人力资源问题地数学模型.docx

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人力资源问题地数学模型

人力资源问题的数学模型

【摘要】本篇论文解决的是一家大型软件公司关于人力资源分配问题以及最佳经济效益问题。

在不同的目标任务下，解决软件公司特殊的人力资源配置问题，并对此做出了具体的分析，并得出了不同优化方案。

本论文通过对问题进行了合理的假设，通过题目中的已知限定条件和内在限定条件，对函数进行限定及约束，建立函数模型；根据运筹学的整数线性规划知识，采用优化思想和方法对公司人力资源建立数学模型并创造更好的规划方案。

考虑到公司各岗位职工的变动有一定限制，培训有潜力员工使其升级；降等使用低潜力员工，增加自然离去概率；辞退多余劳动力，减小公司开支。

对于问题1：

公司的目标是尽量减少辞退职员，因此要充分合理利用公司的内部职员，比如对员工进行培训、降职措施。

但当出现伤病意外等特殊事件，必要时可以额外招聘或是找临时工。

对于问题2：

公司的政策是尽量减少支出，设置奖金福利等激励措施来提高员工工作积极性，进而创造更多利润，利用培训低级员工成为高级员工以及对能力欠佳的高级员工进行降等处理，从而达到公司利润最大化。

而我队对于上述问题将采用单纯形法以及MATLAB软件对其求解。

【关键字】整数线性规划优化思想和方法人力资源规划单纯形法

一、问题的提出

人力资源管理在我国还刚刚起步，为此，我们要进一步转变观念，坚持以人为本，重视人力资源开发，完善激励机制，坚强企业文化建设和人力资源管理队伍建设，以实现从传统人事管理到现代人力资源管理的转变，适应社会和经济发展的要求。

搞好人力资源开发管理工作已成为我国企业提高核心竞争力的一个重要方面。

本软件公司拥有以下三类职员：

系统分析员，高级程序员，程序员。

在当前构成的各类员工前提下，并考虑为满足今后三年公司对各类职员的需求，见表格：

类别

程序员

高级程序员

系统分析员

当前拥有

200

150

100

第一年

100

140

100

第二年

200

150

第三年

250

200

公司会出现跳槽特殊事件等变动，会通过辞退，降等，定期招聘，雇佣临时工，额外招聘，培训的方式进行调整公司出于对企业不同目标的追求，提出如下问题：

问题一：

如果公司的目标是尽量减少辞退职员。

试提出相应的招聘和培训计划。

问题二：

如果公司的政策是尽量减少费用，这样额外的费用与上面的政策相比，可以减少？

而辞退的职员将会增加多少？

二、问题的分析

根据市场调研得知，IT行业诸如软件公司，其人才流动性很强，造成了公司内部职员流动等现象，因此公司推出相应的招聘和培训计划；并制定了减少费用的政策。

通过对公司内部职员的流动方式的分析可以得出如下关系：

公司职员的流动方式包括三个途径：

1.内部调整2.职员增加3.职员减少。

其中内部调整方式包括：

培训、降等；增加方式有：

定期招聘、额外招聘、雇用临时工；减少方式包括：

跳槽、辞退、特殊情况。

只要企业能够合理的采取人力调动措施，该企业就会发展壮大，并保持其活力。

对于问题一，我们的目标是尽量减少辞退职员，但是由于一些职员中途会有跳槽，所以在年初公司统筹的时候就会考虑适当的多招聘一些职员或者少辞掉一些职员，这样当人数确实大于需要的人数时就会进行进一步辞退；另一方面，公司还可以通过降职增加职员的自然离去率；为了应对特殊情况所出现的职位空缺现象，公司还要采用额外招聘方案。

根据公司对各类职员的需求表可以看出，人员没有大幅度的变化，可以尽量使用内部员工；额外招聘具有附加费用、效率高等特征，而临时工费用低、工作量也为正常工作员工的一半；所以第一问中不考虑临时工。

对于问题二：

公司的政策是尽量减少费用，不再考虑辞退员工数，即目标函数是总费用的最小值；根据要求，由于辞退职工要付相应的辞退费用，当将要弃用某员工时，尽可能对其进行降等处理，使其有50%的可能性离开公司，相当于变相辞退，且不用付辞退费从而节省了费用。

