奥数思维训练导引4年级讲义一.docx
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奥数思维训练导引4年级讲义一
第1讲整数计算综合2
第2讲和差倍问题三10
第3讲还原问题与年龄问题19
第4讲数阵图初步26
第1讲整数计算综合
内容概述
熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。
学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题
兴趣篇
1.计算：
（1）121×32÷8;
（2）4×（250÷8）
（3）25×83×32×125
2.计算：
（1）56×22+56×33+56×44
（2）222×33+889×66.
3.计算：
（1）37×47+36×53
（2）123×76－124×75。
4.计算：
100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.
5.计算：
50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.
6.计算：
（1+3+5+7+…+199+201）－（2+4+6+8+…+198+200）.
7.计算：
1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.
8.下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。
游戏规则是：
对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。
口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：
给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：
变换后依次得到的6个数的和是多少？
9.规定运算“
”为：
a
b=（a+1）×（b－1）,请计算：
（1）8
10;
（2）10
8.
10.规定运算“☺”为：
a☺b=a×b－（a+b）,请计算：
（1）5☺8;
（2）8☺5;（3）（6☺5）4;（4）6☺（54）
拓展篇
1.计算：
（1）72×27×88÷（9×11×12）;
（2）31×121－88×125÷（1000÷121）.
2.计算：
（1）555×445－556×444;
（2）42×137－80÷15+58×138－70÷15.
3.计算：
20092009×2009－20092008×2008－20092008.
4.计算：
1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.
5.计算：
100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.
6.在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和.A与B的差是多少？
7.求图1-1中所有数的和.
8.已知平方差公式：
，计算：
9.计算：
951×949－52×48.
10.规定运算“
”为：
a
b=a+2b－2,计算：
（1）（8
7）
6;
（2）8
（7
6）
11.规定运算“
”为：
a
b=（a+1）×（b－2）.如果6
（
5）=91,那么方格内应该填入什么数？
12.规定：
符号“
”为选择两数中较大的数的运算，“
”为选择两数中较小的数的运算，例如：
3
5=5，3
5=3请计算：
1
2
3
4
5
6
7
…
100.（运算的顺序是从左至右）
超越篇
1.观察下面算式的规律：
2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？
符号分别是加还是减？
算式最终的结果为多少？
2.从1,2,……,9,10中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？
3.计算：
1－3+6－10+15－21+28－……+4950.
4.已知平方差公式：
计算：
5.a
b表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：
4
3=4+5+6=15,5
4=5+6+7+8=26,请计算：
（1）4
15
（2）在算式（
7）
11=1056中，方框里的数应该是多少？
6.定义两种运算：
a
b=a－b+1,a
b=a×b+1,用“
”、“
”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：
7345=2
7.现定义四种操作的规则如下：
①“一分为二”：
如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2.例如从16可以得到8，从27可以得到14.
②“丢三落四”：
如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8.（不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）
③“七上八下”：
如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。
例如从98707可以得到77908，从802可以得到28.（不含数字7和8的自然数不能进行“七上八下”操作）
④“十全十美”：
将一个自然数的个位数字换成0.例如从111可以得到110，从905可以得到900.（个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作）
（1）请写出对4176依次进行③①③②④操作后的结果：
（2）从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？
（3）一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是
8.求有多少个这样的三位数.
