重点知识点梳理.docx
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重点知识点梳理
数学13种典型例题口诀及解析
1.正方体展开图
正方体有6个面，12条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有11种，11种展开图形又可以分为4种类型：
141型
中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。
231型
中间一行3个作侧面，共3种基本图形。
222型
中间两个面，只有1种基本图形。
33型
中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有1种基本图形。
2.和差问题
已知两数的和与差，求这两个数。
【口诀】：
和加上差，越加越大；
除以2，便是大的；
和减去差，越减越小；
除以2，便是小的。
例：
已知两数和是10，差是2，求这两个数。
按口诀，则大数=（10+2）/2=6，小数=（10-2）/2=4。
3.鸡兔同笼问题
【口诀】：
假设全是鸡，假设全是兔。
多了几只脚，少了几只足？
除以脚的差，便是鸡兔数。
例：
鸡免同笼，有头36，有脚120，求鸡兔数。
求兔时，假设全是鸡，则免子数=（120-36X2）/（4-2）=24
求鸡时，假设全是兔，则鸡数=（4X36-120）/（4-2）=12
4.浓度问题
（1）加水稀释
【口诀】：
加水先求糖，糖完求糖水。
糖水减糖水，便是加糖量。
例：
有20千克浓度为15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为10%？
加水先求糖，原来含糖为：
20X15%=3（千克）
糖完求糖水，含3千克糖在10%浓度下应有多少糖水，3/10%=30（千克）
糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，30-20=10（千克）
（2）加糖浓化
【口诀】：
加糖先求水，水完求糖水。
糖水减糖水，求出便解题。
例：
有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%？
加糖先求水，原来含水为：
20X（1-15%）=17（千克）
水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）
糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克）
5.路程问题
（1）相遇问题
【口诀】：
相遇那一刻，路程全走过。
除以速度和，就把时间得。
例：
甲乙两人从相距120千米的两地相向而行，甲的速度为40千米/小时，乙的速度为20千米/小时，多少时间相遇？
相遇那一刻，路程全走过。
即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。
除以速度和，就把时间得。
即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60（千米/小时），所以相遇的时间就为120/60=2（小时）
（2）追及问题
【口诀】：
慢鸟要先飞，快的随后追。
先走的路程，除以速度差，
时间就求对。
例：
姐弟二人从家里去镇上，姐姐步行速度为3千米/小时，先走2小时后，弟弟骑自行车出发速度6千米/小时，几时追上？
先走的路程，为3X2=6（千米）
速度的差，为6-3=3（千米/小时）。
所以追上的时间为：
6/3=2（小时）。
6.和比问题
已知整体求部分。
【口诀】：
家要众人合，分家有原则。
分母比数和，分子自己的。
和乘以比例，就是该得的。
例：
甲乙丙三数和为27，甲;乙:
丙=2:
3:
4,求甲乙丙三数。
分母比数和，即分母为：
2+3+4=9；
分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9，3/9，4/9。
和乘以比例，所以甲数为27X2/9=6，乙数为：
27X3/9=9，丙数为：
27X4/9=12。
7.差比问题（差倍问题）
【口诀】：
我的比你多，倍数是因果。
分子实际差，分母倍数差。
商是一倍的，
乘以各自的倍数，
两数便可求得。
例：
甲数比乙数大12，甲:
乙=7：
4，求两数。
先求一倍的量，12/（7-4）=4，
所以甲数为：
4X7=28，乙数为：
4X4=16。
8.工程问题
【口诀】：
工程总量设为1，
1除以时间就是工作效率。
单独做时工作效率是自己的，
一齐做时工作效率是众人的效率和。
1减去已经做的便是没有做的，
没有做的除以工作效率就是结果。
例：
一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。
甲乙同时做2天后，由乙单独做，几天完成？
[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）
9.植树问题
【口诀】：
植树多少颗，
要问路如何？
直的减去1，
圆的是结果。
例1：
在一条长为120米的马路上植树，间距为4米，植树多少颗？