由于额外招聘费用高，根据对题目中培训费用和额外招聘附加费数据分析可知：

尽量招聘下级职员，再对其进行培训从而达到公司的人员需求量，这样会减少相应费用。

综合问题1，2分析：

公司各岗位职工的变动有一定限制，培训有潜力员工使其升级，降等使用低潜力员工，增加自然离去概率；对能力较差的员工进行辞退或降等使用。

因此，得出这样一个关系：

下一年的总工作职员数=除去跳槽的年初的所有职员中+除去跳槽的招聘的新员工-本级培训到上一级职员的人数+下一级职员培训到本级的人数-辞退职员的人数-本级降等到下一级的职员人数+上级降等到本级的职员人数+临时工人数。

三．模型假设

1.在每年的年初进行招聘、辞退、降等以及确定培训的人数，额外招聘和临时招聘可以在任意时期进行。

2.培训职员：

假设被培训的人员依旧在自己的岗位上工作，当年终的时候他们属于高一级的员工，且培训员工当年年初不再进行辞退和降等，在培训中可以进行辞退，不可以降等。

3.跳槽问题：

假设跳槽员工在任何时候都可以跳槽不受时间限制，且额外招聘人员属于公司正式员工，临时人员不属于公司，跳槽包括招聘的人员。

4.降等处理：

假设降等是为了部分员工跳槽而设的一种管理方案，且降等可以跨级降等使用使用职员，不受邻级限制，且降等使用的都是一年以上的职员没有刚晋升的职员，刚招聘的职员不可以降等。

5.薪酬假定：

假设同等级的正式员工工资相同，且工资都在年末发放，及跳槽人员一年内没有工资相映的也不用给公司违约金。

6.额外招聘的职员只要经过一次年终结算就变成工龄大于一年的正式员工。

四．模型设计

符号说明：

ai招聘人员（i=1,2,3此时分别表示程序员，高级程序员，系统分析员）

bi培训员工（只限程序员和高级程序员即b1b2）

ci辞退员工数

di额外招聘员工数

ei招聘临时工数

fi降等使用员工数（分别表示由高级程序员到程序员，系统分析员到程序员和系统分析员到高级程序员）

An第n年程序员的3人数（n=0,1,2其中n=0时表示初始值）

Bn第n年高级程序员的数目

Cn第n年系统分析员的数目

Fi（c）第i年为公司辞退的职员时辞退员工的总数

Mi（c）表示第i年为公司减少的费用

1、尽量减少辞退员工方案

对问题分析得，公司的目的是为了尽量减少辞退员工，而减少的员工数为三类职员辞退的总和,所以目标函数为:

MinFi（c）=c1+c2+c3

从公司人员调配中解到，影响到费用增减的主要因素有招聘、培训、辞退、额外招聘、降等五种。

依题意，招聘新程序员、高级程序员和系统分析员最多为50，80，50。

培训的程序员不能超过20人，培训高级程序员不能超过年初系统分析员职员的四分之一。

公司总共可以额外招聘15人；辞退和降等使用员工数不能超过原有员工数减去培训员工数。

招聘的新人和额外招聘的三类职员的跳槽概率分别为25%、20%、10%，老员工的跳槽概率分别为10%、5%、5%；辞退和降等的人数不能超过原有各岗位的人数，额外招聘人数等于跳槽人数和发生特殊事件人数之和。

