=∗−⇔=⋅∵在区间,-1以外都是零,在区间以外都是零而的非零值区间在,根据有限长序列卷积公式的性质:
如长为长为那么的长度为即的非零区间在的非零值包含在内,则的非零值将会被限制在区间因此（+−（（[]2
1121011111110NNNNn
bcNNnczzzXzxXzzzzzzxnzz−−−−−−=⎛⎞−−−===∴=⎜⎟−−−⎝⎠
≠∑为右边有限长序列,收敛域为的整个平面
3.6用部分分式和幂级数展开法求Z反变换,并求傅立叶变换是否存在。
（1
11,azXzzza
−−−−=>
a
由于傅立叶变换是单位圆上的Z变换,如果Z变换收敛域包括单位圆,则该序列的DTFT收敛。
上面例子或可以考虑（xn在1a>
时能满足绝对可和的条件,即
所
以（0
nxn∞
=<
∞∑（xn在1a>
时DTFT傅立叶变换收敛.关于傅立叶变换收敛以及是否存在的讨论,详细
见书上2.7讨论,以及书上第三章Z变换和傅立叶变换的关系
3.13
所以[]1321111!
9!
7!
g=−
+−3.22考虑一稳定的LTI系统,其单位脉冲响应的Z变换（13
113
Hzz−=
+,假定系统的输入（（xnun=,用离散卷积和求（Yz反变换的方法求输出（yn。
3.24
（（（（444n
nnnkknkAzanz
nkznkzzδδ∞
∞
∞∞∞∞
−−−=−∞
=−∞=−∞=−∞=−∞=−∞⎛⎞=
=−=−=⎜⎟⎝⎠
∑∑∑∑∑∑n
k−要使得为一个有界值,（4k
kAzz
=
∑（0
44441
01
k
kkkkkAzz
z
zz∞
====
+=+<
∑∑∑∑∞,
其中要使第一项为有界值,要求4
1z<
而要使得第二项为有界值的话,4
1z−<
所以没
有任何z的取值同时满足这两个要求,故该序列函数的Z变换不存在。
上例的
序列实际上是一个周期序列,而周期序列是不存在Z变换的,周围序
列不存在z变换分析的方法即如上所示。
（4knkδ∞
−∑
3.28
（（（（（
（（（（35211
0sin,1
sin13!
5!
21!
1111,,0,,0,,0,1,0,0217!
3!
nnkXzzROCzzzzXzzznxnnkkδ−−∞
↑=====−+++−−⎧⎫∴=−−=++⎨⎬+⎩⎭∑∵
包括
（（（
（（（（（（
（（4.7a（（（（1（0,（0,1（（ddcccdjtjt
cccc
djtccdjsjccccccjcT
xtststXjxtedtststedtSjstedt
Sjsse
dsSjeSjTXjTxnxnTXeXjXjTττω
ωατατατααππ∞
−Ω−Ω−∞−∞∞
−Ω−∞∞
−Ω+−Ω−∞
Ω==+−Ω==+−⎡⎤⎣
⎦=Ω+−=Ω+=Ω+Ω=Ω≥∴Ω=Ω≥==Ω=Ω−∫∫∫∫这里由于当（21212122dskcckkkjT
TcckkjkkkXjjXjjTTTTTTkkSjjSjje
TTTT
TTωπτωπωπωπαωπ∞
∞∞=−∞=−∞⎛⎞
∞∞
−−⎜⎟⎝⎠
=−∞=−∞Ω⎛⎞⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑
1,0,1dd
jjjT
T
eT
bHjHe
Hje
τ
τω
ωαπα−Ω−Ω=⎧+Ω≤⎪Ω=⎨
⎪⎩=Ω=+其他
（（（（
（（（（（11
1,122sin1sin12111sin1
22,122djjjn
jnT
djnjnjjndcThnH
eedeenneednnnnnThnHeednnωπ
π
ωωπππωωππ
ωωπ
dτωαπ
αππαωπ
ππδαδαπτωδπ
π−−−−−
⎛⎞==
+⎜⎟⎝⎠
−⎡⎤⎣⎦=+=
+−=+−ω⎡
⎤⎛⎞−⎜⎟⎢⎥
⎝⎠⎣
⎦
==
=+
⎛⎞−⎜⎟
⎝
