黄石市中考满分作文简案.docx

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黄石市中考满分作文简案

必修作业模版内容

1．教学设计学科名称

2．所在班级情况，学生特点分析

3．教学内容分析

4．教学目标

5．教学难点分析

6．教学课时

7．教学过程

8．课堂练习

9．作业安排

10．附录（教学资料及资源）

11．自我问答

你能证明它们吗（初中数学九年级）

教学目标

（一）教学知识点

1．作为证明基础的几条公理的内容．

2．证明的基本步骤和书写格式及思路．

（二）能力训练要求

1．使学生经历“直观探索”和“抽象证明”相联系，体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生初步的演绎推理能力．

2．掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够用数学的符号语言正确表达．

3．鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平．

（三）情感与价值观要求

1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．

2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．

教学重点

1．了解作为证明基础的几条公理的内容．

2．探索证明等腰三角形性质定理的思路和方法．

3．掌握证明的基本要求和方法．

教学难点

1．探索等腰三角形性质定理的思路和方法．

2．明确推理证明的基本要求．如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等．

教学方法

探索——交流——发现

教具准备

等腰三角形纸板．

投影片

第一张：

议一议（记作§1．1．1A）

第二张：

随堂练习（记作§1．1．1B）

教学过程

Ⅰ．了解公理，引入新课

[师]大家能回忆一下我们上册《证明

（一）》一章中列出的六条公理吗？

[生]公理有：

两直线平行，同位角相等．

同位角相等，两直线平行．

三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（SAS）

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

[师]你对上述公理曾经使用过吗？

[生]对前两条公理曾经使用过，用它们作为证明的基础，曾证明过平行线的性质定理、判定定理及三角形的内角和定理．

[师]回答得棒极了．从这节课开始，我们将学习由后四条公理作为证明的基础，证明有关三角形的一些结论．

Ⅱ．讲授新课

[师]我们曾探索过三角形全等的条件，大家回忆一下两个三角形满足什么条件就能够全等？

[生]除了前面的“SSS”公理，“SAS”公理，“ASA”公理外，还有“AAS”．

[师]当我们把“SSS”“SAS”“ASA”作为公理再加上已经证明的定理，一起作为我们下面证明一些命题的基础，你能证明“AAS”这个判定两个三角形全等的条件吗？

[师生共析]已知：

在△ABC和△A＇B＇C＇中，∠B＝∠B＇，∠C＝∠C＇，AB＝A＇B＇．（如下图所示）

求证：

△ABC≌A＇B＇C＇．

证明：

在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，              ①

在△A＇B＇C＇中，∠A＇＋∠B＇＋∠C＇＝180°．    ②

由①得∠A＝180°－∠B－∠C，

由②得∠A＇＝180°－∠B＇－∠C＇．

∵∠B＝∠B＇，∠C＝∠C＇．

∴∠A＝∠A＇

又∵AB＝A＇B＇，∠B＝∠B＇，

∴△ABC≌△A＇B＇C＇（ASA）．

[师]我们把三角形的内角和定理和“ASA”公理作为证明的基础，很容易证明了推论：

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．（AAS）下面我们一块来总结一下证明的基本要求和步骤．（可让学生交流、讨论）

[生]我们在证明一个命题时，应根据已知条件正确、规范地写出“已知”“求证”．并画出相应的图形，最后完成证明过程．

[生]证明过程要以公理和已证明过的定理为基础，做到每步都应有根有据．

[师]同学们总结得很好．在七年级的下册我们曾在《生活中的轴对称》一章探索过等腰三角形（包括等边三角形）的性质，下面我们一同来完成“议一议”．

（出示投影片§1．1．1A）

议一议

（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

尽可能回忆出来．

（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？

[生]等腰三角形的两个底角相等．

[生]等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．

[生]等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°．

[师]那么，哪些能够用列出的公理和已证明的定理证明呢？

下面我们一起来探索．我们不妨先来看等腰三角形的第一个性质定理：

等腰三角形的两个底角相等．

按照证明的要求和步骤，我们先要怎么做？

[生]我们先要弄清楚这个定理的条件和结论．

[生]这个定理的条件是：

有一个三角形是等腰三角形．结论是：

这个三角形的两个底角相等．

[师]然后呢？

[生]根据条件和结论用几何符号语言正确规范地写出“已知”“求证”，画出几何图形．

[师]谁来完成这一步骤呢？

[生]我是这样写的：

已知：

如图，等腰△ABC．

求证：

∠B＝∠C．

[生]老师，我认为已知中的“等腰△ABC”没有真正地用几何符号表示出来．根据等腰三角形的定义，有两条边相等的三角形是等腰三角形．“等腰△ABC”，可以写成“在△ABC中，AB＝AC”．

[师]这位同学分析得很有道理．下面我们来完成证明过程．同学们可以思考一下，此题要证明的是两个角相等．在我们列出的公理和已证明过的定理中有没有能证明两个角相等的呢？

