高中数学必修第二章知识点总结.docx

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高中数学必修第二章知识点总结

高中数学必修2知识点总结

立体几何初步

特殊几何体表面积公式（c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线）

柱体、锥体、台体得体积公式

（4）球体得表面积与体积公式:

V=;S=

第二章直线与平面得位置关系

2、1空间点、直线、平面之间得位置关系

1平面含义:

平面就是无限延展得

2三个公理:

（1）公理1:

如果一条直线上得两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内、

符号表示为

A∈L

B∈L=>Lα

A∈α

B∈α

公理1作用:

判断直线就是否在平面内、

（2）公理2:

过不在一条直线上得三点,有且只有一个平面。

符号表示为:

A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用:

确定一个平面得依据。

（3）公理3:

如果两个不重合得平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点得公共直线。

符号表示为:

P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L

公理3作用:

判定两个平面就是否相交得依据、

2、1、2空间中直线与直线之间得位置关系

1空间得两条直线有如下三种关系:

相交直线:

同一平面内,有且只有一个公共点;

平行直线:

同一平面内,没有公共点;

异面直线:

不同在任何一个平面内,没有公共点。

2公理4:

平行于同一条直线得两条直线互相平行。

符号表示为:

设a、b、c就是三条直线

a∥b

c∥b

强调:

公理4实质上就是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用:

判断空间两条直线平行得依据。

3等角定理:

空间中如果两个角得两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补、

4注意点:

①a'与b'所成得角得大小只由a、b得相互位置来确定,与O得选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中得一条上;

②两条异面直线所成得角θ∈（0,）;

③当两条异面直线所成得角就是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;

④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤计算中,通常把两条异面直线所成得角转化为两条相交直线所成得角。

2、1、3—2、1、4空间中直线与平面、平面与平面之间得位置关系

1、直线与平面有三种位置关系:

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出:

直线与平面相交或平行得情况统称为直线在平面外,可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

2、2、直线、平面平行得判定及其性质

2、2、1直线与平面平行得判定

1、直线与平面平行得判定定理:

平面外一条直线与此平面内得一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:

线线平行,则线面平行。

符号表示:

aα

bβ=>a∥α

a∥b

2、2、2平面与平面平行得判定

1、两个平面平行得判定定理:

一个平面内得两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:

aβ

bβ

a∩b=Pβ∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行得方法有三种:

（1）用定义;

（2）判定定理;

（3）垂直于同一条直线得两个平面平行。

2、2、3—2、2、4直线与平面、平面与平面平行得性质

1、直线与平面平行得性质定理:

一条直线与一个平面平行,则过这条直线得任一平面与此平面得交线与该直线平行。

简记为:

线面平行则线线平行。

符号表示:

a∥α

aβa∥b

α∩β=b

作用:

利用该定理可解决直线间得平行问题。

2、两个平面平行得性质定理:

如果两个平行得平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。

符号表示:

α∥β

α∩γ=aa∥b

β∩γ=b

作用:

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2、3直线、平面垂直得判定及其性质

2、3、1直线与平面垂直得判定

1、定义:

如果直线L与平面α内得任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α得垂线,平面α叫做直线L得垂面。

如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

P

a

L

2、直线与平面垂直得判定定理:

一条直线与一个平面内得两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点:

a）定理中得“两条相交直线”这一条件不可忽视;

b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化得数学思想。

2、3、2平面与平面垂直得判定

1、二面角得概念:

表示从空间一直线出发得两个半平面所组成得图形

A

梭lβ

B

　　α

2、二面角得记法:

二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直得判定定理:

一个平面过另一个平面得垂线,则这两个平面垂直。

2、3、3—2、3、4直线与平面、平面与平面垂直得性质

1、直线与平面垂直得性质定理:

垂直于同一个平面得两条直线平行。

2、两个平面垂直得性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线得直线与另一个平面垂直。

第三章直线与方程

（1）直线得倾斜角

定义:

x轴正向与直线向上方向之间所成得角叫直线得倾斜角。

特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它得倾斜角为0度。

因此,倾斜角得取值范围就是0°≤α＜180°

（2）直线得斜率

①定义:

倾斜角不就是90°得直线,它得倾斜角得正切叫做这条直线得斜率。

直线得斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴得倾斜程度。

当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;

当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在、

当时,;当时,;当时,不存在。

②过两点得直线得斜率公式:

（P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1≠x2）

注意下面四点:

（1）当时,公式右边无意义,直线得斜率不存在,倾斜角为90°;

（2）k与P1、P2得顺序无关;

（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点得坐标直接求得;

（4）求直线得倾斜角可由直线上两点得坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式:

直线斜率k,且过点

注意:

