S=p时，颗粒悬浮。
（二）矿粒在介质中运动时的受力
矿粒在介质中运动，当它与周围其它物体（流体介质、固体颗粒、容器器壁等）出现相对运动的时候，周围物体给予矿粒的作用力，称为矿粒在介质中运动时所受的阻力。
在重力选矿过程中，矿粒运动时所受阻力的来源，一是分选介质作用在矿粒上的阻力，称为介质阻力。
再一是矿粒与其它周围物体以及器壁间的摩擦、碰撞而产生的阻力，称机械阻力。
矿粒的运动：
自由运动一矿粒在介质中运动时，若只受到介质阻力；
干涉运动一既受介质阻力，又受机械阻力；
自由沉降一若矿粒运动只限于在垂直方向的自由运动称；
干涉沉降一若矿粒运动只限于在垂直方向干涉运动。
（1）、介质阻力的产生与形式
介质阻力：
介质与矿粒有相对运动时，作用在矿粒上与运动方向相反的分力。
（2）、介质阻力的计算及阻力系数
R=d2v2、
根据实验结果及水力学的分析可知，矿粒所受介质阻力R,与它的运动速度v、它的几何特征尺寸d、流体的密度p和粘度卩等物理量有关。
其中<=3-
Re
式中®也称为阻力系数，它是雷诺数Re的函数。
由式可知，介质阻力R与d2、v2、p成正比，并与雷诺数Re有关。
W谄h龄
球形颗粒的®与Re的关系曲线
亠
I-
0
3I567S9j.5；3
IO1
不规则矿粒的®与Re的关系曲线
此时的矿粒运动加速度具有最大值，通常以go来表示，即g。
二——g
6
g。
称为矿粒沉降时的初加速度，是一种静力性质的加速度，在一定的介质中g0为常数，它只与矿粒的密度有关。
颗粒运动时，介质阻力产生的阻力加速度
颗粒在静止介质中达到沉降末速V。
的条件为:
R=G。
或=g0=a=0
2dt
6*v。
2
二d
是动力性质的加速度，它不仅与颗粒及介质的密度有关，而且还和颗粒的粒度及其沉降速度有关。
5-P
即g
故得_-
的通式
上式即为计算颗粒在静止介质中自由沉降时的沉降末速u0
（一:
?
）g
6v02-
JI
为此，刘农（R.Lunnon）提出了两个无量纲中间参数Re2®和®/Re。
经推导易求出
Re2
..「d3（—ygGJ
_6厂a
屮
r（」）g
Re
6'2v。
2
9MKM
Mcoa
14«M3
»«*■>
—1
AX
T
球形和不规则形状矿粒的ReV2k-Rev关系曲线
球形和不规则形状矿粒的“kRev-Rev关系曲线
按照求沉降末速通式的原则，采用斯托克斯、阿连和牛顿-雷廷智阻力公式，也可求出三个适用于不同雷诺数范围的颗粒在静止介质中自由沉降末速的个别公式。
介质阻力以摩擦阻力为主，此时可用斯托克斯沉降末速公式计算U0，即
若单位采用CGS制
25-p/
v0s=54.5d2（）cm/s
或％=54.5d2（^）1.0
（二）1.0
d卩
即vos二54.5d21.0v_1
式中
△—颗粒相对于介质的有效密度，或称比密度;
v—流体介质的运动粘度
中间尺寸矿粒的沉降末速，可用阿连公式计算，即
v°A=25.8d3（；j2
2’1■'