图1-2是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？
第2讲和差倍问题三
内容概述
数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产生倍数关系变化的问题；需要利用比较或分组的方法进行分析的问题。
典型问题
兴趣篇
1.有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍.将它们插入水塘中，插入水中的长度都是40厘米，而露出水面部分的总长为160厘米.请问：
短竹竿露在外面的长度是多少厘米？
2.李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲堆中拿出15个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍.问：
甲堆原来有零件多少个？
李师傅这一天共生产零件多少个？
3.一个六边形广场的边界上插有336面红旗和黄旗.六边形的每个顶点处都插有红旗，每条边上的红旗数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗.已知每条边上黄旗比红旗的2倍还多12面，那么每两面红旗间插有几面共旗？
4.爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的3倍.冬冬觉得自己搬的砖头太少了，又搬了24块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科科的2倍.请问：
最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？
5.四年级三班买来单价为5角的练习本若干.如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本.请问：
将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本？
此时每人应付多少钱？
6.有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人.如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？
7.有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克.问：
其中最轻的箱子重多少千克？
8.小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅.她们看中了两款，这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子.其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样.第一款桌椅中有6把椅子，总价为700元；第二款桌椅中有9把椅子，总价为970元.请问：
一张桌子的价钱是多少元？
9.小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了.小白兔当天吃了4个胡萝卜，小黑兔则一口气吃了12个胡萝卜.小白免往后每天都吃4个胡萝卜；小黑兔因为第一天吃得太多，往后每天只吃2个胡萝卜，最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完.小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡萝卜？
10.一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售.福特汽车的数量是丰田汽车的3倍.如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车.请问：
原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？
拓展篇
1.李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的2倍，每件产品需要5个甲零件和2个乙零件，生产30件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等，请问：
李师傅还可以生产几件产品？
2.学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花.其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：
学校门口一共有多少盆花？
3.动物园的饲养员给三群猴子分花生.如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒，试问：
现在将这些花生平均分给三群猴子，每只可得多少粒？
4.养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3倍.一天有10只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数是是东院的2倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？
5.爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头，父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍.请问：
原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
6.甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人.问：
甲班和丁班共多少人？
7.小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出60千克与90千克之间的重量，因此他们三人只能两个两个称重.如果小悦和冬冬一起称，总重量是73千克；冬冬和阿奇一起称，总重量是80千克；阿奇和小悦一起称，总重量是75千克，三人的体重分别是多少千克？
8.四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个数的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人.问：
这四个班共有多少人？
9.某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将给他一套工作服和70玩钱，但由于学校另有安排，他工作了20天后便中止了合同，工厂只给他一套工作服和20元钱.请问：
这套工作服值多少元？
10.小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看50页，接着每天看15页；冬冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？
11.某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉20袋，大米60袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下200袋，这个食堂买来大米多少袋？
12.超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗，售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下170颗.请问：
这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？
超越篇
1.在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的.前20道题中，小时做对了15道；余下的题中，他做对的题仅是做错的一半，最后一共得了50分.如果满分是100分，那么小明做对了多少道题？
2.有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是多少？
3.小伟和小杰两人玩游戏牌，第一轮过后，小伟赢了小杰13张牌，这时小伟的牌数是小杰的2倍少10张；由于得意忘形，小伟在第二、三轮惨败，输了29张牌，结果小杰的牌数反而是小伟的7倍少10张.求小伟和小杰原来各有多少张牌？
4.费叔叔买了一台电视机，购买时可以按以下两种方式付款：
第一个月付款750元，以后每月付150元；或前一半时间每月付300元，后一半时间每月付100元.两种付款方式的付款总数及时间都相同.问：
这台电视机的价格是多少元？
5.甲、乙、丙三人乘坐飞机，三人所带行李的重量都超过了免费重量，超出部分必须另付行李费.甲付20元，乙付40元，丙付60元.三人的行李共重150千克，如果是一个人带这些行李出行，就需要支付240元的超重费用.请问：
每人可以免费携带多少千克的行李？
6.小楠的妈妈买回了若干个桔子和梨，其中桔子的个数是梨的3倍.如果全家每天吃5个桔子和2个梨，那么一星期后，桔子的个数是梨的4倍少5个.原来桔子和梨分别有多少个？
7.小真、小想和小看在讨论买《变形金刚》电影票的事，小真现有的钱数是小想的3倍，是小看的2倍.
