相似三角形与圆的综合题资料.docx

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相似三角形与圆的综合题资料

相似三角形与圆的综合考题

1、已知：

如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G．

求证：

BG•AG=DF•DA．

2、已知：

如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：

DE为⊙O的切线．

（2）求证：

AB：

AC=BF：

DF．

3、（南通）已知：

如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．

（1）求证：

∠ADE=∠B；

（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：

FD•DA=FO•DE．

4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．

（1）直接写出AE与BC的位置关系；

（2）求证：

△BCG∽△ACE；

（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．

5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？

（3）在

（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？

（3）在

（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；

（1）求证：

AE是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：

DM=MF．

8、已知：

如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。

过点D作DE⊥

AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。

求证：

（1）EF是⊙O的切线；

（2）△OBF∽△DEC。

9、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O

切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：

BE与⊙O相切；

（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB＝6，且sin∠ABC＝

，求BF的长．

10、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。

（1）求证：

DE是⊙O的切线； 

（2）若

，求

的值；

（3）在

（2）的条件下，若⊙O直径为10，求△EFD的面积．

11、已知：

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．

求证：

（1）DE为⊙O的切线．

（2）AB•DF=AC•BF．

12、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．

（1）求证：

EF是⊙O的切线；

（2）若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积．

13、知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且

，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G。

（1）求证：

CE2=FG·FB；

（2）若tan∠CBF=

，AE=3，求⊙O的直径。

14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.

求证：

①AE∥BD；②AD2=DF·AE

15、已知：

□ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点.

求证：

ET=ED

16、如图，△ABC中，AB=AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D.