v°A二25.8d1.03v3
介质阻力以压差阻力为主，此时用牛顿-雷廷智沉降末速公式计算,即
若单位
v°n申=54.2d12（^）12（；）°
v°n_r=54.2d"2"V
总之，上述三个阻力公式，可在特定的阻力区内使用，将它们写成
统一形式，其系数和指数根据雷诺数值在表2-2-1中查取，计算时采用
CGS制。
三个流态区颗粒沉降末速个别公式的统一表达式为:
Vo二kdx（
V汀kdxy
以上沉降末速通式和个别公式均表明：
矿粒的沉降末速与矿粒
的性质（5d）和介质的性质（c,卩）有关。
相对于形状不规则的矿粒，在使用上述各公式时，必须考虑到形状的影响，而对公式U0加以修正,
此时，d应该用与矿粒同体积球体直径dv（亦称体积当量直径），同时,公式应乘一个形状（修正）系数①，不规则形状矿粒的沉降末速通式：
V。
g（——Jg
V。
不规则形状矿粒的沉降末速个别公式:
6-PP
v°k八KdvX（^）y（汀
或VokKdv^y_z
式中①是矿粒沉降速度公式中的形状修正系数，或简称形状系数。
也就是说，若用球体沉降速度公式计算形状不规则的矿粒沉降速度时，必须引入一个形状修正系数。
若将形状系数与球形系数作一比较（见表2-2-2）可以看出，两者是很接近的。
因此，在进行粗略计算时，可用球形系数取代形状系数。
这说明了使用形状系数来表示物体形状特征，在研究矿粒沉降运动时，具有实际意义。
表2-2-2不规则形状矿粒形状系数与球形系数的比较
矿粒形状
阻力系数k
值
IV
形状系数吩-
球形系数
范围
平均值
类球形
1.2-L8
0.91-0.75
0.85
1.0〜0$
多角形
1.5〜2.25
0.82^0.67
0.75
0.8^0.65
长条形
2〜3
071-0.58
0,65
0.65〜05
扁平形
375
0.58^0.47
0,53
<0.5
因此，不规则形状矿粒的沉降末速中的①值可用X值取代，即沉降末速通式
Vok=zV。
沉降末速个别公式
x6—pP
v°k=kdv（^）y（：
）z
「z
矿粒的筛分粒度的ds和体积当量直径dv的换算，可参照表2-2-3进行。
表2-2-3筛分粒度和体积当量直径的换算关系
颗粒形状测量值比彳虫
颗粒形状测量值比皿虫
1.15-1.22
（金粒祖・6以下）
1.05-1」
（四）矿粒的自由沉降等沉比
沉降过程中，往往存在某些粒度大、密度小的矿粒同粒度小、密度大的矿粒以相同沉降速度沉降的现象，这种现象叫做等沉现象。
密度和粒度不同但具有相同沉降速度的矿粒，称为等沉颗粒。
等沉颗粒中，小密度矿粒的粒度与大密度矿粒的粒度之比，称为等沉比。
常以eo表示。
例如：
两等沉粒，其密度和粒度分别以g、§及dv2、$表示，且设§>§,因Vol=V02，所以，dvl>dv2,故
等沉比的大小，可由沉降末速的个别公式或通式写出
如两颗粒等沉，则V01二V02，那么，按通式求解得
6（+n；「dv2（2-；?