小真说：
“如果小想给我15元钱，我就可以买3张电影票
小想说：
“如果我给小真15元钱，剩下的钱恰好能买3个一样的汉堡。
”
小看说：
“如果妈妈再给我35元钱，我就刚好能买2张电影票和2个汉堡
请问：
小真原有多少元钱？
他们要买的电影票每张多少元？
一个汉堡多少元？
8.现有三堆糖果，其中第一堆的块数比第二堆多，第二堆的块数比第三堆多.如果从每堆糖果中各取出一块，那么剩下的糖果中，第一堆的块数是第二堆的3倍；如果从每堆糖果中各取出同样多块，使得第一堆还剩下32块，则第二堆剩下的糖果数是第三堆的2倍.问：
原来三堆糖果总共最多有多少块？
第3讲还原问题与年龄问题
内容概述
学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。
典型问题
兴趣篇
1.某数加上6，再乘以6，再减去6，再除以6，其结果等于6，则这个数是多少？
2.有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝.这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完.问：
原来酒葫芦里有多少两酒？
3.某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？
箱子里有多少元？
4.三棵树上共有48只鸟.后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多.问：
一开始三棵树上各有几只鸟？
5.1997年张伯伯45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？
6.今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍.今年小明多少岁？
7.今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍.问：
现在父子的年龄各是多少？
8.兄弟两个年龄之和是32岁.当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.求哥哥现在的年龄.
9.学生问老师多少岁，老师说：
“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了.”求老师和学生现在的年龄.
10.今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6岁,多少年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁？
拓展篇
1.有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11.这个数原来是多少？
2.果园里有一棵桃树.有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半.这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？
3.地上有26地砖，兄弟二人争着去挑.弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖.哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，请问：
最初弟弟准备挑多少块砖？
4.甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？
5.甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了2倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数和增加2倍，结果三人的钱数一样多，如果他们三人共有81元，那么三人原来分别有多少钱？
6.今年张明15岁，他父亲45岁，请问：
多少年后，父亲年龄是张明年龄的2倍？
多少年前，父亲年龄是张明年龄的4倍？
7.12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍.请问：
多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？
8.去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍.求哥哥和弟弟现在的年龄。
9.今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍,当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，请问：
今年哥哥多少岁？
10.学生问老师多少岁，老师说：
“当我像你这么大时，你刚5岁；当你像我这么大时，我已经50岁了。
“求老师和学生现在的年龄。
11.有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了3年，老师年龄为甲、丙学生年龄之和；再过3年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求现在各人的年龄。
12.1年前，父母的年龄和兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍，已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年多少岁？
超越篇
1.口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚.就这样，三人轮流谦让了一阵，结果太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐则装着20升水.请问：
最初大和尚的水罐里有多少升水？
2.甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：
两个人原来分别有多少块糖？
3.哥哥对弟弟说：
“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7倍，求哥哥获得博士学位的年龄是多少岁。
4.小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：
“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才5岁呢.”小明对爷爷说：
“我的岁数是您现在的岁数时，我爸都89岁了.”请问：
小明的爸爸今年多少岁？
5.1996年时，父母的年龄之和是78岁，兄弟二人的年龄之和是17岁；4年后，父亲年龄是弟弟年龄的4倍，母亲年龄是哥哥年龄的3倍，试问：
当父亲年龄是哥哥年龄的3倍时是公元多少年？
6.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁，4年前全家人的年龄之和是58岁，而现在是73岁，问：
现在各人的年龄分别是多少岁？
7.老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数.请问：
开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
8.；甲、乙、丙三人现在年龄的和是113岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，请问：
乙现在多少岁？
第4讲数阵图初步
内容概述
各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。
典型问题
兴趣篇
1.在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.
2.请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.
3.如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。
4.把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。
5.把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。
6.在如图4-6所示的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。
7.把1至6分别填入图4-7的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.
8.把1至6分别填入图4-8的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等.这个和最大是多少？
最小是多少？
9.把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。
10.在图4-10的6个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？
拓展篇
1.将1至9分别填入图4-11中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15.现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.
2.在图4-12中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等.现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？
并将其补充完整。
3.图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈.请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。
4.在图4-14中的方格内填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7.
5.请在图4-15的每个小圆圈内填入1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？
6.把1至8分别填入图4-16的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于1.
7.在图4-17的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数.请问：
标有★的圆圈内填的数是多少？
8.小悦是8月11日15点整出生的，她想把1，2，3，4，5，6，7这七个数填入图4-18的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是8，11，15，问：
在圆上的三个数的乘积最大可能是
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