综合以上各种条件，得到在尽量减少费用情况下的约束条件为：

0≤a1≤50

0≤a2≤80

0≤a3≤50

0≤b1≤20

0≤b2≤1／4Cn

0≤c1≤An-b1

0≤c2≤Bn-b2

0≤c3≤Cn

0≤f1≤Bn-c2-b2

0≤f2+f3≤Cn-c3

0≤d1+d2+d3≤15

An+1=（An-b1-c1）（1-10%）+a1（1-25%）+f1*50%+f2*50%+d1（1-25%）

Bn+1=（Bn-b2-c2）（1-5%）+a2（1-20%）+b1-f1+f3*50%+d2（1-20%）

Cn+1=（Cn-c3）（1-5%）+a3（1-10%）+b2-f2-f3+d3（1-10%）

2、尽量减少费用方案

通过对问题的分析得知公司的目的是尽量减少费用，因为无论采用哪种方案，对每类员工都要开出同种基本工资，而费用的总数=培训费+辞退费+额外招聘附加费+临时工工资。

所以可以得到本方案的目标函数为：

MinMi（x）=b1*4000+b2*5000+c1*2000+c2*5000+c3*5000+d1*

15000+d2*20000+d3*30000+e1*5000+e2*4000+e3*4000

从公司人员调配中解到，影响到费用增减的主要因素有招聘、培训、辞退、额外招聘、临时工、降等六种。

招聘新程序员、高级程序员和系统分析员最多为50，80，50。

培训的程序员不能超过20人，培训高级程序员不能超过年初系统分析员职员的四分之一。

公司总共可以额外招聘15人；辞退和降等使用人数不超过原有员工数减去培训员工数；对每类员工，最多可招收5名临时工。

招聘的新人和额外招聘的三类职员的跳槽概率分别为25%、20%、10%，老员工的跳槽概率分别为10%、5%、5%；辞退和降等的人数不能超过原有的各岗位的人数。

综合以上各种条件，得到在尽量减少费用情况下的约束条件为：

0≤a1≤50

0≤a2≤80

0≤a3≤50

0≤b1≤20

0≤b2≤1／4Cn

0≤c1≤An-b1

0≤c2≤Bn-b2

0≤c3≤Cn

0≤f1≤Bn-c2-b2

0≤f2+f3≤Cn-c3

0≤d1+d2+d3≤15

0≤e1≤5

0≤e2≤5

0≤e3≤5

An+1=（An-b1-c1）（1-10%）+a1（1-25%）+f1*50%+f2*50%+d1（1-25%）

Bn+1=（Bn-b2-c2）（1-5%）+a2（1-20%）+b1-f1+f3*50%+d2（1-20%）

Cn+1=（Cn-c3）（1-5%）+a3（1-10%）+b2-f2-f3+d3（1-10%）

五．模型解法与结果

问题一

目标函数：

MinFi（c）=c1+c2+c3

约束条件:

0≤a1≤50

0≤a2≤80

0≤a3≤50

0≤b1≤20

0≤b2≤1／4Cn

0≤c1≤An-b1

0≤c2≤Bn-b2

0≤c3≤Cn

0≤f1≤Bn-c2-b2

0≤f2+f3≤Cn-c3

0≤d1+d2+d3≤15

An+1=（An-b1-c1）（1-10%）+a1（1-25%）+f1*50%+f2*50%+d1（1-25%）

Bn+1=（Bn-b2-c2）（1-5%）+a2（1-20%）+b1-f1+f3*50%+d2（1-20%）

Cn+1=（Cn-c3）（1-5%）+a3（1-10%）+b2-f2-f3+d3（1-10%）

单纯形法：

将a1、a2、a3、b1、b2、c1、c2、c3、d1、d2、d3、e1、e2、e3、f1、f2、f3分别用xj（j=1、2……17）表示。

即原目标函数可化为:

minFi（x）=x6+x7+x8

约束条件:

0≤x1≤50

0≤x2≤80

0≤x3≤50

0≤x4≤20

0≤x5≤1／4Cn

0≤x6

0≤x7

0≤x8≤Cn

0≤x15

x4+x6≤An

x5+x7≤Bn

x5+x7+x15≤Bn

-x16-x17≤0

x16+x17+x8≤Cn

–x9-x10-x11≤0

x9+x10+x11≤15

0.75x1-0.9x4-0.9x6+0.5x15+0.5x16+0.75x9=A（n+1）-0.9An

0.8x2+x4-0.95x5-0.95x7+0.8x10-x15+0.5x17=B（n+1）-0.95Bn

0.9x3+x5-0.95x8+0.9x11-x17=C（n+1）-0.95Cn

由以上条件根据matlab得出以下结果：

第一年（n=0）

第二年（n=1）

第三年（n=2）

0.0000

43.0782

72.6211

79.9632

0.1605

40.7433

40.1953

20.0000

2.5491

11.2093

15.9030

60.0000

20.0000

25.0000

0.0000

x10

10.3956

5.8589

6.4511

x11

2.5627

7.9131

6.0236

x12

0.0000

x13

0.0000

x14

0.0000

x15

62.7299

4.5747

13.2284

x16

0.0000

x17

0.0000

Fi（x）

60.0000

20.0000

25.0000

由上表可知：

高级程序员和系统分析员三年中都不辞退，而程序员在三年中分别要辞退60、20、25人，共计105人。

问题二

目标函数：

MinMi（x）=b1*4000+b2*5000+c1*2000+c2*5000+c3*5000+d1*

15000+d2*20000+d3*30000+e1*5000+e2*4000+e3*4000

约束条件：

0≤a1≤50

0≤a2≤80

0≤a3≤50

0≤b1≤20

0≤b2≤1／4Cn

0≤c1≤An-b1

0≤c2≤Bn-b2

0≤c3≤Cn

0≤f1≤Bn-c2-b2

0≤f2+f3≤Cn-c3

0≤d1+d2+d3≤15

0≤e1≤5

0≤e2≤5

0≤e3≤5

An+1=（An-b1-c1）（1-10%）+a1（1-25%）+f1*50%+f2*50%+d1（1-25%）

Bn+1=（Bn-b2-c2）（1-5%）+a2（1-20%）+b1-f1+f3*50%+d2（1-20%）

Cn+1=（Cn-c3）（1-5%）+a3（1-10%）+b2-f2-f3+d3（1-10%）

单纯形法：

将a1、a2、a3、b1、b2、c1、c2、c3、d1、d2、d3、e1、e2、e3、f1、f2、f3分别用xj（j=1、2……17）表示。

即原目标函数可化为:

minM（x）=4000x4+5000x5+2000x6+5000x7+5000x8+15000x9+20000x10+30000x11+5000x12+4000x13+4000x14

约束条件:

0≤x1≤50

0≤x2≤80

0≤x3≤50

0≤x4≤20

0≤x5≤1／4Cn

0≤x6

0≤x7

0≤x8≤Cn

0≤x12≤5

0≤x13≤5

0≤x14≤5

0≤x15

x4+x6≤An

x5+x7≤Bn

x5+x7+x15≤Bn

-x16-x17≤0

x16+x17+x8≤Cn

-x9-x10-x11≤0

x9+x10+x11≤15

0.75x1-0.9x4-0.9x6+0.5x15+0.5x16+0.75x9=A（n+1）-0.9An

0.8x2+x4-0.95x5-0.95x7+0.8x10-x15+0.5x17=B（n+1）-0.95Bn

0.9x3+x5-0.95x8+0.9x11-x17=C（n+1）-0.95Cn

由以上条件根据matlab得出以下结果：

第一年（n=0）

第二年（n=1）

第三年（n=2）

0.0000

48.0407

80.0000

5.5556

50.0000

0.0000

13.0000

8.5000

0.0000

10.0000

12.5000

80.0000

27.0000

36.5000

0.0000

x10

0.0000

x11

0.0000

x12

0.0000

x13

0.0000

x14

0.0000

x15

40.9326

0.0000

x16

0.0000

x17

0.0000

Mi（x）

160000

156000

169500

根据第一问得出的结果可求出在辞员数最少的条件下，三年的支出分别为505000、535000、510000，共计1550000；而由第二问得出数据显示三年的支出分别为160000、156000、169500，共计485500；因此与上面的政策相比，可减少1064500。

同样由上表可知：

高级程序员和系统分析员三年中都不辞退，而程序员在三年中分别要辞退80、27、37人，共计144人，辞退的职员将会增加39人。

六．模型结果的分析检验误差分析

1、尽量减少辞退员工方案结果分析与检验

第一问的结果是高级程序员和系统分析员三年中都不辞退，而程序员在三年中分别要辞退60、20、25人，共计105人，由此可见，公司是比较喜欢高级人员的，公司在发展的过程中，必然会经历一个由低级到高级的进化，其对人员的需求也同样会是一个由低级到高级的转变，而在其过程中公司会培养一些忠诚的职员使其成为高级职员，因此，要使辞掉的人最少，培养的人数（20,20,20,；3,11,16）比较多，也表明了公司培养人员的决心；同时如果想辞退员工可以采用降等的变相手法，而其结果63,5,13人也是较为合理的人数；因此经检验，结果处在误差范围内，处于合理水平。