当直线得斜率为0°时,k=0,直线得方程就是y=y1。

当直线得斜率为90°时,直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1。

②斜截式:

直线斜率为k,直线在y轴上得截距为b

③两点式:

（）直线两点,

④截矩式:

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴得截距分别为。

⑤一般式:

（A,B不全为0）

注意:

各式得适用范围

特殊得方程如:

平行于x轴得直线:

（b为常数）;平行于y轴得直线:

（a为常数）;

（6）两直线平行与垂直

当,时,

;

注意:

利用斜率判断直线得平行与垂直时,要注意斜率得存在与否。

（7）两条直线得交点

相交

交点坐标即方程组得一组解。

方程组无解;方程组有无数解与重合

（8）两点间距离公式:

设就是平面直角坐标系中得两个点,

则

（9）点到直线距离公式:

一点到直线得距离

（10）两平行直线距离公式

已知两条平行线直线与得一般式方程为:

:

则与得距离为

第四章圆与方程

1、圆得定义:

平面内到一定点得距离等于定长得点得集合叫圆,定点为圆心,定长为圆得半径。

2、圆得方程

（1）标准方程,圆心,半径为r;

点与圆得位置关系:

当>,点在圆外当=,点在圆上

当<,点在圆内

（2）一般方程

当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为

当时,表示一个点;

当时,方程不表示任何图形。

（3）求圆方程得方法:

一般都采用待定系数法:

先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆得标准方程,

需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆得几何性质:

如弦得中垂线必经过原点,以此来确定圆心得位置。

3、直线与圆得位置关系:

直线与圆得位置关系有相离,相切,相交三种情况:

（1）设直线,圆,圆心到l得距离为,则有;;

（2）过圆外一点得切线:

①k不存在,验证就是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】

（3）过圆上一点得切线方程:

圆（x-a）2+（y-b）2=r2,圆上一点为（x0,y0）,则过此点得切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2

4、圆与圆得位置关系:

通过两圆半径得与（差）,与圆心距（d）之间得大小比较来确定。

设圆,

两圆得位置关系常通过两圆半径得与（差）,与圆心距（d）之间得大小比较来确定。

当时两圆外离,此时有公切线四条;

当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

当时,两圆内含;当时,为同心圆。

注意:

已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线

圆得辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

第一章空间几何体题

一、选择题

1.有一个几何体得三视图如下图所示,这个几何体可能就是一个（）.

主视图左视图俯视图

（第1题）

A.棱台B.棱锥C.棱柱D.正八面体

2.如果一个水平放置得平面图形得斜二测直观图就是一个底角为45°,腰与上底均为得等腰梯形,那么原平面图形得面积就是（）.

A.2＋B.C.D.

3.棱长都就是得三棱锥得表面积为（）.

A.B.2C.3D.4

4.长方体得一个顶点上三条棱长分别就是3,4,5,且它得8个顶点都在同一球面上,则这个球得表面积就是（）.

A.25πB.50πC.125πD.都不对

5.正方体得棱长与外接球得半径之比为（　　）.

A.∶1B.∶2C.2∶D.∶3

6.在△ABC中,AB＝2,BC＝1、5,∠ABC＝120°,若使△ABC绕直线旋转一周,则所形成得几何体得体积就是（）.

A.πB.πC.πD.π

7.若底面就是菱形得棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它得对角线得长分别就是9与15,则这个棱柱得侧面积就是（）.

A.130B.140C.150D.160

8.如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD就是边长为3得正方形,EF∥AB,EF＝,且EF与平面ABCD得距离为2,则该多面体得体积为（）.

（第8题）

A.B.5C.6D.

9.下列关于用斜二测画法画直观图得说法中,错误得就是（）.

A.用斜二测画法画出得直观图就是在平行投影下画出得空间图形

B.几何体得直观图得长、宽、高与其几何体得长、宽、高得比例相同

C.水平放置得矩形得直观图就是平行四边形

D.水平放置得圆得直观图就是椭圆

10.如图就是一个物体得三视图,则此物体得直观图就是（）.

（第10题）

二、填空题

11.一个棱柱至少有______个面,面数最少得一个棱锥有________个顶点,顶点最少得一个棱台有________条侧棱.

12.若三个球得表面积之比就是1∶2∶3,则它们得体积之比就是_____________.

13.正方体ABCD－A1B1C1D1中,O就是上底面ABCD得中心,若正方体得棱长为a,则三棱锥O－AB1D1得体积为_____________.

14.如图,E,F分别为正方体得面ADD1A1、面BCC1B1得中心,则四边形BFD1E在该正方体得面上得射影可能就是___________.

（第14题）

15.已知一个长方体共一顶点得三个面得面积分别就是、、,则这个长方体得对角线长就是___________,它得体积为___________.

