数学教学00002.docx
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数学教学00002
数学教学概论重点
第一章
课程是指学校学生所应学习的学科总和及其进程与安排。
中国古代的数学教材是《九章算术》，西方常用的数学教材则是欧几里德的《几何原本》。
前苏联基谢廖夫的《几何》、《代数》本教科书。
20世纪60～70年代，世界的数学课程曾经发生重大变革，这就是西方开展的“新数学”运动。
20世纪70年代提出要“回到基础”
“教育要面向现代化，面向世界，面向未来
20世纪90年代创新教育的口号
从新中国成立以来的50余年中，改革头痛医头，脚痛医脚
数学新课程改革的背景（Why？
）1.时代的发展2.国际潮流3.反思国内现状
教育既应提供一个复杂的、不断变动的世界地图，又应提供有助于在这个世界航行的指南针
公民的素质要求
创新精神
实践能力
收集和处理
合作交流
学会学习，终身发展
联合国教科文组织提出的教育四大支柱：
Learntoknow（学会认知）
Learntodo（学会做事）
Learntolivetogether（学会与他人共同生活）
Learntobe（学会生存）
核心learntoinnovate（学会创新）
美国《2000年教育战略》“leavenoonebehind”（不让一个孩子掉队）
国际课程改革的共同特征：
选择性、现代性、创新性、人文性
教师累，学生苦，负担重，效率低
教师最大的痛苦，被迫搞应试，
学生最大的痛苦，被迫做机器。
我国基础教育的优势与不足
优势：
中小学生学习勤奋，基本功扎实，基础知识和基本技能熟练，等等．
（表现：
国际评价中成绩优秀）
问题与不足：
过分重视知识的传授，忽视学生学习兴趣和态度的培养。
过于注重书本知识的现状，课程内容繁难偏旧
过分重视学科体系，忽视课程内容与学生生活以及现代社会发展的联系。
过分强调接受学习、模仿训练，忽视学生的主动探索和合作交流，以及创新意识的培养。
过分强调评价的甄别和选拔作用，忽视对学生纵向发展的关注。
学生负担重
义务教育新课程研制与实验
1996-1998年，义务教育课程改革酝酿
1999年，义务教育课程改革形成决策
2000年，义务教育课程改革开始研制
2005年秋季，义务教育课程改革全面推广
义务教育阶段各起始年级原则上都使用新课程。
全日制义务教育
数学课程标准（2011版）介绍
基本出发点促进学生全面、持续、和谐地发展
课程性质义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性
基本理念人人都能获得良好的数学教育。
不同的人在数学上得到不同的发展
课程内容要反映社会的需要、数学特点，要符合学生的认知规律数学课程的内容“应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。
”
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．
信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效
评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学.应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系
九年的学习时间划分为三个学段。
第一学段1—3年级
第二学段4—6年级
第三学段7—9年级
新课程目标
四个方面：
知识技能
数学思考
问题解决
情感态度
知识技能：
获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
数学思考、问题解决：
体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
情感态度：
了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。
数学课程目标包括结果目标和过程目标。
结果目标使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词表述，过程目标使用“经历”“体验”“探索”等行为动词表述
学习领域
●数与代数
●图形与几何
●统计与概率
●综合与实践
几个核心的名词
数感
符号意识
空间观念
几何直观
数据分析观念
运算能力
推理能力
模型思想
新课程改革与继承传统是讨论的焦点之一。
普通高中教育应为学生的终身发展奠定基础。
普通高中课程由学习领域、科目、模块三个层次构成
高中课程的总体目标
