概率论知识点总结及心得体会汇编.docx

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概率论知识点总结及心得体会汇编

第一章随机事件和概率

第一节：

1.、将一切具有下面三个特点：

（1）可重复性

（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：

在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：

在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或ω.全体样本点的集合称为样本空间.样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：

事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B⊃A或A⊂B。

若A⊂B且A⊃B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

定义：

和事件

　“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。

记为A∪B。

用集合表示为:

A∪B={e|e∈A，或e∈B}。

定义：

积事件事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。

定义：

差事件

称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为A-B={e|e∈A，e∉B}。

定义：

互不相容事件或互斥事件

如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。

定义6：

逆事件/对立事件

称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā。

A与Ā满足：

A∪Ā=S,且AĀ=Φ。

运算律：

设A，B，C为事件，则有

（1）交换律：

A∪B=B∪A，AB=BA

（2）结合律：

A∪（B∪C）=（A∪B）∪C=A∪B∪C

A（BC）=（AB）C=ABC

（3）分配律：

A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）

A（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）=AB∪AC

（4）德摩根律：

小结：

事件的关系、运算和运算法则可概括为

四种关系：

包含、相等、对立、互不相容；

四种运算：

和、积、差、逆；

四个运算法则：

交换律、结合律、分配律、对偶律。

第二节：

1、设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：

P（A）＝k/n＝A包含的样本点数/S中的样本点数。

2、几何概率：

设事件A是S的某个区域，它的面积为μ（A），则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为：

P（A）=μ（A）/μ（S）假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把理解为长度或体积即可.

概率的性质：

（1）P（φ）=0,

（2）

（3）

（4）若A⊂B，则P（B-A）=P（B）-P（A）,P（B）≥P（A）.

第四节：

条件概率：

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记作P（A|B）.

而条件概率P（A|B）是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P（A|B）仍是概率.

乘法公式：

若P（B）>0,则P（AB）=P（B）P（A|B）

P（A）>0,则P（AB）=P（A）P（B|A）

全概率公式：

设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且P（Ai）>0，i=1,2,…,n,B是任一事件,则

贝叶斯公式：

设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且P（Ai）>0，i=1,2,…,n,B是任一事件且P（B）>0,则

第五节：

若两事件A、B满足

P（AB）=P（A）P（B）则称A、B独立，或称A、B相互独立.

将两事件独立的定义推广到三个事件：

对于三个事件A、B、C，若

P（AC）=P（A）P（C）P（AB）=P（A）P（B）

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）P（BC）=P（B）P（C）四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.

第六节：

定理对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为

总结：

1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。

3.独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。

4.贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。

第二章：

随机变量及其分布

1、随机变量：

分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数：

设X是一个r.v，x为一个任意实数，称函数

F（X）=P（X≤x）为X的分布函数。

X的分布函数是F（x）记作X～F（x）或FX（x）.

如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x）的值就表示X落在区间（x≤X）。

3、离散型随机变量及其分布

定义1：

设xk（k=1,2,…）是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式P（X=xk）=PK,为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.其中PK,≥0；ΣPk=1

分布律与分布函数的关系：

（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：

①设一离散型随机变量X的分布律为

P{X=xk}=pk（k=1，2，…）

由概率的可列可加性可得X的分布函数为

②已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率。

（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：

一、三种常用离散型随机变量的分布

.1（0－1）分布：

设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为

P{X=k}=pk（1-p）1-k,k=0，1.（0

则称X服从（0－1）分布,记为X~（0－1）分布。

（0－1）分布的分布律用表格表示为：

X01

P1-pp易求得其分布函数为

2.二项分布（binomialdistribution）：

定义：

若离散型随机变量X的分布律为

其中0

4、

泊松分布的定义及图形特点设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：

其中入>0是常数,则称X服从参数为入的泊松分布,记作X~P（入）.、

连续型随机变量

1概率密度f（x）的性质

（1）f（x）≥0

（2）

（3）.X落在区间（x1，x2）的概率

几何意义：

X落在区间（x1，x2）的概率P{x1

（4）.若f（x）在点x处连续，则有F′（x）=f（x）。

．概率密度f（x）与分布函数F（x）的关系：

（1）若连续型随机变量X具有概率密度f（x），则它的分布函数为

（2）若连续型随机变量X的分布函数为F（x），那么它的概率密度为f（x）=F′（x）.

注意：

对于F（x）不可导的点x处，f（x）在该点x处的函数值可任意给出。

三种重要的连续型分布：

1．均匀分布（UniformDistribution）设连续随机变量X具有概率密度

则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X~U（a，b）.

若X~U（a，b），则容易计算出X的分布函数为

2.指数分布

入>0

则称X服从参数为入的指数分布.