路是直的。
所以植树120/4-1=29（颗）。
例2：
在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少颗？
路是圆的，所以植树120/4=30（颗）。
10.盈亏问题
【口诀】：
全盈全亏，大的减去小的；
一盈一亏，盈亏加在一起。
除以分配的差，
结果就是分配的东西或者是人。
例1：
小朋友分桃子，每人10个少9个；每人8个多7个。
求有多少小朋友多少桃子？
一盈一亏，则公式为：
（9+7）/（10-8）=8（人），相应桃子为8X10-9=71（个）
例2：
士兵背子弹。
每人45发则多680发；每人50发则多200发，多少士兵多少子弹？
全盈问题。
大的减去小的，则公式为：
（680-200）/（50-45）=96（人）则子弹为96X50+200=5000（发）。
例3：
学生发书。
每人10本则差90本；每人8本则差8本，多少学生多少书？
全亏问题。
大的减去小的。
则公式为：
（90-8）/（10-8）=41（人），相应书为41X10-90=320（本）
11.牛吃草问题
【口诀】：
每牛每天的吃草量假设是份数1，
A头B天的吃草量算出是几？
M头N天的吃草量又是几？
大的减去小的，除以二者对应的天数的差值，
结果就是草的生长速率。
原有的草量依此反推。
公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
将未知吃草量的牛分为两个部分：
一小部分先吃新草，个数就是草的比率；
有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。
例：
整个牧场上草长得一样密，一样快。
27头牛6天可以把草吃完；23头牛9天也可以把草吃完。
问21头多少天把草吃完。
每牛每天的吃草量假设是1，则27头牛6天的吃草量是27X6=162，23头牛9天的吃草量是23X9=207；
大的减去小的，207-162=45；二者对应的天数的差值，是9-6=3（天）
结果就是草的生长速率。
所以草的生长速率是45/3=15（牛/天）；
原有的草量依此反推。
公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。
将未知吃草量的牛分为两个部分：
一小部分先吃新草，个数就是草的比率；
这就是说将要求的21头牛分为两部分，一部分15头牛吃新生的草；
剩下的21-15=6去吃原有的草，
所以所求的天数为：
原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）
12.年龄问题
【口诀】：
岁差不会变，同时相加减。
岁数一改变，倍数也改变。
抓住这三点，一切都简单。
例1：
小军今年8岁，爸爸今年34岁，几年后，爸爸的年龄的小军的3倍？
岁差不会变，今年的岁数差点34-8=26，到几年后仍然不会变。
已知差及倍数，转化为差比问题。
26/（3-1）=13，几年后爸爸的年龄是13X3=39岁，小军的年龄是13X1=13岁，所以应该是5年后。
例2：
姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数的和是40岁时，两人各应该是多少岁？
岁差不会变，今年的岁数差13-9=4几年后也不会改变。
几年后岁数和是40，岁数差是4，转化为和差问题。
则几年后，姐姐的岁数：
（40+4）/2=22，弟弟的岁数：
（40-4）/2=18，所以答案是9年后。
13.余数问题
【口诀】：
余数有（N-1）个，最小的是1，最大的是（N-1）。
周期性变化时，不要看商，只要看余。
例：
如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是几点钟？
分针旋转一圈是1小时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。
1980/24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈，分针向前旋转22个圈相当于时针向前走22个小时，时针向前走22小时，也相当于向后24-22=2个小时，即相当于时针向后拔了2小时。
即时针相当于是18-2=16（点）。
名称
含义（方法）
棱
两个面相交的边叫棱
顶点
三条棱相交的点叫做顶点
长方体的长宽高
相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长宽高
特殊长方体
长宽高都相等的长方体叫立方体
体积的概念
物体所占空间的大小叫做物体的体积
体积单位
立方米.立方厘米.立方分米
长方体的体积
长×宽×高=abh
立方体的体积
棱长×棱长×棱长=aaa
通用的体积求法
底面积×高＝sh
体积单位换算
1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米
容积单位换算
1升＝1000毫升1升＝1立方分米1毫升＝1立方厘米
约数
一个数最小的约数是1一个数最大的约数是它本身一个数的约数个数是有限的
倍数
一个数最小的倍数是它本身一个数没有最大的倍数一个数的倍数个数是无限的
能被二整除的数
个位是:
0，2，4，6，8
奇数
不能被二整除的数叫做奇数
偶数
能被二整除的数叫做偶数
能被五整除的数
个位是:
0，5
能被三整除的数
一个数各个数位上的数字的和能被三整除
素数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数
合数
一个数除了1和它本身，还有别的约数，更多学习资料请关注ABC微课堂
质因数
一个和数可以写成几个素数相乘的形式，每个素数叫做这个和数之质因数
分解质因数
把一个和数用质因数相乘的形式表现出来叫做分解质因数
最大公约数
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数
互质数
公约数只有1的两个数叫互质数
约数时的最大公约数
小数是大数的约数，小数就是这两个数的最大公约数
互质数最大公约数
两个数是互质数，它们最大公约数是1
最小公倍数
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数
分数大小的比较
分子相同的两个数分母小的那个数比较大，分母相同的两个数分子大的那个数比较大
假分数
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于或等于1
带分数
一个整数和一个真分数合成的数叫带分数
分数的基本性质
分母或分子同时扩大或缩小相同的倍数分数的大小不变
约分
把一个分数的分子和分母同时除以它们的公约数（1除外）化成和原来分数相等的分数
通分
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数
同分母加减法
只把分子相加减分母不变
异分母加减法
先通分然后按照同分母加减法进行计算
带分数加减法
整数部分和分数部分分别相加减再把所得数合并起来
计算顺序
在一个算式里只有加减法或只有乘除法从左往右依次计算
在一个算式里有加减法又有乘除法先算乘除法再算加减法有括号的先算括号里的
有括号的算式
有括号的算式要先算小括号里的运算再算中括号里的
什么加加法
把两个数合并成一个数的运算叫加法
什么叫减法
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算方法
关系式
单价×数量＝总价速度×时间＝路程工作效率×工作时间＝工作总量本金×利率×时间＝利息保险金额×保险费率×保险时间＝保险费
应纳税收入×税率＝应缴税款
商不变的性质
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变
什么叫乘法
求几个相同加数的简便运算叫乘法
什么叫除法
已知两个因数的积与其中一个因数求另一因数的运算叫除法
面积单位
平方米，平方厘米，平方分米
长方形面积
长×宽=ab
正方形面积
边长×边长＝aa
面积单位换算
1平方分米＝100平方厘米
1平方米＝100平方分米
长方形
长方形的对边相等，四个角都是直角
正方形
正方形的四条边都相等，四个角都是直角
长方形周长
（长+宽）×2＝（a+b）×2
正方形周长
边长×4＝a×4
长度单位换算
1千米＝1000米1分米＝10厘米
1米＝10分米＝100厘米1厘米＝10毫米
重量单位换算
1吨＝1000千克1千克＝1000克
小数的四则混合运算
小数的四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序相同
土地面积单位换算
平方千米100公顷1000平方米100平方分米100平方厘米
平行四边形面积
底×高＝ab
三角形面积
底×高÷2＝ab÷2
梯形面积
（上底+下底）×高÷2＝（a+b）×h÷2
什么叫方程
含有未知数的等式
什么叫方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值
什么叫解方程
求方程的解的过程叫解方程
什么叫百分比
表示一个数的百分之几的数叫做百分数
百分数的写法
用带有百分号“％”的数来表示
小数化百分数
只要把小数点向右移动两位，在最后添上百分号就行了
百分数化小数
只要把百分号去掉小数点向左移动两位
百分数化分数
把百分数改写成分母是100的分数，再把能约分的约成最简分数
分数乘整数
用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变
分数乘分数
用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母
分数乘带分数
先把带分数化成假分数，然后按照分数乘法的法则进行计算
分数乘小数
先把小数化成分数后再计算
分数除法
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一因数的运算
整数除分数的方法
整数乘这个分数的倒数
分数除以带分数
先把带分数化成假分数然后计算
小数除以分数
一般把小数化成分数再计算
小数分数四则混合运算顺序
与整数四则混合运算顺序相同
什么叫圆心
圆的最中心一点叫圆心
什么叫半径
圆心到圆上任意一点的线段叫做半径用字母R表示
什么叫直径
通过圆心并且两端都在圆心上的线段叫做直径用字母D表示
直径与半径的关系
d=2rr=d/2
π