2、尽量减少总费用方案结果分析与检验

第二问的结果是三年的支出分别为160000、156000、169500，共计485500；因此与上面的政策相比，可减少1064500；高级程序员和系统分析员三年中都不辞退，而程序员在三年中分别要辞退80、27、37人，共计144人，辞退的职员将会增加39人。

由此可见人力资源调度在公司中的重要地位，他可以使公司减少巨额开支。

80,27,37的辞退人员数目也可以体现出该公司是尽量减少不必要的员工工资开支；而培训的人数0,13,8；0,10,13相对于第一问比较少，是因为培训会增大开支；以上结果也比较符合实际。

而与此同时公司还可以通过一些激励手段来鼓励员工以提高工作效率，甚至能够自费的去培训使其变为高级技术人员，也能够减少开支。

综上所述，本论文的结果与实际结果的误差在误差范围内，而造成辞退人数和公司开支误差有以下几种因素：

第一，意外事故（如，伤病，交通拥堵）导致的离职；第二，本计算方法涉及到matlab的迭代运算，而其参数有17个之多，因此，只能采用，整数规划的第一步结果作为近似结果；第三，没有考虑每个员工的实际能力不尽相同，其工作的完成程度也不同。

七．模型的评价

模型的优点：

第一，对于本题的诸多条件有一个良好的梳理，思路清晰，条理，约束条件虽然比较多，但是能够对其有一个较为适当的把握；第二，本题充分运用了单纯形法进行求解，过程也比较规范，容易理解；第三，求解的结果也比较符合常理；第四，matlab运用的较为熟练。

模型的缺点：

第一，由于本题是一个关于整数规划的问题，而其参数比较繁多，使用matlab运算过于庞大以致无法进行迭代，所以用其第一步的结果作为大致结果；第二，本题限于队员水平以及时间问题没能具体采用奖金制度在运算中体现，只是定性的进行分析；第三，本题也没有把意外事故导致的离职进行运算，也只是略作分析。

改进的方向：

采用更有效的整数规划方法（如，lingo）、考虑意外事故以及奖励等因素。

八．参考文献

【1】马莉，数学实验与建模，北京:

清华大学出版社，2010.1.

【2】FrankrR.GiodanoMauricD.WeirWilliamP.Fox

由叶其孝和姜启源等译，AFirstCourseInMathematicalModeling，beijing：

ChainMachinePress，2005.1。

【3】肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安:

西安工业大学出版社，2008.11

【4】蔡锁章，数学建模原理与方法，北京:

海军出版社，2006.6

九．附录

计算的中间结果和必要的计算程序：

第一问：

n=0第一年

f=[0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0];

A=[0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1;0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0];

B=[200;150;150;0;100;0;15];Ae=[0.75,0,0,-1,0,-1,0,0,0.75,0,0,0,0,0,0,0.5,0.5;0,0.8,0,1,-1,0,-1,0,0,0.8,0,0,0,0,-1,0,0.5;0,0,0.9,0,1,0,0,-1,0,0,0.9,0,0,0,0,0,-1];Be=[-80;-2.5;5];

xm=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];

xM=[50,80,50,20,25,Inf,Inf,100,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf,Inf];

[x,f]=linprog（f,A,B,Ae,Be,xm,xM）

Optimizationterminated.

0.0000

43.0782

0.1605

20.0000

2.5491

60.0000

0.0000

10.3956

2.5627

62.7299

0.0000

f=60.0000

n=1第二年

f=[0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0];

B=[100;140;140;0;100;0;15];Ae=[0.75,0,0,-1,0,-1,0,0,0.75,0,0,0,0,0,0,0.5,0.5;0,0.8,0,1,-1,0,-1,0,0,0.8,0,0,0,0,-1,0,0.5;0,0,0.9,0,1,0,0,-1,0,0,0.9,0,0,0,0,0,-1];Be=[-40;67;5

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