16.一个直径为32厘米得圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球得半径为_________厘米.

三、解答题

17.有一个正四棱台形状得油槽,可以装油190L,假如它得两底面边长分别等于60cm与40cm,求它得深度.

18*.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球得体积与正方体得体积之比.[提示:

过正方体得对角面作截面]

19.如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠ADC＝135°,AB＝5,CD＝2,AD＝2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体得表面积及体积.

（第19题）

20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上得积雪之用）,已建得仓库得底面直径为12m,高4m,养路处拟建一个更大得圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:

一就是新建得仓库得底面直径比原来大4m（高不变）;二就是高度增加4m（底面直径不变）.

（1）分别计算按这两种方案所建得仓库得体积;

（2）分别计算按这两种方案所建得仓库得表面积;

（3）哪个方案更经济些？

第二章点、直线、平面之间得位置关系A组

一、选择题

1.设,为两个不同得平面,l,m为两条不同得直线,且l,m,有如下得两个命题:

①若∥,则l∥m;②若l⊥m,则⊥.那么（）.

A.①就是真命题,②就是假命题B.①就是假命题,②就是真命题C.①②都就是真命题D.①②都就是假命题

2.如图,ABCD－A1B1C1D1为正方体,下面结论错误得就是（）.

（第2题）

A.BD∥平面CB1D1

B.AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D1

D.异面直线AD与CB1角为60°

3.关于直线m,n与平面,,有下列四个命题:

①m∥n∥且∥,则m∥n;②m⊥n⊥且⊥,则m⊥n;

③m⊥n∥且∥,则m⊥n;④m∥n⊥且⊥,则m∥n.

其中真命题得序号就是（）.A.①②B.③④C.①④D.②③

4.给出下列四个命题:

①垂直于同一直线得两条直线互相平行②垂直于同一平面得两个平面互相平行

③若直线l1,l2与同一平面所成得角相等,则l1,l2互相平行

④若直线l1,l2就是异面直线,则与l1,l2都相交得两条直线就是异面直线

其中假命题得个数就是（）.A.1B.2C.3D.4

5.下列命题中正确得个数就是（）.

①若直线l上有无数个点不在平面内,则l∥

②若直线l与平面平行,则l与平面内得任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中得一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行

④若直线l与平面平行,则l与平面内得任意一条直线都没有公共点

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.两直线l1与l2异面,过l1作平面与l2平行,这样得平面（）.

A.不存在B.有唯一得一个C.有无数个D.只有两个

7.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点得三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成得角得大小为（）.

A.90°B.60°C.45°D.30°

8.下列说法中不正确得就是（）.

A.空间中,一组对边平行且相等得四边形一定就是平行四边形

B.同一平面得两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

9.给出以下四个命题:

①如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线得一个平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行

②如果一条直线与一个平面内得两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行

④如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,那么些两个平面互相垂直

其中真命题得个数就是（）.A.4B.3C.2D.1

10.异面直线a,b所成得角60°,直线a⊥c,则直线b与c所成得角得范围为（　）.

A.[30°,90°]B.[60°,90°]C.[30°,60°]D.[30°,120°]

二、填空题

11.已知三棱锥P－ABC得三条侧棱PA,PB,PC两两相互垂直,且三个侧面得面积分别为S1,S2,S3,则这个三棱锥得体积为.

12.P就是△ABC所在平面外一点,过P作PO⊥平面,垂足就是O,连PA,PB,PC.

（1）若PA＝PB＝PC,则O为△ABC得心;

（2）PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则O就是△ABC得心;

（3）若点P到三边AB,BC,CA得距离相等,则O就是△ABC得心;

（4）若PA＝PB＝PC,∠C＝90º,则O就是AB边得点;

（5）若PA＝PB＝PC,AB＝AC,则点O在△ABC得线上.

13.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边得中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE得中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角得度数为.

14.直线l与平面所成角为30°,l∩＝A,直线m∈,则m与l所成角得取值范围就是.

15.棱长为1得正四面体内有一点P,由点P向各面引垂线,垂线段长度分别为d1,d2,d3,d4,则d1＋d2＋d3＋d4得值为.

16.直二面角－l－得棱上有一点A,在平面,内各有一条射线AB,AC与l成45°,AB,AC,则∠BAC＝.

三、解答题

17.在四面体ABCD中,△ABC与△DBC都就是边长为4得正三角形.

（1）求证:

BC⊥AD;

（2）若点D到平面ABC得距离等于3,求二面角A－BC－D得正弦值;

（3）设二面角A－BC－D得大小为,猜想为何值时,四面体A－BCD得体积最大.（不要求证明）

18.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB＝2,BB1＝BC＝1,E为D1C1得中点,连结ED,EC,EB与DB.

