中考压轴题分类之分类讨论经典题型.docx

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中考压轴题分类之分类讨论经典题型

中考压轴题分类之分类讨论

如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论法。

它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容之一；要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力，分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

 分类的原则：

（1）分类中的每一部分是相互独立的；

（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型

初中数学中的分类讨论问题往往是不容易掌握好的一类问题，碰到此类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类讨论问题主要有：

1、代数类：

代数有绝对值、方程及根的定义，分式、根式方程、方案策划、函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等；函数定义域变化；函数图象未给出；函数对称性（反比例函数的图象，二次函数）

2、几何类：

几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等；

3、综合类：

代数与几何分类情况的综合运用.

一、代数类专练

例1.代数式

的所有可能的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.无数个

例2：

化简：

|x-1|+|x-2|

例3：

代数式

的所有可能的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.无数个

例4.一次函数

时，对应的y值为

，则kb的值是（）。

A.14B.

C.

或21D.

或14

例5已知一次函数

与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。

例6.为了鼓励城市周边的农民的种菜的积极性，某公司计划新建A，B两种温室80栋，将其中售给农民种菜．该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元．且所筹资金全部用于新建温室．两种温室的成本和出售价如下表：

A型

B型

成本（万元/栋）

2.5

2.8

出售价（万元/栋）

3.1

3.5

（1）这两种温室有几种设计方案？

（2）根据市场调查，每栋A型温室的售价不会改变，每栋B型温室的售价可降低m万元（0＜m＜0.7）且所建的两种温室可全部售出．为了减轻菜农负担，试问采用什么方案建设温室可使利润最少．

例7.如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？

如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

二、几何类专练

1、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°

2、某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm

3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．

（1）求CD的长；

（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2

cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．

4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。

设运动时间为

秒。

⑴设△BPQ的面积为S，求S与

之间的函数关系式。

⑵当

为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

5、

（1）如图1，在△ABC中，点D．E．Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：

=

；

（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证：

MN2=DM•EN．

6、如图

（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图

（2）

（1）问：

始终与△AGC相似的三角形有及；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图

（2）的情形说明理由）

（3）问：

当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

7、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=

AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

8、数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况•探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：

AE　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答題目

解：

题目中，AE与DB的大小关系是：

AE　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

9、如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个_________三角形；

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？

若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？

10、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2

，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？

若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

11、如图，在平面直角坐标系中，直线

分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．

（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；

（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒

个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．

①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；

②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

12、已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD．BC于点E．F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF．CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P．Q分别从A．C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P．Q的运动路程分别为a．b（单位：

cm，ab≠0），已知A．C．P．Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

13、如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．

（1）填空：

点C的坐标是（　　，　　），点D的坐标是（　　，　　）；

（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；

（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？

若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14.如图所示，在平行四边形ABCD中，

，

∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿

的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿

的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.

①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.