人教版八年级数学上册七年级第十一章第五讲多边形教师版Word文档格式.docx

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凸多边形和凹多边形.

一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边　　都在延长所得直线的同一旁　　，这样的多边形叫做凸多边形.

画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形　　不都在此直线的同旁　　，这样的多边形叫做凹多边形.

凸多边形的特征：

凸多边形的每个内角可为锐角或直角或钝角..

2．多边形的边、内角、外角

（1）组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

（2）多边形　　相邻两边　　组成的角叫做多边形的内角.

（3）多边形的　　边和它的邻边的延长线　　组成的角叫做多边形的外角.

3．多边形的对角线

连接多边形的　　不相邻的两个顶点　　的线段叫做多边形的对角线．

多边形的对角线的条数：

从n边形的一个顶点可以引　　（n-3）　　条对角线.将多边形分成　　（n-2）　　个三角形.

n边形共有　　

　　条对角线．

★请读出下图中的所有对角线：

　　AC，AD，BD，BE，CE　　.

4．正多边形

在平面内，各个角相等，各条边也相等的多边形叫　　正多边形　　.如正三角形，正四边形，正六边形等等.

四、典例探究

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1．多边形截去一个角后的边数

【例1】四边形剪掉一个角后，变为（）．

A．三角形B．四边形C．五边形D．三角形或四边形或五边形

总结:

一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加一条，也可能不变或减少一条.

练1若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为（）

A．14或15或16B．15或16C．14或16D．15或16或17

练2把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）

A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形

2．从一个顶点出发连接其余顶点将多边形分成的三角形的个数

【例2】一个六边形至少可以分割成三角形的个数为（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

总结：

1.从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可把多边形分割成（n﹣2）个三角形.

2.从n边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点可得到（n﹣1）个三角形.

3.从n边形内部的一点出发，连接各个顶点可得到n个三角形.

练3在六边形内任取一点，把这个点与六边形的各顶点分别连接可以得到（）

A．4个三角形B．5个三角形C．6个三角形D．7个三角形

练4从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（）

A．2001B．2005C．2004D．2006

3．多边形对角线的条数

【例3】请写出下图中每个图形对角线的总条数，并尝试画一画.

多边形的边数和对角线、对角线分成的三角形的个数的关系如下表：

练5将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）

A．6B．8C．12D．14

五、课后小测

一、选择题

1．（2013秋•太康县期末）下列图形中，多边形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．下列各图中，是凸多边形的是（）

A．

B．

C．

D．

3．（2012秋•渝中区校级期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．

A．6B．5C．8D．7

4．把一个四边形锯掉一个角，剩下的多边形是（）

A．三角形B．四边形

C．五边形D．三角形或四边形或五边形

5．（2010秋•黄州区校级期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）

A．16B．17C．18D．19

二、填空题

6．多边形相邻两边组成的角叫做它的______；

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的________；

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的________．

7．一个n边形有_____个顶点，______条边，_____个内角，______个外角．

8．（2014秋•赣榆县校级月考）对正方形剪一刀能得到_____边形．

9．（2011春•郯城县期中）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_____．

10．一个凸多边形的内角中，最多有_____个锐角．

11．

（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成____个三角形．

（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成______个三角形．

12．（2008•连云港）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的……依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为_______．

三、解答题

13．（2007•泉州）已知正n边形的周长为60，边长为a

（1）当n=3时，请直接写出a的值；

（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：

“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？

若不对，请求出不符合这一说法的n的值．

典例探究答案：

【例1】【解析】若剪掉四边形相邻两边的一部分，则剩下的部分为五边形，若沿着四边形对角线剪，则剩下的部分为三边形（三角形），若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只减掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．

解：

如下图所示：

观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能为五边形，可能为四边形，可能为三角形，

故选：

D．

点评：

本题考查了多边形，解题的关键是能理解一个四边形剪掉一个角后得到的图形的形状，通过画图的方法解决最好．

练1．【解析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．

一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，

则多边形的边数是14，15或16．

故选A．

本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，同学们可以自己动手画一下．

练2．【解析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．

当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，

则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．

剪去一个角的方法可能有三种：

经过两个相邻顶点，则少了一条边；

经过一个顶点和一边，边数不变；

经过两条邻边，边数增加一条．

【例2】【解析】从n边形的一个顶点出发,连接这个点与其余各顶点,可以把一个多边形分割成（n－2）个三角形，从n边形某一边上一点出发，连接这个点与其余各顶点，可以分成（n-1）个三角形；

从n边形内部一点出发，连接这个点与其余各顶点，可以分成n个三角形.

