浙江省杭州市九年级数学中考复习中考数学十大专题模型突破Word文档格式.docx

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（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．

【提高检测】：

1.（2019•甘肃庆阳•3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是 .

2.（2019•山东潍坊•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝ ，DF＝5，则BC的长为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16

3.四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.

4.如图所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？

为什么？

5.（2019•湖北省荆门市•10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．

（1）求证：

＝2R；

（2）若△ABC中∠A＝45°

，∠B＝60°

，AC＝ ，求BC的长及sinC的值．

【专题2】垂径定理的性质与运用

【回归概念】

垂径定理：

垂径定理是数学几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：

垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

数学表达为：

如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。

称为知二推三。

1.平分弦所对的优弧；

2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：

平分弦所对的两条弧）；

3.平分弦（不是直径）；

4.垂直于弦；

5.过圆心。

【规律探索】

1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：

⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；

2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；

3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。

方法：

垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．

【典例解析】：

①用垂径定理求点的坐标

【例题1】

（2019•山东威海•3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°

，则点C的纵坐标为（ ）

A．+ B．2+C．4D．2+2

②巧用垂径定理解决最值问题（对称思想）

【例题2】如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD

⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．

③巧用垂径定理解决实际问题（建模思想）

【例题3】某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，

现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

【达标检测】

1.（2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？

”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：

锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.

2.（江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°

，∠BAC=20°

，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 ．

3.（2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°

，CD＝2，则⊙O的半径是 ．

4.（2019•浙江嘉兴•4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．

5.如图，在○o中，AB为互相垂直且相等的两条弦，CD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证四边形ADOE为正方形

6.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．

7.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝2.

（1）求AB的长；

（2）求⊙O的半径．

【专题3】二次函数解析式四种模型研究

【回归概念】1.一般式：

y=ax²

+bx+c（a、b、c是常数，a不等于0）。

已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式，列出三元一次方程组解答即可。

2.顶点式：

y=a（x-h）²

+k（a≠0,a、h、k为常数）。

顶点坐标为（h,k）；

对称轴为直线x=h；

顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²

的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

3.交点式（两根式）：

[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²

-4ac≥0]。

已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1,0）和B（x2,0）,我们可设y=a（x-x1）（x-x2）,然后把第三点代入x、y中便可求出a。

4.对称点式:

若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m）（x2、m）,则设成：

y=a（x－x1）（x－x2）+m（a≠0），再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。

【规律探寻】

求二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的解析式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的解析式，往往可以使解题过程简便．与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>

0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：

①当h>

0时，y=a（x-h）²

的图像可由抛物线y=ax²

向右平行移动h个单位得到；

②当h<

向左平行移动|h|个单位得到；

③当h>

0,k>

0时，将抛物线y=ax²

向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）²

+k的图象；

④当h>

0,k<

向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²

⑤当h<

向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）²

⑥当h<

向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²

+k的图象。

例题1：

已知抛物线的顶点坐标为（－2，4），且与x轴的一个交点坐标为（1，0），求抛物线对应的函数解析式．（用多种方法解）

例题2：

已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．

（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．

1.（2019•湖北省咸宁市•3分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）

A．y＝x B．y＝﹣C．y＝x2 D．y＝﹣x2

2.（2019•山东省济宁市•3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）

A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2

3.（2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）

A. B.C.D.

图1 图2

4.（2019•湖北天门•3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ．

5.已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（－4，0）两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数解析式．

6.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2.

（1）求S与x之间的函数解析式；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积

的最大值．

7.（2019•湖北省鄂州市•10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：

销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月

利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

x（元）

15

20

30

…

y（袋）

25

10

8.（2019▪贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：

9.

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？

每日销售的最大利润是多少元？

【专题4】角平分线模型探究

（一）定理：

角平分线定义（Anglebisectordefinition）

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。

三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。

（定义）

2·

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相

等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

（二）与角平分线相关的模型

1.角平分线+平行线—等腰三角形（见下图1）

2.过角平分线上的点作角两边的垂线（见下图2）

3.角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形（见下图3）

4.过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形（见下图4）

1.两个内角平分线的夹角：

三角形两内角的平分线的夹角等于90°

与第三个内角的一半的和。

2.一个内角平分线和一个外角平分线的夹角

三角形一内角与另外一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半。

3.两个外角平分线的夹角

三角形两个外角的平分线的夹角等于90°

与第三个内角的一半的差。

如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？

【例题2】已知：

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：

点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

1.（2018·

湖南省常德·

3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°

，AD=3，则CE的长为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

2.（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）

A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC

3.（2019•广西北部湾经济区•3分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°

，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）

A.40°

B.45°

C.50°

D.60°

4.（2018•山东枣庄•3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）

A．B．C．D．

5.（2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°

，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．

6.（2018•德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 ．

7.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．

8.如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;

AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.

（2）若△ABC的面积为32，求△ABC的周长.

9.（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，∠A=40°

，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

10.如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR

⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．

（1）求BP、CQ、AR的长．

（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：

OE=OF．

【专题5】全等三角形的常见模型研究

概念：

经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形[1]，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形是几何中全等之一。

[2]根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。

正常来说，验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边

（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。

规律：

全等三角形基本模型：

1.平移模型

2.对称模型

3.旋转模型

4.三垂直模型

5.一线三等角模型

构造全等三角形的一般方法1.题目中出现角平分线

（1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形

（2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。

（3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形

2.题目中出现中点或者中线（中位线）

（1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置

（2）过中点作某一条边的平行线3.题目中出现等腰或者等边三角形

（1）找中点，倍长中线

（2）过顶点作底边的垂线

（3）过某已知点作一条边的平行线

（4）三线合一

4.题目中出现三条线段之间的关系

通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。

这种方法，在证明多条线段的和、差、倍、分关系时，效果非常好。

5.题目中出现垂直平分线

把线段两端点与垂直平分线上的某点连接

6.某些特定题目中还可以使用旋转法、翻折法等。

】

（2019湖南益阳8分）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°

，∠D＝110°

，求证：

△ABC≌△EAD．

（2019，山东枣庄，10分）在△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°

，当∠AMN＝30°

，AB＝2时，求线段AM的长；

（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°

BE＝AF；

（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°

AB+AN＝AM．

1.（2018•四川成都•3分）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（ ）

A. B. C. D.

2.（2018•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙

3.（2019•山东临沂•3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF

＝3，则BD的长是（ ）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

4.（2018•广西桂林•3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°

得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）

A.3 B.C.D.

5.（2018·

湖北荆州·

3分）已知：

∠AOB，求作：

∠AOB的平分线．作法：

①以点O为圆心，适当

长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两

弧在∠AOB内部交于点C；

③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．

6.（2019•山东临沂•3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°

，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则

△ABC的面积是 ．

7.（2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．

8.如图，四边形AC