）g
\6»\6kr
e_dvi_k1（2-）
%=厂'（「’）
V2k21
由于等沉比通式中包含阻力系数也故无法直接计算，所以eo
常借助于个别公式来求得。
但两个等沉比颗粒必须在同一性质阻力范围内。
对形状不规则的矿粒还应把球形系数x考虑在内。
（1）按斯托克斯公式求，对形状不规则的矿粒，当Uk1=Uk2时，即卩
（2）
e0s
dV1
dV2
按阿连公式求：
按牛顿-雷廷智公式求:
按个别公式求解:
意味着可选的粒级范围越宽。
（五）矿粒在介质中的干涉沉降
（1）矿粒在干扰沉降中运动的特点及常见的几种干扰沉降现象实际选矿过程，并非是单个颗粒在无限介质中的自由沉降，而是矿粒成群地在有限介质空间里的沉降。
这种沉降形式，称为干涉沉降。
干
扰沉降时，其沉降速度除受到自由沉降因素支配外，还受容器器壁及周围颗粒所引起的附加因素的影响。
所受附加因素有：
1）流体介质的粘滞性增加，引起介质阻力变大。
2）颗粒沉降时与介质的相对速度增大，导致沉降
3）在某一特定情况下，颗粒沉降受到的浮力作用变大。
4）机械阻力的产生。
上述诸因素都将使颗粒的干扰沉降速度小于自由沉降速度。
颗粒干扰沉降时所受阻力（包括介质阻力和机械阻力）的大小，主要取决于介质中固体颗粒的体积含量，以固体容积浓度入表示。
即单位体积悬浮液内固体颗粒占有的体积为：
“—100%
单位体积悬浮液内液体所占有的体积称为松散度B,可见
2-2-5常见的几种干扰沉降形式
（2）颗粒的干扰沉降速度公式
由于干扰沉降是实际重力分选过程中最基本而又最普遍的现象。
里
亚申柯根据物体在介质中的有效重力和介质的动压力平衡即可维持悬浮的原理，利用了均匀粒群（密度、粒度均相同的粒群）在上升水流中的悬浮研究了干扰沉降的规律。
其试验装置如图2-2-6所示。
当上升介质流速为某一恒速时，粒群相应的悬浮高度即为定值。
此
时测量由上部溢流出的水量上升介质流的速度出。
即
Q然后根据沉降管的横断面积A,便可算出
Q
Ua=
A
图2-2-6干扰沉降试验装置
1-干扰沉降玻璃管；2-筛网；3-测压管；4-溢流槽；
5-使水均匀分布的涡流管；6-切向给水管；7-橡胶塞
若突然切断水源，使出=0时，测定悬浮体上界面的下落速度，该
速度就是构成悬浮体的任一颗粒的干扰沉降速度U。
实验证明在数值上
U=Ua。
里亚申柯通过实验得到如下结果：
1）当上升水流速度Ua很小时，床层保持紧密，只有当Ua达到一定值后，粒群才开始悬浮。
2）当Ua一定时，对于一定量的粒群悬浮高度H也是一定的；增加物料量，高度H也增加，并存在着下述关系：
瓦G
亠二常数
在确定的试验中，沉降管的断面积S和颗粒的重度丫都为定值，所以容积浓度入也是常数。
即
V'GvG
=Vk常数
VSHSH
同理松散度0=1-入也是常数。
由此可见，容积浓度与粒群数量无关，只与上升流速Ua有关。
也就是干扰沉降速度U与同时沉降的物料量无关，只与入有关
（3）随着Ua增大或减小，H也发生增减变化，入和0亦随之改变。
Ua增大，入减小，反之亦然。
说明干扰沉降速度U不是定值，而是入的函数。
里亚申柯认为，当颗粒干扰沉降时，每个颗粒都受到各种阻力的作用，这些阻力之和，可用干扰沉降阻力Rg关系式表示。
即WggdJ
当Go二Rg，可求出颗粒的干扰沉降速度u
上式即为
中得
（V）k
裁，入及®的关系式，将其代入式
dv（…）g（「）k「。
（「）
令n=k/2贝卩
上式中n—
g=—厂0訂
与矿粒性质有关的实验指数。
n值求法可以利用u的经验公式，变换坐标求得
*
2P
YE整魁胆
——lg（l—A）
lg%-lg（l-兄）关系曲线
