全等三角形证明SSS.docx

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全等三角形证明SSS

学生1对1个性化教案

第6次课

学生姓名

年级

授课日期

教师

科目

数学

时间段

授课内容

全等三角形证明——SSS

出题依据

初二预习

知识点一：

SSS定理

（一）知识点精讲

①AB=DE②BC=EF③CA=FD④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F

思考：

1.满足这六个条件可以保证△ABC≌△DEF吗？

2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?

探究一：

1.只给一个条件：

只给一条边时；只给一个角时.

结论:

只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？

①两边；②一边一角；③两角。

①如果三角形的两边分别为4cm，6cm时

结论:

两条边对应相等的两个三角形不一定全等.

②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:

结论:

一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时

结论:

两个角对应相等的两个三角形不一定全等.

根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等

结论：

只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。

3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？

①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。

⑴三个角

已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？

结论：

这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等

⑵三条边

已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm。

它们一定全等吗？

探究二：

先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’,使A’B’=AB,B’C’=BC,A’C’=AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？

画法:

1.画线段B’C’=BC;

2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;

3.连接线段A’B’，A’C’.

上述结论反映了什么规律？

边边边公理：

三边对应相等的两个三角形全等。

简写为“边边边”或“SSS”

注：

这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。

判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

如何用符号语言来表达呢?

在△ABC与△DEF中

AB=DE

AC=DF

BC=EF

∴△ABC≌△DEF（SSS）

（二）典型例题剖析

例1：

如图,△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：

△ABD≌△ACD

证明：

∵D是BC的中点

∴BD=CD

在△ABD与△ACD中

AB=AC（已知）

BD=CD（已证）

AD=AD（公共边）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C，

归纳：

证明的书写步骤：

①准备条件：

证全等时要用的条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

1.写出在哪两个三角形中

2.摆出三个条件用大括号括起来

3.写出全等结论

练习：

已知：

如图，AB=AD，BC=DC，求证：

△ABC≌△ADC

例2：

填空题：

（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？

试说明理由。

解：

△ABC≌△DCB

理由如下：

AB=CD

AC=BD==>△ABC≌（）

=

（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件

（1）

（2）

例3：

已知：

如图1，AC=FE，AD=FB,BC=DE，求证：

（1）△ABC≌△FDE，

（2）∠C=∠E，（3）AC∥EF；DE∥BC

证明：

（1）∵AD=FB

∴AB=FD（等式性质）

在△ABC和△FDE中

AC=FE（已知）

BC=DE（已知）

AB=FD（已证）

∴△ABC≌△FDE（SSS）

（2）∵△ABC≌△FDE（已证）

∴∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）

（3）

例4：

已知:

如图，AB=AC，DB=DC，请说明∠B=∠C成立的理由

解：

连接AD

在△ABD和△ACD中，

AB=AC（已知）

DB=DC（已知）

AD=AD（公共边）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

例5：

已知：

如图，四边形ABCD中，AD=CB，AB=CD，求证：

∠A＝∠C。

分析：

要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。

构造公共边是常添的辅助线

例6：

已知：

AC=AD，BC=BD，求证：

AB是∠DAC的平分线.

证明:

在△ABC和△ABD中

AC=AD（已知）

BC=BD（公共边）

AB=AB（已知）

∴△ABC≌△ABD（SSS）

∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）

∴AB是∠DAC的平分线（角平分线定义）

小结:

1.边边边公理：

有三边对应相等的两个三角形全等简写成：

“边边边”（SSS）

2.边边边公理发现过程中用到的数学方法（包括画图、猜想、分析、归纳等.）

3.边边边公理在应用中用到的数学方法:

证明线段（或角）相等转化为证明线段（或角）所在的两个三角形全等.

两个三角形全等的注意点：

1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.

2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.

3.有时需添辅助线（如:

造公共边）

（三）随堂练习

一、填空

1、能够完全的两个三角形叫做全等三角形.