（1）求证:

平面EDB⊥平面EBC;

（2）求二面角E－DB－C得正切值、

19*.如图,在底面就是直角梯形得四棱锥Ｓ－ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,

SA⊥面ABCD,SA＝AB＝BC＝１,AD＝.

（1）求四棱锥S—ABCD得体积;

（2）求面SCD与面SBA所成得二面角得正切值.

（提示:

延长BA,CD相交于点E,则直线SE就是

所求二面角得棱、）

20*.斜三棱柱得一个侧面得面积为10,这个侧面与它所对棱得距离等于6,求这个棱柱得体积.（提示:

在AA1上取一点P,过P作棱柱得截面,使AA1垂直于这个截面、）

（第20题）

第三章直线与方程A组

一、选择题

1.若直线x＝1得倾斜角为,则（）.

A.等于0B.等于πC.等于D.不存在

2.图中得直线l1,l2,l3得斜率分别为k1,k2,k3,则（）.

A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2

C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2

3.已知直线l1经过两点（－1,－2）、（－1,4）,直线l2经过两点（2,1）、（x,6）,且l1∥l2,则x＝（）.

A.2B.－2C.4D.1

4.已知直线l与过点M（－,）,N（,－）得直线垂直,则直线l得倾斜角就是（）.

A.B.C.D.

5.如果AC＜0,且BC＜0,那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.设A,B就是x轴上得两点,点P得横坐标为2,且|PA|＝|PB|,若直线PA得方程为x－y＋1＝0,则直线PB得方程就是（）.

A.x＋y－5＝0B.2x－y－1＝0C.2y－x－4＝0D.2x＋y－7＝0

7.过两直线l1:

x－3y＋4＝0与l2:

2x＋y＋5＝0得交点与原点得直线方程为（）.

A.19x－9y＝0B.9x＋19y＝0C.19x－3y＝0D.3x＋19y＝0

8.直线l1:

x＋a2y＋6＝0与直线l2:

（a－2）x＋3ay＋2a＝0没有公共点,则a得值就是（）.

A.3B.－3C.1D.－1

9.将直线l沿y轴得负方向平移a（a＞0）个单位,再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l',此时直线l'与l重合,则直线l'得斜率为（）.

A.B.C.D.

10.点（4,0）关于直线5x＋4y＋21＝0得对称点就是（）.

A.（－6,8）B.（－8,－6）C.（6,8）D.（－6,－8）

二、填空题

11.已知直线l1得倾斜角1＝15°,直线l1与l2得交点为A,把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到与直线l1重合时所转得最小正角为60°,则直线l2得斜率k2得值为.

12.若三点A（－2,3）,B（3,－2）,C（,m）共线,则m得值为.

13.已知长方形ABCD得三个顶点得坐标分别为A（0,1）,B（1,0）,C（3,2）,求第四个顶点D得坐标为.

14.求直线3x＋ay＝1得斜率.

15.已知点A（－2,1）,B（1,－2）,直线y＝2上一点P,使|AP|＝|BP|,则P点坐标为.

16.与直线2x＋3y＋5＝0平行,且在两坐标轴上截距得与为6得直线方程就是　　　　　　　.

17.若一束光线沿着直线x－2y＋5＝0射到x轴上一点,经x轴反射后其反射线所在直线得方程就是.

三、解答题

18.设直线l得方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6（m∈R,m≠－1）,根据下列条件分别求m得值:

①l在x轴上得截距就是－3;②斜率为1.

19.已知△ABC得三顶点就是A（－1,－1）,B（3,1）,C（1,6）.直线l平行于AB,交AC,BC分别于E,F,△CEF得面积就是△CAB面积得.求直线l得方程.

20.一直线被两直线l1:

4x＋y＋6＝0,l2:

3x－5y－6＝0截得得线段得中点恰好就是坐标原点,求该直线方程.

、

21.直线l过点（1,2）与第一、二、四象限,若直线l得横截距与纵截距之与为6,求直线l得方程.

第四章圆与方程

一、选择题

1.若圆C得圆心坐标为（2,－3）,且圆C经过点M（5,－7）,则圆C得半径为（）.

A.B.5C.25D.

2.过点A（1,－1）,B（－1,1）且圆心在直线x＋y－2＝0上得圆得方程就是（）.

A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4C.（x－1）2＋（y－1）2＝4D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4

3.以点（－3,4）为圆心,且与x轴相切得圆得方程就是（）.

A.（x－3）2＋（y＋4）2＝16B.（x＋3）2＋（y－4）2＝16C.（x－3）2＋（y＋4）2＝9D.（x＋3）2＋（y－4）2＝19

4.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切,则m为（）.

A.0或2B.2C.D.无解

5.圆（x－1）2＋