如以lg（1-入）为横坐标，以lg（uu）为纵坐标，或以lg（1-入）为横坐标，以IgUa即lgug为纵坐标均可求得n值。
求n值的另一种方法，是用求最大沉淀度法。
所谓沉淀度是指在单位时间内单位横断面积上所沉淀的固体体积量。
可见沉淀度具有体积生产率的含义。
据此，沉淀度二
代入，即“、n
Vgk二V°（1-k）k
n=丄-1
图2-2-8沉淀度与容积浓度的关系曲线
（3）干涉沉降的等沉比
将一组粒度不同、密度不同的宽级别粒群置于上升介质流中悬浮，流速稳定后，在管中可以看到固体容积浓度自上而下逐渐增大，而粒度亦是自上而下逐渐变大的悬浮柱。
如图2-2-9所示，在悬浮体下部可以获得纯净的粗粒重矿物层，在上部能得到纯净的细粒轻矿物层，中间段相当高的范围内是混杂层。
这是宽粒级混合物料在上升介质流的作用
下，各种颗粒按其干扰沉降速度的大小而分层的结果。
各窄层中处于混杂状态的轻重颗粒，因其具有相同的干扰沉降速度，故称其为干扰沉降等沉颗粒。
它们的粒度比称之为干涉沉降等沉比。
以符号eg表示，即
因是等沉粒，故
Voi（「y“02（「2厂
水
2-2-9两种密度不同的宽级别矿杨混合杨在上升水流中的悬浮现象
若两异类粒群的颗粒的自由沉降是在同一阻力范围内，则ni=n2二n。
不规则形状矿粒的自由沉降速度Uk用式表示并将n及Uk都代入式，经整理后则得
dV1
dV2
2）1x（l）yx（—）n
△4_扎
11
参看公式得出1_.
eg二eo
（2）
或写
即：
干扰沉降等沉比总是大于自由沉降等沉比，且可随容积浓度的减小而降低423粒群按密度分层理论
（一）按颗粒自由沉降速度差分层学说
这一学说最早由雷廷智提出，他认为在垂直流中，床层的分层按轻、重矿物颗粒的自由沉降速度差发生。
在紊流条件下，即牛顿阻力条件下，球形颗粒的沉降末速为式
%2=5.42屮（八%
16-P
等沉比为eoK=（）,
该式表明，颗粒粒度对沉降速度有同样重要的影响。
ro•切乔特将
上式改与为v0N=A\d=a
关系后，并予以延伸，给出不同密度颗粒在同一介质中沉降时，沉降速度随粒度变化的关系，如图2-2-10所示。
由图可见，要使两种密度不同的混合粒群在沉降（或与介质相对运动）中达到按密度分层，必须使给料中最大颗粒与最小颗粒的粒度比小于等沉颗粒的等沉比。
图2-2-10不冋密度颗粒的沉降速度随粒度变化关系
雷廷智的学说在19世纪末欧洲大陆上曾有广泛的影响。
按此观点,它要求矿石（煤）在入选前作严格地筛分分级，因而导致了生产流程的复杂化，但在英国则基于经验对煤采取宽级别入选，照样取得了良好的结果。
当今的选煤实践也证明了这一点。
（二）按颗粒的干扰沉降速度差分层学说为了解释矿石可按宽级别（给料上下限粒度比大于自由沉降等沉比）入选问题，R.H•门罗（Monroe,1888）提出了按干涉沉降速度差分层的学说。
颗粒的干扰沉降速度为u=u（1-入）n，干扰沉
降等沉比eg=eO（0201）n,由于eg>eO,由此可说明在干扰沉降条件下，可以分选宽级别物料的事实。
且说明了随着粒群容积浓度的增大，按密度分层的效果会更好。
（3）按矿物悬浮体密度差分层的学说
这一学说最早由A.A赫尔斯特（Hirst,1937）和R.T.汉考克（Hancock）提出，里亚申柯在试验的基础上进一步进行了验证。
他们将混杂的床层视作由局部重矿物悬浮体和局部轻矿物悬浮体构成，在
密度方面具有与均质介质相同的性质。
在重力作用下，悬浮体存在着静力不平衡，就象油与水混合在一起，最终导致按密度分层，即在上升水流作用下，密度高的悬浮液集中在下层，而密度低的集中在上层。
局部轻矿物和重矿物悬浮体的密度分别是：
*\（十:
?