⎠∫∫∫∫当当
（（24.21
11jcsckkaTkXeXjjkXjjTTT
π2Tωπ∞∞=−∞=−∞=Ω⎛⎞=Ω−Ω=−⎜⎟⎝⎠∑∑采样周期根据采样后频谱表示
采样后的频谱可以由连续信号的频谱周期延拓而成,注意离散信号的频谱的频率轴定标为
2sTωπ=Ω=ΩΩ
b求不引起混叠失真的最低采样频率,要考虑窄带信号的频谱特性。
如果用频率为
112Ω+Ω的复指数信号调制（cxt（该频率又称为载波频率
（（（212
jtccytxte
−Ω+Ω=,
则
的频谱为（cyt（（（{}
212
12jtccYjXjFeπ
−Ω+Ω⎡⎤Ω=
Ω∗⎣⎦其中
（212
jtFe
−Ω+Ω⎡⎤⎣⎦
为
（2122122jtjt
e
dtπδ∞
−Ω+Ω−Ω−∞
Ω+Ω⎛
⎞=Ω+⎜⎟
∫
则
（（212112222cccYjXjXjπδπ
Ω+ΩΩ+Ω⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎛⎞Ω=
Ω∗Ω+=Ω+⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝
⎠⎩⎭⎦（,
即对Xc⎣jΩ频谱向左移动
22
Ω+Ω1
则（cYjΩ的频谱为:
（
cYjΩ0−Ω0
Ω
其中（0212Ω=Ω−Ω,而
的Nyquist率或最小采样频率（cytsΩ为,
（由调制信号
恢复022Ω=Ω−Ω1（cyt（cxt的过程称为解调。
对于
（（（（212212jtcccceytxtXjYjΩ+ΩΩ+Ω⎡⎤⎛
⎞⋅=⇒Ω=Ω−⎜⎟⎢⎥⎝
⎠⎣⎦,这表明（cxt可以惟一
地从其采样（csxnT中恢复,只要满足222ssF1ππΩΩ−Ω≥=,或采样周期满足21
2sTπ
Ω−Ω。
以采样频率sΩ对（c
xt进行采样,采样信号频谱是:
（sc
s
ks
XjXjjkT∞
Ω=
Ω−Ω∑
sXjΩ1sΩ−Ω2
Ω1Ω2sΩ−Ω
为保证移位频谱之间没有干扰,需要212ss1Ω−Ω≤Ω
Ω≥Ω−Ω或。
如果这个条件满足,
则（c
xt可以用一个频率响应如下图所示的带通滤波器惟一地从（s
xt中重建:
由于采样频率,可得重建滤波器是一个复带通滤波器,其脉冲响应为
2s
Ω=Ω−Ω1（（（212sin2jtsrsthtTet
π−Ω+ΩΩ=,这个产生复带通信号（cxt的重建滤波器输出为:
（（（（（212
sin2scr
njtnTsssnsxtxnhtnTtnTTxne
tnTπ∞
−Ω+Ω−=−∞
−Ω−=−∑∑
4.23
根据（1
0,cxtTπ
=Ω≥
采样周期1s
TT=,所以从A/D转换步骤得到（jXe
ω的频谱
图为下图中,实际上对下图左频率轴重新定标为1sTTω=ΩΩ=。
因此得到离散时间采样
信号没有频谱混叠现象发生,即（jXe
的频谱完全在ππ−∼范围内。
根据书上4.3小节从采样信号重建连续信号的内容,根据公式4.28表示出D/C低通重建滤
波器为（
0
rTTHjπΩ≤⎧Ω=⎨⎩,因此下图右图为重建信号（cyt的频谱图。
根据频率轴定标和时间轴定标之间的对应性,直接得到（2211ccTTytxtTT⎛⎞
⎜⎝⎠
⎟。
这里利用如果（（2ccytxTt=,则频谱（（2ccYjXjTΩ=Ω,如果频谱（（1ccXjYjTΩ=Ω,
则（（（（11,c
cccxtyTtytxtT==或
4.25系统组成见下图:
effHjΩ
（（（（（（（（（（（2
21
11（（（（1sssssscscjkt
kTjkt
jkt
sTks
ss
jt
jtsnjktjtksaxtxtstXjXjSjststSke
Skte
dtste
TTTSjstedttnTedt
eedtTπδδ∞
Ω=−∞
Ω−Ω−=−∞
−Ω−Ω−∞−∞