使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
课程的具体目标
可以分为三个层次：
知识与技能；
过程与方法；
情感态度价值观
中学数学课程改革的发展趋势
（1）强调数学的应用性和实践性
（2）注重学生主体的活动性
（3）计算机与数学教育的联系更紧密
（4）课程目标呈现个性化与差别化
（5）数学与其他课程相综合
（6）多元化与多样性的评价方式
第二章
弗赖登塔尔的数学教育理论
波利亚的解题理论
建构主义的数学教育理论
我国的“双基”数学教育理论
双基：
基础知识，基本技能
弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父”创办《数学教育研究》杂志，作为国际数学教育方面第一种理论刊物。
并首创世界上第一个数学教育研究机构——“数学教育发展研究所”，简称IOWO，成为世界上第一个最有影响的研究机构
弗赖登塔尔的现实数学教育理论具有五个基本特征：
情景问题是教学的平台；探索周围的世界
数学化是数学教育的目标；
学生通过自己努力得出的结论和创造是教育内容的一部分；
“互动”是主要的学习方式；
学科交织是数学教育内容的呈现方式。
教学平台：
情境问题
教育目标：
学习数学化数学现实
教育内容：
含学生的探索与创造数学化
学习方式：
互动再创造
课程呈现：
学科交织
数学现实不同于客观现实，而是学生从现实中抽象、整理出来的数学知识及其现实背景的总和。
数学地组织现实世界的过程就是数学化
波利亚的《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》
数学教育的根本目的：
“教会学生思考”——传授知识，努力发展学生运用所学知识的能力，强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。
主动学习——尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的东西。
最佳动机——激发学生在学习中的好奇心，并寻求欢乐。
循序渐进——从行动与感知开始，发展到词语与概念，养成合理的思维习惯。
学习的过程
1探索——在直觉和启发的水平上发展
2阐明——引进术语、定义、证明等，提升到概念水平
3吸收——吸纳到已有知识系统中，扩大智力范围
“怎样解题表”
“弄清问题”——“拟定计划”——“实现计划”——“回顾”
我国“双基”教学理论的基本特征
第一、重视知识记忆。
记忆通向理解直至形成直觉（记忆背诵，熟能生巧，促进理解）
第二、重视运算速度。
运算速度赢得思维效率（条件反射，算法直觉，高级思维）
第三、适度形式化要求。
逻辑演绎保持严谨准确（抽象定义，逻辑表达，理性思维）
第四、变式训练。
“重复”练习依赖变式获得提升（在变化中求得重复，在重复中求得变化，提倡多种不同的算法和不同理解）
我国双基教学的策略
问题引入
师生互动
巩固练习
数学“双基”教学还有纵向的3个层次：
双基基桩建设——双基模块教学——构建双基平台
（程序性知识）（知识链网络）（综合发展基础）
数学“双基”的要求应该与时俱进
双基+创新=优质
——没有基础的创新是空想，没有创新的基础是傻练!
数学史教育的原则科学性、实用性、趣味性、广泛性
第三章
广义：
学习是人和动物所共有的一种心理活动，是指经验的获得以及比较持久的行为变化。
狭义：
仅指人类的学习。
行为主义学习理论
行为主义对学习的解释是强调可观察行为的获得，个体学到什么，怎么学习的都是环境刺激决定的
（1）桑代克的尝试与错误学习说
（2）斯金纳的操作性条件反射学习说
实验基本要点是：
（1）学习本质是形成刺激与反映的联结
（2）刺激与反应的联结需要通过试误来建立的
桑代克的尝试与错误学习说
学习的实质是刺激-反应的联结
学习的条件是动机与行为参与
学习的过程是不断尝试与错误
学习的结果是吃一堑，长一智
规律：
准备律\练习律\效果律
斯金纳的操作性条件反射学习说
白鼠的压杆行为如果不予以强化，压杆反应便停止。
学生某一良好反应未能受到教师充分的关注和表扬，学生便最终放弃这一作出良好反应的努力。
学习的实质是刺激-反应-强化的过程
学习的条件是动机、行为参与、奖惩
学习的过程是不断刺激－反馈－强化
学习的结果是行为塑造——熟能生巧
规律：
小步快进\积极反应\及时反馈\
低错误率\自定步调
行为主义学习观下的教学实践
讲解如山：
满堂讲，名为传授，实为代庖；
问答如山：
满堂问，名为启发，实为扼杀；
训练如山：
练/训/考，名为精练，实为题海。
两种声音：
教师累、学生苦！
一种结果：
教师、学生被异化为出题与解题机器……
认知学派学习理论