[生]我们学过平行线的性质公理和定理，有两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．

[生]用它们不能证明“∠B＝∠C”．因为图形中没有平行线，更何况∠B、∠C不是两条平行线被第三条直线所截而得到的同位角或内错角．

[生]能不能用“全等三角形的对应边相等，对应角相等”这个公理来证明呢？

[生]我认为不行，这个图中只有一个三角形．

[师]大家可以回忆一下，我们在以前说明等腰三角形的两个底角相等时，用的什么方法？

[生共答]折纸．

[师]下面同学们就把自己准备好的等腰三角形硬纸板取出来，再来体会一下折纸的过程，你发现了什么？

[生]折痕将等腰三角形分成两个全等的三角形．

[师]真棒！

如果我们也能在上图中通过作一条线段，得到两个全等三角形，那两个底角相等不就用公理证明了吗？

如何作这条线段？

你能从折叠过程中得到什么启示？

[生A]可以取BC的中点D，连接AD，即作底边上的中线．

[生B]可以作顶角的平分线．

[生C]老师，我觉得不作辅助线也可以证明．

[师]我们就请这三位同学来黑板上证明，其余同学可在自己的练习本上完成．（教师应鼓励学生用多种证法证明，并与同伴交流，对于有困难的学生，可给予适当的指导）

[生A]已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC．

求证：

∠B＝∠C．

证明：

取BC的中点，连接AD，在△ABD和△ACD中．

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．

[生B]已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC．

求证：

∠B＝∠C．

证明：

作△ABC顶角A的角平分线AD．

在△ABD和△ACD中，

∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD（SAS）．

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．

[生C]已知，如图，在△ABC中，AB＝AC．

求证：

∠B＝∠C．

证明：

在△ABC和△ACB中，

∵AB＝AC，∠A＝∠A，AC＝AB，

∴△ABC≌△ACB（SAS）．

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．

[师]这三位同学的证明都很有创意，特别是第三位同学很有胆识，把一个等腰三角形看成两个三角形，使问题得以很好地解决．祝贺他们．

我们再来一块分析一下生A的证明方法及过程：

取BC的中点D，连接AD，AD是等腰三角形底边上的中线，线段AD还具有什么性质呢？

为什么？

[生]线段AD还是顶角的角平分线．因为AD是中线，即BD＝CD，又因为AB＝AC，AD＝AD，所以△ABD≌△ACD，则∠BAD＝∠CAD（全等三角形的对应角相等）．

[生]线段AD还是底边上的高．因为△ABD≌△ACD，则∠ADB＝∠ADC，而∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC．

[师]由此你能得出什么结论？

[生]可知等腰三角形的底边上的中线垂直底边，同时还平分顶角，即底边上的中线也是底边上的高，顶角的角平分线．

[生]这一结论通常简述为“三线合一”．

[师]看来我们在证明等腰三角形的两底角相等的过程中“生产”出这么多让人兴奋的结论，真是可喜可贺．像这种一举两得的事情是大家善于观察、发现的结果，我们要继续努力！

下面我们来做练习．

（出示投影片§1．1．1B）

Ⅲ．随堂练习

1．证明等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．

分析：

根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”以及后面的证明过程．

已知：

如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA．

求证：

∠A＝∠B＝∠C＝60°．

证明：

在△ABC中，

∵AB＝BC，∴∠A＝∠C（等边对等角）．

又∵BC＝CA，∴∠A＝∠B（等边对等角）．

∴∠A＝∠B＝∠C．

又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形内角和定理），

∴∠A＝∠B＝∠C＝180°×＝60°．

2．如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC＝BC＝CD．

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BAD的度数．

（1）证明：

∵AC⊥BD，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°．

又∵AC＝AC，BC＝CD，

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等腰三角形．

（2）解：

由

（1）可知AB＝AD，∴∠B＝∠D．

又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC．

AC＝CD，∴∠D＝∠DAC（等边对等角）．

在△ABD中，∠B＋∠D＋∠BAC＋∠DAC＝180°，

2（∠BAC＋∠DAC）＝180°，

∴∠BAC＋∠DAC＝90°，

即∠BAD＝90°．

（鼓励学生思考其他解法）

Ⅳ．课时小结

本节课我们用作为证明基础的公理和已证明过的定理探索证明了等腰三角形（包含等边三角形）的性质．在证明的过程中体会到了证明的必要性和证明的基本要求及其步骤．在直观的探索和抽象的证明中发现了初步的逻辑推理能力．

Ⅴ．课后作业

课本习题1．1

Ⅵ．活动与探究

（20XX年黑龙江哈尔滨），△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为

[    ]

A．30°                                                B．36°

C．45°                                                D．70°

[过程]可以利用等腰三角形的性质即等边对等角，三角形的内角和定理．

[结果]∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C（等边对等角）．

又∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C（等边对等角）．

BD＝AD，∴A＝∠ABD（等边对等角）．

如果设A＝x°，则∠ABD＝x°，∠BDC＝2x°，∠C＝2x°，∠ABC＝∠C＝2x°．

在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，

即x＋2x＋2x＝180，x＝36．

所以，∠A＝36°．选B．

板书设计

§1．1．1 你能证明它们吗

（一）

一、作为证明基础的四个公理：

（1）SSS

（2）SAS

（3）ASA

（4）全等三角形的对应边，对应角相等

二、用四个公理及已证明的定理证明下列结论：

1．推论：

AAS

2．等腰三角形的性质

（1）等边对等角

（2）三线合一

（3）等边三角形三个内角相等且分别等于60°

三、学生板演及课堂练习．