求证：

（1）∠DAC=2∠B；

（2）CA2=CD·CO

相似三角形与圆的综合考题（教师版）

1、已知：

如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G．

求证：

BG•AG=DF•DA．

证明：

连接BC，FC，CO，

∵过E作⊙O的切线ED，

∴∠DCF=∠CAD，

∠D=∠D，

∴△CDF∽△ADC，

∴

=

，

∴CD2=AD×DF，

∵CG⊥AB，AB为直径，

∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，

∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，

∴∠GBC=∠ACG，

∴△BGC∽△CGA，

∴

=

，∴CG2=BG×AG，

∵过E作⊙O的切线ED，∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，∴CO∥AD，

∴∠OCA=∠CAD，

∵AO=CO，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OAC=∠CAD，

在△AGC和△ADC中，

，

∴△AGC≌△ADC（AAS），

∴CG=CD，

∴BG×AG=AD×DF．  

2、已知：

如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：

DE为⊙O的切线．

（2）求证：

AB：

AC=BF：

DF．

3、（南通）已知：

如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．

（1）求证：

∠ADE=∠B；

（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：

FD•DA=FO•DE．

解：

（1）方法一：

证明：

连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．

又∵AB=AC，

∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD．

∴∠ODA=∠DAE=∠OAD．

∵∠ADE+∠DAE=90°，

∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE．

∵OD是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线．

∴∠ADE=∠B．

方法二：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，又DE⊥AC，

∴∠DEA=90°，

∴∠ADB=∠DEA，

∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．

∴△DAE∽△BAD．

∴∠ADE=∠B．

（2）证明：

∵OF∥AD，

∴∠F=∠ADE．

又∵∠DEA=∠FDO（已证），

∴△FDO∽△DEA．

∴FD：

DE=FO：

DA，即FD•DA=FO•DE．

点评：

本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；

（2）题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明．  

4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，

BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．

（1）直接写出AE与BC的位置关系；

（2）求证：

△BCG∽△ACE；

（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．

解：

（1）如图1，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°．

∴AE⊥BC．

（2）如图1，

∵BF与⊙O相切，

∴∠ABF=90°．

∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE．

∵∠BAF=2∠CBF．

∴∠BAF=2∠BAE．

∴∠BAE=∠CAE．

∴∠CBF=∠CAE．

∵CG⊥BF，AE⊥BC，

∴∠CGB=∠AEC=90°．

∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，

∴△BCG∽△ACE．

（3）连接BD，如图2所示．

∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，

∴∠DBE=∠CBF．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∴BD⊥AF．

∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，

∴CD=CG．

∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，

∴tan∠F=

=CG=tan60°=

∵CG=

，

∴CD=

．

∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，

∴∠BAF=30°．

∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，

∴AB=2BD．

∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，

∴∠ABE=∠ACE．

∴AB=AC．

设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r．

∵∠ADB=90°，

∴AD=

r．

∴DC=AC-AD=2r-

r=（2-

）r=

．

∴r=2

+3．

∴⊙O的半径长为2

+3．  

解析：

（1）由AB为⊙O的直径即可得到AE与BC垂直．

（2）易证∠CBF=∠BAE，再结合条件∠BAF=2∠CBF就可证到∠CBF=∠CAE，易证∠CGB=∠AEC，从而证到△BCG∽△ACE．

（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG=

；连接BD，容易证到∠DBC=∠CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=

；设圆O的半径为r，易证AC=AB，∠BAD=30°，从而得到AC=2r，AD=

r，由DC=AC-AD=

可求出⊙O的半径长．

5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？

（3）在

（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

分析：

（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．

（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．

（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．

解答：

（1）证明：

连接OC．

∵PC=PF，OA=OC，

∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，

∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，

∴∠AHF=90°，

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，

∴PC是⊙O的切线．

（2）解：

点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：

连接AE．

∵点D在劣弧AC中点位置，

∴∠DAF=∠DEA，

∵∠ADE=∠ADE，

∴△DAF∽△DEA，

∴AD：

ED=FD：

AD，

∴AD2=DE•DF．

（3）解：

连接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，

∴OA=3，即可得OD=3，

∴DH=

=

=2

．

∵点D在劣弧AC中点位置，

∴AC⊥DO，

∴∠OGA=∠OHD=90°，

在△OGA和△OHD中，

，

∴△OGA≌△OHD（AAS），

∴AG=DH，

∴AC=4

．

点评：

本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质．  

6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？

（3）在

（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

（1）证明：

连接OC．

∵PC=PF，OA=OC，

∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，

∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，

∴∠AHF=90°，

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，

∴PC是⊙O的切线．

（2）解：

点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：

连接AE．

∵点D在劣弧AC中点位置，

∴∠DAF=∠DEA，

∵∠ADE=∠ADE，

∴△DAF∽△DEA，

∴AD：

ED=FD：

AD，

∴AD2=DE•DF．

（3）解：

连接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，

∴OA=3，即可得OD=3，

∴DH=

=

=2

．

∵点D在劣弧AC中点位置，

∴AC⊥DO，

∴∠OGA=∠OHD=90°，

在△OGA和△OHD中，

，

∴△OGA≌△OHD（AAS），

∴AG=DH，

∴AC=4

．  

解析：

（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．

（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．

（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长。

7、如图，AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；

（1）求证：

AE是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：

DM=MF．

证明：

（1）连接OD，OE，

∵CB、CD分别切⊙O于B、D两点，

∴∠ODE=90°，CD=CE，

∵CE=AE+BC，CE=CD+DE，

∴AE=DE，

∵OD=OA，OE=OE，

∴△ODE≌△OAE（SSS），

∴∠OAE=∠ODE=90°，

∴OA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（2）∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB，

∴AE∥DF∥BC，

∴△BMF∽△BEA，

∴

，

∴

，

∴

∵△EDM∽△ECB，

∴

，

∴

，

∴DM=MF．  

解析：

（1）首先连接OD，OE，由CB、CD分别切⊙O于B、D两点，即可得∠ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可证得AE=DE，则可得△ODE≌△OAE，即可证得AE是⊙O的切线；