强调学习是获得知识、形成认知结构的过程。
格式塔学派、布鲁纳、奥苏伯尔
格式塔学习理论格式塔心理学也称为完形心理学，其学习理论又称“顿悟说”。
这一理论认为，学习是知觉的重新组织，而知觉经验变化的过程不是渐进的尝试与错误的过程，而是突然领悟的，且知觉起源于整体。
学习就是一种完形，是对情境整体和关系的反应是积极主动的活动
完形学派的学习理论启发我们，
必须注意引导学生对学习情境的整体性了解，在教学过程中必须注意培养学生的顿悟能力，要重视认知的准备和情绪的准备
布鲁纳的认知结构学习论学习的实质是学生主动地形成认知结构的过程。
学生的认知学习就是获得知识结构的过程。
发现学习强调的是学生的主动探索；教师的任务不是讲解和灌输现成的知识，而是创造条件，鼓励学生独立思考、积极探究，自行去发现材料的意义，从而自主地获得基本原理或规则。
奥苏伯尔的认知学习论学习的实质是学习者利用原有认知结构中与新学习知识有关的观念去同化新知识，将知识纳入认知结构，并对其进行改组和再构，形成新的认知结构的过程
迁移的分类
从影响的作用来说，可分为正迁移和负迁移
从影响方向来划分，分为顺向迁移和逆向迁移
中学生数学学习的特点
学生学习主要指在教育情境中，以掌握一定的系统科学知识技能、社会活动规范和行为准则等为基本任务，有目标、按计划在一定组织形式下进行的比较持久的行为变化过程。
学生学习的特点
1、以系统掌握间接经验为主，是在人类发现基础上的再发现；
2、是在教师的指导下依据一定的课本教材进行的；
3、目的是为今后进一步学习和发展奠定基础；
4、受规定的学制时间限制
数学的特点：
抽象性、严谨性、广泛的应用性
数学学习的特点
1、学生的数学学习是数学知识“再发现”的学习。
2、学生的数学学习需要教师的“点拔”和“引导”。
3、学生的数学学习需要较强的抽象概括能力与逻辑思维能力。
影响学生数学学习的因素
内部因素智力因素非智力因素
外部因素教学因素环境因素学法因素
智力是一种综合的认识能力，它包括注意力、观察力、记忆力、想象力和思维力5个基本因素，抽象思维能力是智力的核心，创造力是智力的最高表现。
智力与学生的学业成绩存在着中等程度的相关
非智力因素，是非智力心理因素的简称。
是指除智力因素之外，影响智力活动和智力发展的那些具有动力作用的个性心理因素。
它主要包括动机、兴趣、意志、情感和性格等。
研究表明，学生的学业成就与智力因素具有中等程度相关，而非智力因素对学生成才起决定作用。
第四章
数学离不开概念、命题、推理和证明。
逻辑学的历史十分悠久，发展至今已有越来越多的学科分支，一般认为其主要学科包括形式逻辑、数理逻辑和辩证逻辑
逻辑学是研究思维形式的科学。
逻辑基本规律同一律（确定性）矛盾律（不能全部肯定）排中律（不能全部否认）充足理由律（必须有充足的理由）
数学概念是反映客观事物空间形式和数量关系的本质属性的思维形式，它反映的是一类具有共同属性的事物（能区别于其他事物）的全体
概念是数学的“细胞”
数学概念是用数学语言表达的，主要表达形式是词语和符号。
数学教学中，正确的思维要求概念明确，就是要明确概念的内涵和外延！
定义一般由被定义项（DS）、定义项（DP）和定义联项三部分组成
定义规则
定义要相称，即定义项和被定义项必须是同一概念，它们的外延必须全同。
定义不能循环。
即被定义的概念不能用来定义自己，定义项不能直接或间接包含被定义项。
定义一般不用否定形式。
定义应当简明、确切，完整。
这就是说，定义中不应包含可以由定义推出的性质，定义不能似是而非，必须具有严格的准确性，不能漏掉必须的条件。
“三段论”推理
①大前提：
已知的一般性推理．
②小前提：
所研究的特殊情况．
③结论：
根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
概念的划分规则
划分应当是相称的。
即划分后各个子项外延的总和应当与母项的外延相等，而且各个子项之间互不相容。
每次划分都应按同一标准进行。
例如对三角形进行划分时，将其分为等边三角形、不等边三角形、直角三角形三类，同时使用了按边和按角两个划分标准，使这一划分形成混乱。
划分不应越级。
这就是说在划分时应将被划分的属概念划分为最邻近的种概念。
例如把实数分为有理数和无理数两类是正确的，如果分为整数、分数、无理数三类，就是越级进行划分。
推理合情推理（或然性推理）包括1）归纳（部分到整体、特殊到一般）2）类比（特殊到特殊）演绎推理（必然性推理）包括三段论（一般到特殊）
类比推理的一般步骤：
⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶检验猜想（通过证明确认猜想的正确性,或举出反例否定猜想）!