）?
和「‘2（二」）按此学说实现正分层（重矿物在下）的条件便是
（1）
⑵
⑶
2
（2）1（［一）
以某种方式改变入1与入2的相对值，使
2（_）〔（「）此时，应发生反分层（轻矿物在下）。
当
2
（2）=1（〔）
此时，两种粒群应处于混杂状态。
据此条件，为了简化问题的分析，可将两种粒群的颗粒看成属于同一阻力范围，即在同一雷廷智范围内，于是n1=门2，以n代之。
此时，由企=（1-n匕）
代入（3）可得计算临界流速Ul的公式，即
'S-6i'（4）
Ul=V01V02I严-:
/=I（4）
IL.C2-'）nV01-（1-'）nV02
（4）按重介质作用原理分层学说
我国张荣增和姚书典等人根据他们各自的试验于1964年提出了这
一学说。
提出轻矿物粗颗粒的浮沉，取决于重矿物细颗粒与水所构成的悬浮液的物理密度，即与重介质分选原理相同。
（）（
正分层的条件成为：
12
（2）
反分层的条件为：
‘2*‘2（「2一'）'
悬浮分层由正常分层转为反分层。
其分层转变的临界条件为
6=九（6
122
临界上升水速为：
这就是按重介质作用分层的观点，计算临界水速Ul的公式。
用它计算的Ul与实测值很相近，但有时Ul的计算值偏低。
4.2.4颗粒在离心力场中的运动规律
（一）颗粒在离心力场中的运动特点
从研究颗粒在流体介质中的自由沉降可知，其沉降末速u除与颗粒及介质的性质有关外，还与重力加速度g有关。
所以不但改变
介质的性质可以改善选矿过程。
而且，提高作用于颗粒上的重力加速度g也是改善重力选矿的有效途径。
然而，在整个重力场中，重力加速度g几乎是一个不变的常数。
这就使得微细颗粒的沉降速度受到限制。
为了强化细粒尤其是微细颗粒按密度分选和按粒度分级及除尘的过程，于
是采用惯性离心加速度a去取代重力加速度g,这就是近几十年来出现
的离心力场中的分选与分离技术。
在离心力场中选矿与在重力场中选矿，并没有什么原则性的差别，不同仅是作用于颗粒上并促使其运动的力是离心力而不是重力。
例如：
在重力场中，颗粒在整个运动期间，在介质中所受的重力Go及重力加
速度g都是常数；在离心力场中则不然，离心力F=m32r和离心加速度a=32r，是旋转半径及旋转速度的函数，而且一般说来，它们随着半径的增加而加大。
离心力的作用方向是作用在垂直于旋转轴线的径向上，所以在离心力选矿过程中，分选作用也是发生在径向上。
此时，沿径向作用于物体上的力有：
离心力与阻力。
所受重力忽略不计。
（二）颗粒在离心力场中的径向速度在离心力场中，颗粒在介质中所受的离心力（当介质也作同步旋转运动时）为：
Tid3F=—-J2r
6
根据矿粒在径向运动时受力情况的分析，可建立起运动微分方程式为
dt
-J2r-dv2I
6
dc=
dt
颗粒在任一回转半径处的径向速度u可按du/dt=0的条件得出：
2r
c_[6?
利用特殊条件下的个别阻力公式，按照上述原理亦可求出适合于一定雷诺数范围内，求径向速度u的个别公式，唯一应注意的是将重力加速度个别公式，唯一应注意的是将重力加速度g用离心加速度a
（即32r）取代即可。
（1）
按牛顿-雷廷智公式（适用于雷诺数500vRev2X105）
饥（一'）.2「
m/s
（2）
按阿连公式（适用于雷诺数1vRev500）
.2一
P
厂dV3
2（一'）十
15、
m/s
（3）
按斯托克斯公式（适用于雷诺数
Rev1）
2
*（」）.2「
181
m/s
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