常简记为X~E（入）

指数分布的分布函数为

指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.

设随机变量X满足：

对于任意的s>o，t>0,有

则称随机变量X具有无记忆性。

3.正态分布

若r.vX的概率密度为

其中μ和

都是常数，任意，μ>0，

则称X服从参数为μ和

的正态分布.记作

f（x）所确定的曲线叫作正态曲线.

的正态分布称为标准正态分布.

标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

随机变量函数的分布

设X为连续型随机变量，具有概率密度fx（x），求Y=g（X）（g连续）的概率密度。

1．一般方法——分布函数法

可先求出Y的分布函数FY（y）：

因为FY（y）=P{Y≤y}=P{g（X）≤y}，设ly={x|g（x）≤y}

则

再由FY（y）进一步求出Y的概率密度

2.设连续型随机变量X的密度函数为ϕX（x）,y=f（x）连续,求Y=f（X）的密度函数的方法有三种：

（1）分布函数法；

（2）若y=f（x）严格单调，其反函数有连续导函数，则

可用公式法；

（3）若y=g（x）在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单

调，其反函数分别为h1（y）,h2（y）,…,且h'1（y）,h'2（y）,

…,均为连续函数，则Y=g（X）是连续型随机变量，

其密度函数为

对于连续型随机变量，在求Y=g（X）的分布时，关键的一步是把事件{g（X）≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X的分布来求P{g（X）≤y}.。

第三章、多维随机变量

.分布函数的性质

对于任意固定的y，

对于任意固定的x，

离散型随机变量的分布、

连续型随机变量及其概率密度

性质

边缘分布1离散型随机变量的边缘分布律

连续型随机变量的边缘分布

随机变量的独立性：

两个随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布

二．连续型随机变量函数的分布

第四章.、随机变量的数字特征

随机变量的数学期望

E（X）是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.

2.连续型随机变量数学期望的定义

数学期望的本质——定积分它是一个数不再是随机变量

3.数学期望的性质

E（C）=C

E（CX）=CE（X）

E（X+Y）=E（X）+E（Y）

当X,Y独立时，E（XY）=E（X）E（Y）

若存在数a使P（X≥a）=1,则E（X）≥a；

若存在数b使P（X≤b）=1,则E（X）≤b.

第二节：

随机变量的方差

方差的定义

D（X）——描述r.v.X的取值偏离平均值的平均偏离程度

5.随机变量方差的计算

利用公式计算

方差的性质1.D（C）=02.D（CX）=C2D（X）

D（aX+b）=a2D（X）

特别地，若X,Y相互独立，则

若Xi，Xj均相互独立，

均为常数，则

2若X,Y相互独立可得

逆命题不成立；

3若X,Y相互独立可得

逆命题不成立。

4.对任意常数C,D（X）≤E（X–C）2,当且仅当C=E（X）时等号成立

5.D（X）=0等价于P（X=E（X））=1称为X依概率1等于常数E（X）。

切比雪夫不等式

设随机变量X有期望E（X）和方差，则对于

任给

>0,

第三节、协方差与相关系数

若

则称x，y不相关。

注：

（1）X和Y的相关系数又成为标准协方差，它是一个无量纲的量。

2、若随机变量X和Y相互独立

协方差的计算公式

Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）

D（X+_Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X,Y）

协方差的性质：

相关系数：

二维正态分布密度函数中，参数p代表了与Y的相关系数。

二维正态随机变量X和Y相关系数为零等价于X和Y相互独立。

即XY相互独立等价于XY不相关

不相关的充要条件

相关系数的性质：

第五章：

极限定理

adj.意大利人的；意大利语的

大数定理：

设{Xn}为一随机变量序列,E（Xn）存在，记

baggagen.行李

enthusiasticadj.热情的；热心的

teapotn.茶壶则称{Xn}服从（弱）大数定律。

切比雪夫大数定律：

设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D（Xi）≤K，i=1,2,…，则对任意的ε>0

马尔科夫条件：

在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出

n.遗憾；懊悔只要（△），则大数定理就能成立。

△stressfuladj.产生压力的；切比雪夫大数定律的特殊情况：

设X1,X2,…是独立随机变量

威斯敏斯特教堂（英国名人墓地）

序列，且E（Xi）=μ，D（Xi）=

，i=1,2,…,则对任给

>0,

exhibitionn.展览；陈列；展览会

辛钦大数定律：

设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的

seashelln.海贝壳数学期E（Xi）=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，

辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.

中心极限定理：

独立同分布下的中心极限定理：

设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E（Xi）=

，D（Xi）=

，i=1,2,…，则

△Punon.普诺（秘鲁）