!
!
证明
直接证明综合法分析法数学归纳法
间接证明反证法
分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
数学能力是顺利完成数学活动所必须具备的，直接影响数学思维活动效率的一种个性心理特征。
它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中表现出来比较稳定的心理特征。
第五章
我们学校的主要教学原则有：
科学性和思维性统一原则．
因材施教原则
理论联系实际的原则．
直观性原则．
循序渐进原则．
启发性和巩固性原则．
中学数学教学的基本原则
严谨性与量力性相结合原则
1）教学要求应当恰当明确。
2）教学中要做到思路清晰，语言准确，逻辑严谨。
3）教学中要注意由浅到深，由易到难，由已知到未知，由具体到抽象，由特殊到一般地讲授数学知识，要善于激发学生的求知欲，但所涉及的问题不易太难，不能让学生望而生畏，这样才能取得好的教学效果。
抽象与具体相结合原则
1）从具体到抽象，培养学生的抽象思维能力和创新意识
2）从抽象到具体，形成技能，进一步培养学生分析问题，解决问题的能力。
启发性与探索性相结合原则
1）要求是看学生是否经过自主地思考分析尝试做出了正确的分析判断，推理，领悟了问题的实质，而不在意外在形式是否热闹，也不应该看学生做了多少练习。
2）关键是通过发挥各种情意因素的动力作用，以激发学生强烈的求知欲望，调动学生学习的主动性和积极性，达到让学生自主动脑分析解决问题的目的。
3）它有一些常用的法方式值得借鉴。
理论与实践相结合原则
巩固与发展相结合原则
数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性．量力性是指学生的可接受性
抽象与具体相结合原则是数学教学中抽象思维与生动具体对象统一规律的反映．也就是说，在数学教学中既要促使学生通过各种感官去具体感知数学的具体模型，形成鲜明的表象，又要引导学生在感知材料的基础上进行抽象思维，形成正确的概念、判断和推理．这一原则，既来自数学内部，又符合学生认知过程．它和数学的高度抽象性互为表里，是辩证的统一．
启发性与探索性相结合原则孔子“不愤不启，不悱不发”启发与探索性相结合的原则反映了数学教学过程中教与学的统一，其中，启发是探索的条件，探索是启发的目的
理论与实践相结合原则教学理论与教学实际的结合，也要关注数学理论与数学实际的结合。
巩固与发展相结合原则“温故而知新”巩固与发展相结合，就是要把牢固地掌握数学基础知识、基本技能和发展思维、提高能力结合起来。
中学数学教学模式
讲授式讲授式教学模式是数学教学的基本模式，是一种以教师系统讲授为主的课堂教学模式．
优点：
能保证教师传授知识的系统性，主动性与连贯性，易于控制课堂教学，充分利用时间．
缺点：
学生处于被动状态，不利于培养学生自学习惯和独立思考能力，搞不好会变成注入式满堂灌。
探究式探究式模式也称为“引导——发现”式，其主要目标是学习发现问题的方法，培养、提高创造性思维能力。
合作交流式即将整个班级分成若干小组，进行讨论合作交流学习。
其突出的几个特点：
讨论交流的民主性（师生平等）
好的话题（“一石激起千层浪”）
讨论交流的开放性（苹果交换，双方仍是一个苹果；思想交换，双方各有两种思想）
指导自学式
其策略为：
“先学后教，先练后讲，教师指导，学生自学”
其突出的几个特点：
1、有合适的学习任务和明确的学习目标
2、教师有效的指导
3、体现自主学习的策略
4、对数学自学的监控
5、教、学的有序性
当前我国数学教学模式的发展趋势
教学模式的理论基础进一步加强；