=−∞∞∞Ω−Ω−∞=−∞=⇒Ω=
Ω∗Ω⎡⎤⎣
⎦=ΩΩ=
=⇒=
⎡⎤⇒Ω==−⎢⎥⎣⎦
=∑∑∫
∑∫∫∫根据为周期信号展成傅立叶级数形式（（（2（11
（,222000
2sksscc
sssks
kTXjXjSjX
kTTπδπππ∞=−∞∞
=Ω−Ω∴Ω=Ω∗Ω=Ω−ΩΩ==×
⎡⎤⎣⎦∑∑∑
2ss
TπΩ=（
sXjΩπ
2π
−（
jXeω
Tπ−Ω
1s
T1sT
b下图列出系统在
（jHe
理想低通的作用过程
（（（（4,4
,418
1000077
10sec
8
4
jjNcNcbHeXeTXjTTTTωωπ
ωππωππ
πππ
ω−≤≤Ω≥ΩΩ×
−×
≥≥⋅≤×
≤
44根据理想低通的作用过程中看出,即使发生混叠但只要其混叠成分频率范围在
其混叠影响就不会输出,虽可能影响了一些高频分量的输出,但总比有信号混叠失真要强。
因此要求:
2-这里为的最高频率210即:
2210另外,如果系统所处理的信号都是低频信号则这个低通滤波器
也就（4
12.5sec.
TTπ
πμ×
≥≥4
没有施加作用的必要,因此要求输入信号最高频率210所以由此要求,得出
4.26各序列在时域中的表现参照下图所示（实际情况（xn并非为正弦序列,仅仅作演示用:
（xn（
sxn（
dxn
（（（（（210
210
221
0,,0,1,2（01,1
0,11
1skMj
knM
kMj
kn
jjn
jnM
nnkMjkn
jkMMknxnnMkkxnnMkxnnMke
xnMXe
xne
M
XeM
ππω
ωωππωωδ∞=−∞−=∞
∞−−−=−∞
=−∞=⎡⎤⎛⎞
−∞
−−−⎜⎟⎢⎥⎣
⎦⎝⎠==−∞==±
±
⎧⎛⎞⎪
==−⎨⎜⎟⎝⎠⎪⎩=⎛⎞⎧==⎨⎜⎟⎩⎝⎠
==⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠
∑∑∑∑∑∑∑其他
其他（（（（（
0120
MkMjMl
jMjkM
ds
ssnlkXe
xMne
xle
Xe
ωωωω
ω−=∞
−−−−=−∞
===
==∑∑∑∑π
（（（（（（（（243313241
333
jjsjjjjsjjjjdsXeXeXeXeXeXeXeXeXeXeMωωππωωω
ωωωωωππ⎛⎞⎛
⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠
⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦由上可见仅仅是移位谱的和
即把谱分别向右移动、再和相加后乘以
而是谱在频率轴放大了倍的表示
4.38
该系统首先经历采样的过程,由于（cXjΩ最高频率cT
Ω=,采用周期T采样后的频谱
延拓正好没有混叠现象发生,即（（jxnXe
对应的为
再经过上采样操作后（jVe
其后经过数字滤波（jHeω
其中滤波器增益为1。
该滤波
器滤除了在Lππ∼之间的镜像频谱。
1T
2−π
（jnwneπ和相乘,相当于把We（j的频谱由中心为0的地方移动中心为π的地方。
ω（（（（（
2222jn
jkjkj
kj
Fwne
WeFe
WekWe
kdWekdWeπω
πω
πωθππε
ωθπεωππδωπππδθππθ
δθππθ
=−∞∞
−−
+−
−+
−⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⋅=∗=∗−+⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
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