圆的周长是直径的三倍多一点这是一个固定的数，叫π＝3.14
圆周长
直径×π
圆面积
π×半径×半径
如何区分闰年
公历年份是四的倍数的都是闰年，公历年份是整百数时必须是四百的倍数才是闰年
直线
直线可以无限延长
线段
线段是直线上两点间的一段
射线
一端可以无限延长并且只有一个端点
什么叫锐角
小于90度的角叫锐角
什么叫钝角
大于90度而小于180度的角叫钝角
什么叫平角
当角的两边方向相反成一条直线时这样的角叫做平角
平角＝180度
什么叫周角
角的一边绕它的顶点旋转一周所成的角叫做周角周角＝360度
什么叫四边形
四条线段围成的图形叫四边形
什么叫平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形的底和高
每组对边之间的距离叫做平行四边形的高，和高垂直的对边叫做平行四边形的底
特殊的平行四边形
长方形和正方形的两组对边也分别平行，它们是特殊的平行四边形
什么叫三角形
三条线段围成图形叫三角形围成三角形的每条线段叫三角形的边每两条线段的交点叫三角形的顶点
三角形的特性
三角形的特性是稳定性
锐角三角形
三个角都是锐角的三角形
钝角三角形
有一个角是钝角的三角形
直角三角形
有一个角是直角的三角形
等腰三角形
两条边相等的三角形
等边三角形
三条边相等的三角形叫等边三角形又叫正三角形
三角形的高和底
从三角形的一个角的顶点向它的对边画一条垂线，顶点到垂足间的线段叫三角形的高，这个角的对边叫三角形的底
什么叫梯形
只有一组对边平行的四边形叫梯形
什么叫等腰梯形
两腰相等的梯形叫等腰梯形
什么叫分数
把物体平均分成几分取其中的1份或几分叫分数
小数的基本性质
小数的末尾添上0或者去掉0小数的大小不变
小数点位置的移动引起小数大小的变化（扩大）
小数点向右移动一位，原来的数扩大10倍，小数点向右移动二位，原来的数扩大100倍，小数点向右移动三位，原来的数扩大1000倍
小数点位置的移动引起小数大小的变化（缩小）
小数点向左移动一位，原来的数缩小10倍，小数点向左移动二位，原来的数缩小100倍，小数点向左移动三位，原来的数缩小1000倍
有余数的除法
计算有余数的除法余数一定要比除数小
圆柱体体积
底面积×高＝SH
圆锥体体积
1/3×等底等高的圆柱体体积＝1/3SH
条形统计图
条形统计图可以容易看出各种数量的多少
折线统计图
不但容易看出各种数量的多少还可以清楚的表示出数量的增减变化情况
比
比的前项相当于被除数、相当于分子；比的后项相当于除数、相当于分母，比值相当于商、相当于分数值
比的基本性质
比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数比值不变
比例尺
图上距离÷实际距离＝比例尺图上距离/比例尺＝实际距离图上距离＝实际距离÷比例尺
什么叫比例式
表示两个比相等的式子叫比例式，组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两个项叫做外项，中间的两项叫做内项
比例的基本性质
两个内项积等于两个外项积
什么叫解比例
求比例中的未知项叫解比例
正比例
路程/时间＝速度（一定）总价/数量＝单价（一定）
生产的数量/生产的时间＝生产效率
反比例
X×Y=K（一定）
等体积等高
圆锥的底面积是圆柱的三倍圆柱的底面积是圆锥的1/3
等体积等面积
圆锥的高是圆柱的的三倍圆柱的高是圆锥的1/3
等高的圆锥和圆柱
圆柱的体积等于圆锥的三倍圆柱的体积比圆锥的体积大2倍圆锥体积等于圆柱体积的1/3圆锥体积比圆柱体积少2/3
圆柱体侧面积
S侧＝CH
C=π×直径＝2×π×R
圆柱体表面积
S表＝S侧＋2S底
圆柱体底面积
S底＝π×R×R
圆柱体半径（r）
R＝D/2R=C/2×π
圆柱体体积
V=SH
圆环
S圆环＝π×（R×R－r×r）
π
π=圆周率
立方体表面积
棱长×棱长×6＝a×a×6
长方体地表面积
（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
＝（A×B+A×H+B×H）×2
加法交换律
a+b=b+a
加法结合律
（a+b）-c=a-（b+c）
减法的性质
a-b-c=a-（b+c）
乘法交换率
a×b=b×a
乘法结合律
（a×b）×c=a×（b×a）
乘法分配律
（a+b）×c=a×c+b×c
【期末复习】六年级数学知识要点
1.分数乘法：
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
2.分数乘法的计算法则
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
但分子分母不能为零.。
3.分数乘法意义
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。
4.分数乘整数：
数形结合、转化化归
5.倒数：
乘积是1的两个数叫做互为倒数。
6.分数的倒数
找一个分数的倒数，例如3/4 把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。
则是4/3。
3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。