2、全等三角形的相等，

全等三角形的相等.

3、完成下面的证明过程：

如图，OA＝OB，AC＝BC.

求证：

∠AOC＝∠BOC.

证明：

在△AOC和△BOC中，

∴≌（SSS）.

∴∠AOC＝∠BOC

（）

（）.

4、△ABC和

中，若

，

，则需要补充条件可得

到△ABC≌

．

5、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，

则△ABD≌△ACD，根据是_______，AD与BC的位置关系是_______．

二、选择

1、如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABC≌△DBC，则需补充的条件是（　　　）

Ａ．∠A

＝∠D　　　Ｂ．∠E＝∠C　　　　Ｃ．∠A＝∠C　　　Ｄ．AE＝DC

2、全等三角形是（）

A．三个角对应相等的三角形B．周长相等的两个三角形

C．面

积相等的两个三角形D．三边对应相等的两个三角形

3、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）

A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对

4、下

列各组条件中能判定△ABC≌△DEF的是（）

A、AB=DE，BC=EFB、∠A=∠D，∠C=∠

F

C、AB=DE,BC=EF,ΔABC的周长等于ΔDEF的周长

D、∠

A=∠D，∠B=∠

E,∠C=∠F

1.解答题

1、

已知：

如图，A、B、E、F在一条直线上，且AC=BD，CE=DF，AF=BE。

求证：

△ACE≌△BDF

2、已知：

如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF。

求证：

△ABC≌△DEF。

3、已知：

如图，AB=DC，AD=BC，求证：

∠A=∠C。

4、已知：

如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE．求证：

∠BAC=∠DAE．

课后作业

一、基础知识

1、能够完全的两个三角形叫做全等三角形.

2、全等三角形的相等，

全等三角形的相等.

3、如图所示，沿

直线

对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌，AB的对应边是，BC的对应边是，∠BCA的对应角是．

4、如图，AB、DC相交于点O，△AOB≌△DOC，A、D为对应顶点，则这两个三角形中，相等的边有____________，_______________，_____________，

相等的角有__________，____________，_________．

5、边边边公理：

______________________________

6、完成下面的证明过程：

如图，OA＝OB，AC＝BC.

求证：

∠AOC＝∠BOC.

证明：

在△AOC和△BOC中，

（）

（）

∴≌（SSS）.

∴∠AOC＝∠BOC

（）

（）.

7、尺规作图。

已知：

∠AOB.求作：

∠DEF,使∠DEF=∠AOB

二、巩固练习

1、已知：

如图，A、B、E、F在一条直线上，且AC=BD，CE=DF，AF=BE。

求证：

△ACE≌△BDF

2、如图，△ABC中，D是BC边的中点，AB=AC，求证：

∠B=∠C。

3、已知：

如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF。

求证：

△ABC≌△DEF。

4、已知：

如图，AD=BC,AC=BD.

求证：

∠OCD=∠ODC

5、已知：

如图，AB=DC，AD=BC，求证：

∠A=∠C。

6、已知：

如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE．求证：

∠BAC=∠DAE．

7、已知AB=DE，BC=EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：

AB//DE．

8、已知AB=DE，BC=EF，D，AF＝CD，求证EF//BC：

9、如图，已知AB＝AC，AD为△ABC的中线，求证：

AD⊥BC

10、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：

∠A=∠D.

11、如图，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE,求证：

∠1=∠2

12、已知AD=BE，BC=EF，D，AC＝DF，求证EF//BC：

13、已知AB=AE，BC=EF，D，AF＝AC，求证：

∠BAE=∠CAF

14、已知AB=DC，AC=DB，求证：

∠DBC=∠ACB

15、已知C是BD上一点，AC=CE,AB=CD,BC=DE,∠B=900

求证：

AC⊥CE

16、如图，已知AE=AB，AF=AC，EC=BF，求证：

∠CMF=∠CAF