中考复习分式运算 2.docx

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中考复习分式运算2

特殊平行四边形

目标：

熟练掌握平行四边形的概念和性质并能用简明的语言归纳平行四边形的性质特点，掌握平行四边形的判定方法并能熟练应用。

有关平行四边形的题目容易出现在选择题、填空题、解答题、证明题中。

概念：

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

性质：

平行四边形的邻角互补，对角相等；对边平行且相等；对角线互相平分。

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。

判定（证明）：

1.从边的角度：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2.从角的角度：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3.从对角线的角度：

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

特殊的平行四边形：

1.矩形

定义：

有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

性质：

具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形．

2.棱形

定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

性质：

具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

3.正方形

定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

有一组邻边相等的矩形是正方形。

有一个角是直角的菱形是正方形。

既是矩形又是菱形的四边形是正方形。

性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．

边：

四条边相等、邻边垂直、对边平行；

角：

四角都是直角；

对角线：

①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；是轴对称图形，

有4条对称轴，又是中心对称图形。

另一较特殊的四边形——梯形

（1）梯形的定义：

一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形

性质：

梯形是特殊的四边形，具有四条边，上下底平行．

（2）等腰梯形的定义：

两腰相等的梯形是等腰梯形

性质：

等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线

相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．

（3）直角梯形：

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

易错点：

1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。

解析：

错误，如等腰梯形。

2.对角线相等的四边形是矩形。

解析：

错误，如等腰梯形等。

对角线相等且平分的四边形是矩形。

3.四条边相等的四边形是正方形。

解析：

错误，是棱形，当其中有一个角是90度时才是正方形。

典型例题解析

例1如图，已知平行四边形ABCD，AE平分

∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，

DC=6cm，AD=2cm，则DE、EF、FC的长。

解析：

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AD=BC（平行四边形的对边平行且相等），所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），又因为AE平分∠DAB，所以∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以DA=DE=2cm（等角对等边）．同理BC=CF=2cm．所以EF=DC—DE—CF=6cm—2cm—2cm=2cm．

小结：

如果已知图形是平行四边形，首先根据平行四边形的定义得出四边形的对边平行，再由平行四边形的特征——对边平行且相等，得出角之间的相等关系；若有角平分线，就可构造等腰三角形，由此沟通边与角之间的相等关系。

例2如图，已知矩形ABCD中，AC与BD

相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，

∠BDE＝15°，试求∠COE的度数．

解析：

由“四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC”知∠CDE＝∠CED＝45°，又∠BDE＝15°，所以∠CDO＝60°，由矩形的特征“对角线互相平分”可知，OD＝OC，故△OCD是等边三角形，从而有OC＝OD＝CE，∠DCO＝60°，∠OCE＝30°，进而求得∠COE＝21（180°—∠OCE）＝75°．

小结：

矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上（四个角都是直角），结合角平分线、等腰三角形和三角形内角和的特征，是解决求角度问题的基本方法和途径．

例3如图

（1），正方形ABCD和正方形CEFG

有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，

连接BG、DE．

（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？

并说明理由．

（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，

如图

（2），BG和DE是否还存在上述关系？

若存在，

试说明理由；若不存在，也请你给出理由．

解析：

（1）BG＝DE，BG⊥DE；理由是：

延长BG交DE于点H，由题知，把△DCG绕点C顺时针旋转90°，与△DCE重合，所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠GBC＋∠DEC＝90°，得∠BHE＝90°．

（2）上述结论也存在．理由：

设BG交DE于H，BG交DC于K，把△BCG绕点C顺时针旋转90°，使之与△DCE重合，得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．

小结：

综合利用正方形和旋转的性质是解决本题的关键．

例4、如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD

上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.

（1）求∠APB的度数；

（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长.

解析：

（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°.

又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=1/2（∠DAB+∠CBA）=90°，

∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°

（2）∵AP平分∠DAB且AB∥CD，∴∠DAP=∠PAB=∠DPA.∴△ADP是等腰三角形.

∴AD=DP=5cm.同理PC=CB=5cm，∴AB=DP+PC=10cm.在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，根据勾股定理可得BP=6（cm）.∴△APB的周长是6+8+10=24（cm）.

小结：

熟练掌握平行四边形和角平分线的性质是关键。

平行四边形单元检测卷

一、选择题

1．在平行四边形ABCD中，∠A：

∠B：

∠C：

∠D的值可能是（　　）

A．

1：

2：

3：

4

B．

1：

2：

2：

1

C．

2：

2：

1：

1

D．

2：

1：

2：

1

2．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（　　）

A．

9

B．

10

C．

11

D．

12

3．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（　　）

A．

4＜x＜6

B．

2＜x＜8

C．

0＜x＜10

D．

0＜x＜6

4．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A

AB∥DC，AD∥BC

B．

AB=DC，AD=BC

C．

AO=CO，BO=DO

D．

AB∥DC，AD=BC

5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（　　）

A．

S▱ABCD=4S△AOB

B．

AC=BD

C．

AC⊥BD

D．

▱ABCD是轴对称图形

6．如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（　　）

A．

5

B．

7

C．

10

D．

14

7．如图所示，线段a、b、c的端点分别在直线l1、l2上，则下列说法中正确的是（　　）

A．

若l1∥l2，则a=b

B．

若l1∥l2，则a=c

C．

若a∥b，则a=b

D．

若l1∥l2，且a∥b，则a=b

8．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=（　　）度．

A

30

B．

36

C．

40

D．

72

9．如图，过三角形内一点分别作三边的平行线，如果三角形的周长为6cm，则图中三个阴影三角形的周长和为（　　）

A．

6cm

B．

8cm

C．

9cm

D．

10cm

10．（广州模拟）如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（　　）、

A．

30

B．

36

C．

54

D．

72

11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（　　）

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

12．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：

①△ABC≌△AED；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CDE；⑤S△ABE=S△CEF．

其中正确的是（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①②⑤

D．

①③④

二、填空题

13．（4分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B=50°，则∠D=　_________　．

14．（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若添加一个条件　_________　，则四边形EBFD为平行四边形（只填一个条件即可）．

15．在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=　_________　．

16．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点正好是一个平行四边形的四个顶点，且这个平行四边形的面积恰好为2，则这样的平行四边形有　_________　个．

17、如图，直线GH与正六边形ABCDEF的边AB、EF分别交于点C、H，∠AGH=48°，则∠GHF的度数为　_________　．　

18．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=

，则S2=　_________　．

三、解答题

19．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF求证：

AE=CF．

20．如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：

四边形DEBF是平行四边形．

四、解答题

21．如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．

（1）求∠EDB的度数；

（2）求DE的长．

22．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E+∠F=260°，求两外角和∠α+∠β的度数．

23．已知：

如图，平行四边形ABCD中，AE、BE、CF、DF分别平分∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA，BE、DF的延长线分别交AD、BC于点M、N，连接EF，若AD=7，AB=4，求EF的长．

24．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．

（1）求证：

CD=AN；

（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．

25．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：

DE+DF=AC．

（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．

（3）若AC=6，DE=4，则DF=　_________　．

26．分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，

（1）中结论还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，说明理由．