数学教学模式由“以教师为中心”，逐步转向更多“学生参与”；
现代教育技术成为改变传统教学模式的一个突破口；
教学模式由单一化走向多样化和综合化；
研究性学习列入课程以后，随着“创新教育”的倡导，探究和发现的数学教育模式将会有一个大的发展。
如何选择数学教学模式？
“教学有法，但无定法，贵在得法”。
主要因素由教学目标决定。
传统的数学题的特征：
接受性、封闭性和确定性；
20世纪80年代以来，国际上倡导“问题解决”数学教学模式，这里的问题在障碍性和探究性上提出了较高的要求，波利亚的解释为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。
问题解决教学的策略
“以习题演练为基础，以问题解决为主导”
第六章
“以习题演练为基础，以问题解决为主导”
课堂结构是指一节课的教学过程各部分的确立，以及它们之间的联系、顺序和时间分配。
课堂结构也称为教学环节或步骤。
评教师教学基本功
看板书看教态看语言看操作
教学重点
一般地，在学习中那些贯穿全局、带动全面、应用广泛、对学生认知结构起核心作用、在进一步学习中起基础作用和纽带作用的内容
通常教材中的定义、定理、公式、法则、数学思想方法、基本技能的训练等，都是教学的重点。
教学难点
是指学生接受起来比较困难的知识点。
往往是由于学生的认知能力、接受水平与新老知识之间的矛盾造成的，也可能是学新知识时，所用到的旧知识不牢固造成的。
一般地，知识过于抽象，知识的内在结构过于复杂，概念的本质属性比较隐蔽，知识由旧到新要求用新的观点和方法去研究，以及各种逆运算都是产生难点的因素。
关键点
对掌握某一部分知识或解决某一个问题能起决定作用的知识内容，掌握了这部分内容，其余内容就容易掌握，或者整个问题就迎刃而解。
学生个体自然情况:
姓名、年龄、视力、听力、身体状况与同学和老师的关系，家庭教育环境等。
班级的整体情况：
班级的构成、特点、风气、学习情况、学习兴趣，对老师教学的态度等
教学目标有远期目标,近期目标,过程性目标
新课标：
知识技能目标，方法能力目标，情感态度目标
教案的主要项目和要求
（1）课题
（2）课型
（2）教学目标
（3）教学重点和难点
（4）教学方法
（4）课时安排
（5）教法与教具
（6）教学过程（步骤）
（7）板书设计和课后分析
常规数学教学的基本结构有复习、引入、讲授、巩固和布置作业等几个基本步骤。
好的数学问题的特点：
探索性、现实性、趣味性、开放性、拓展性
设计数学练习应遵循以下几个原则
目的性
针对性
层次性
系统性
精练性
多样性
说课活动由两部分组成，依次为解说和评说。
重点在解说，它要阐明的问题是教什么、怎样教和为什么要这样教及其理论依据。
评说则是针对解说而进行的评议、交流和研讨
说课是对课程的理解、备课的解说、上课的反思。
说课的内容
说教材
说学生
说教法与学法
说教学流程
说板书及评价标准
说课技巧
⑴思路清晰，语言流畅，用词准确。
⑵有详有略，重点突出，精炼简要。
⑶既具体实在，又有理论依据，两者紧密相联。
⑷采用适当方式，显现风格特色，令人印象深刻。
第七章
论文结构
1、首部：
题目，署名与单位，摘要与关键词。
2、主体：
前言，正文，结论或讨论。
3、尾部：
致谢，参考文献，附录或英文摘要
写论文的四个基本步骤：
第一，大量阅读有关著述，掌握有关资料；
第二，从中发现问题，确定自己要写的论文的大致题目；
第三，根据自己确定的选题，有目标地搜集能够搜集到的一切资料；
第四，撰写论文本身。
（详见教材）
研究方法的适用性及信度和效度就成为关键的因素
2）
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