7.整数的倒数
找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。
则是1/12，12是1/12的倒数。
8.小数的倒数
普通算法：
找一个小数的倒数，例如0.25，把0.25化成分数，即1/4，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。
则是4/1
9.用1计算法：
也可以用1去除以这个数，例如0.25，1/0.25等于4，所以0.25的倒数4，因为乘积是1的两个数互为倒数。
分数、整数也都使用这种规律。
10.分数除法：
分数除法是分数乘法的逆运算。
11.分数除法计算法则：
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
12.分数除法的意义：
与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。
13.分数除法应用题：
先找单位1。
单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。
14.比和比例：
比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：
比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：
a:
b）；比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：
a:
b=c:
d）。
所以，比和比例的联系就可以说成是：
比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。
表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。
比例有4项,前项后项各2个.
15.比的基本性质：
比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。
比值不变。
比的性质用于化简比。
比表示两个数相除；只有两个项：
比的前项和后项。
比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：
两个外项和两个内项。
16.比例的性质：
在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。
比例的性质用于解比例。
17.比和比例的区别
（1）意义、项数、各部分名称不同。
比表示两个数相除；只有两个项：
比的前项和后项。
如：
a:
b这是比比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：
两个外项和两个内项。
a:
b=3:
4这是比例。
（2）比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。
比的性质：
比的前项和后项都乘或除以一个不为零的数。
比值不变。
比例的性质：
在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积相等。
比例的性质用于解比例。
联系：
比例是由两个相等的比组成。
18.比和比例的意义
比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的式子是叫做比例。
比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。
因此，比和比例的意义也有所不同。
而且，比号没有括号的含义而另一种形式，分数有括号的含义！
19.比和比例的联系：
比和比例有着密切联系。
比是研究两个量之间的关系，所以它有两项；比例是研究相关联的两种量中两组相对应数的关系，所以比例是由四项组成。
比例是由比组成的，如果没有两种量的比，比例就不会存在。
比例是比的发展，如果把比例式中右边的比看成一个数，比和比例此时又可以统一起来。
如果两个比相等，那么这两个比就可以组成比例。
成比例的两个比的比值一定相等。
20.圆：
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
21.圆心：
圆任意两条对称轴的交点为圆心。
注：
圆心一般符号O表示
22.直径：
通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
23.半径：
连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：
直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
24.圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
25.圆周率：
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
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