一个六边形至少可以分割成6﹣2=4个三角形．

B．

本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）．

练3．【解析】根据六边形有六个顶点，连接六个顶点，可得六个三角形．

在六边形内任取一点，把这个点与六边形的各顶点分别连接可以得到六个三角形，

C．

本题考查了多边形，利用了图形的分割：

六个顶点可分割成六个三角形．

练4．【解析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．

多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，

则这个多边形的边数为2003+1=2004．

多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数﹣1．

【例3】【解析】

练5．【解析】要用对角线将六边形ABCDEF剖分成互不重叠的4个三角形，①通过同一个顶点作三条对角线，所以有六种作法．②从一个顶点作两条对角线；

③中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线．

∵六边形ABCDEF有6个顶点，且用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，

∴只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，

也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，

如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，

故各种不同的剖分方法有14种．

本题考查了多边形的性质，n边形过一个顶点有（n﹣3）条对角线，它们把n边形分割成了（n﹣2）个三角形．

课后小测答案：

1．【解析】根据多边形的定义：

平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．

由多边形的概念可知第四个、第五个是多边形共2个．

本题考查了认识平面图形．注意，多边形是由3条或3条以上的线段首尾顺次连接而成的图形，故多边形中没有曲线．

2．【解析】多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：

①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°

，通常所说的多边形指凸多边形．

A、B、C是凹多边形，D是凸多边形，

此题主要多边形，关键是掌握凸多边形和凹多边形的区别．

3．【解析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．

从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．

本题考查的知识点为：

从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．

4．【解析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角上方一点剪，进而得出结论．

如图所示：

，

此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．

5．【解析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．

当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，

则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．

此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：

6．【解析】根据多边形的定义以及外角的定义和对角线的定义分别分析得出即可．

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角；

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．

故答案为：

内角，外角，对角线．

此题主要考查了多边形有关定义，熟练掌握相关概念是解题关键．

7．【解析】根据多边形的顶点、边、内角、外角的含义作答．

一个n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．

n，n，n，2n．

本题综合考查了多边形的顶点、边、内角、外角的含义，是基础题型，比较简单．

8．【解析】根据图形的分割，可得答案．

沿对角线剪一刀，得两个三角形，即三角形，

沿对边上的两点剪一刀，得两个梯形，或两个矩形，即四边形；

沿相邻两边上的点剪一刀，得一个三角形，一个五边形即五边形．

三、四、五．

本题考查了多边形，分类讨论是解题关键．

9．【解析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．

如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．

此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．

10．【解析】根据任意凸多边形的外角和是360°

．可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个锐角．

一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角．

注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况可以借助外角来分析．

11．【解析】根据题中条件，画出简单图形，找出规律．

（1）多边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形；

（2）若P点取在一边上，则可以与其他顶点连接出n﹣2条线段，可以分n边形为（n﹣1）个三角形．

（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成n个三角形；

（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成n﹣1个三角形．

找出该点在不同状态下的规律．

12．【解析】①边数是12=3×

4，②边数是20=4×

5，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．

∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×

4，

②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×

5，

③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×

6，

④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×

7，

∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．

n（n+1）．

首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．

13．【解析】

（1）边长=周长÷

边数；

（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值．

（1）a=20；

（2）此说法不正确．

理由如下：

尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b，

但可令a=b，得

，即

．

∴60n+420=67n，

解得n=60，

经检验n=60是方程的根．

∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60．

读懂题意，找到相应量的等量关系是解决问题的关键．