（2）首先易证得AE∥DF∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF．

8、已知：

如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。

过点D作DE⊥

AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。

求证：

（1）EF是⊙O的切线；

（2）△OBF∽△DEC。

证明：

（1）连结OD，

   ∵AB是⊙O的直径，

   ∴OA=OB，

   又∵CD=BD，

   ∴OD∥AC，

  ∵DE⊥AC，

  ∴∠DEC=90°，∠ODE=90°，

  ∵点D是⊙O上一点，

  ∴EF是⊙O的切线。

（2）∵BF⊥AB，AB是⊙O的直径，

   ∴BF是⊙O的切线，

   ∵EF是⊙O的切线，

   ∴∠BFO=∠DFO，FB=FD，

  ∴OF⊥BD，

  ∵∠FDB=∠CDE，

  ∴∠OFD=∠C，

  ∴∠C=∠OFB，

  又∵∠CED=∠FBO=90°，

  ∴△OBF∽△DEC。

9、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O

切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：

BE与⊙O相切；

（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB＝6，且sin∠ABC＝

，求BF的长．

解：

（1）连结CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共，

∴△OCE≌△OBE（SAS）

∴∠OCE＝∠OBE，

又CE是切线，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE与⊙O相切

（2）备用图中，作DH⊥OB于H，H为垂足，

∵在Rt△ODB中，OB＝6，且sin∠ABC＝

，∴OD＝4，

同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝

，OH＝

又∵Rt△ABF∽Rt△AHD，∴FB︰DH＝AB︰AH，

∴FB＝

考点：

切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。

点评：

熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。

但解法不唯一，属于中档题。

10、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。

（1）求证：

DE是⊙O的切线； 

（2）若

，求

的值；

（3）在

（2）的条件下，若⊙O直径为10，求△EFD的面积．

试题分析：

（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；

（2）先由

（1）得OD∥AE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案；

（3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可.

（1）连接OD

因为OA="OD" 

所以∠OAD=∠ODA 

又已知∠OAD=∠DAE 

可得∠ODA=∠DAE，

所以OD‖AC，

又已知DE⊥AC

可得DE⊥OD 

所以DE是⊙O的切线；

（2）由

（1）得OD∥AE，

（3）

考点：

圆的综合题

点评：

此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.

11、已知：

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．

求证：

（1）DE为⊙O的切线．

（2）AB•DF=AC•BF．

证明：

（1）如图，连接OD、AD．

∵OD=OA，

∴∠2=∠3，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

∴∠CDA=90°．

又∵E是边AC的中点，

∴DE=AE=

AC，

∴∠1=∠4，

∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°．

又∵AB是⊙O的直径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）如图，∵AB⊥AC，AD⊥BC，

∴∠3=∠C（同角的余角相等）．

又∵∠ADB=∠CDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴

易证△FAD∽△FDB，

∴

，

∴

，

∴AB•DF=AC•BF．  

解析：

（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，点E为AC中点，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定即可；

（2）证△ABD∽△CAD，推出

，再证△FAD∽△FDB，推出

，得

，即可得出AB•DF=AC•BF．

12、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．

（1）求证：

EF是⊙O的切线；

（2）若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积．

解：

（1）连接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴∠DEA=90°，

∴∠ODF=∠DEA=90°，

∵OD是半径，

∴EF是⊙O的切线．

（2）∵AB为⊙O的直径，DE⊥AC，

∴∠BDA=∠DEA=90°，

∵∠BAD=∠CAD，

∴△BAD∽△DAE，

∴

，

即

，

∴AD=2

，

∴cos∠BAD=

，

∴∠BAD=30°，∠BOD=2∠BAD=60°，

∴BD=

AB=2，

∴S△BOD=

S△ABD=

×

×2

×2=

，

∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD=

解析：

（1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可；

（2）证△BAD∽△DAE，求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和△BOD的面积，相减即可．

13、知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且

，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G。

（1）求证：

CE2=FG·FB；

（2）若tan∠CBF=

，AE=3，求⊙O的直径。

解：

（1）证明：

连结AC，

∵AB为直径，∠ACB=90°，

∵

，且AB是直径，

∴AB⊥CD即CE是Rt△ABC的高，

∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC，

∵CE是⊙O的切线，

∴∠FCB=∠A，CF2=FG·FB，

∴∠FCB=∠ECB，

∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，

∴△BCF≌△BCE，

∴CE=CF，∠FBC=∠CBE，

∴CE2=FG·FB；

（2）∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，

∴∠ACE=∠CBF，

∴tan∠CBF=tan∠ACE=

=

，

∵AE=3，

∴

CE=6，

在Rt△ABC中，CE是高，

∴CE2=AE·EB，即62=3EB，

∴EB=12，

∴⊙O的直径为：

12+3=15。

14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E.

求证：

①AE∥BD；②AD2=DF·AE

证明：

①∵AE为圆的切线，

∴∠EAB=∠ACE（弦切角等于夹弧所对的圆周角），

∵CA为∠BCD的平分线，

∴∠ACE=∠ACD，

∵∠ABD=∠ACD，

∴∠EAB=∠ABD，

∴AE∥BD；

②∵AE∥BD，

∴∠AEC=∠DBC，

∵∠DBC=∠DAC，

∴∠AEC=∠DAC，

∵∠EAB=∠ADB（弦切角等于夹弧所对的圆周角），

∴△ABE∽△DFA，

∴

∵∠ACE=∠ACD，

∴

∴AD=AB，

则AD•AB=AD2=AE•DF．

15、已知：

□ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点.

求证：

ET=ED

证明：

因为四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠EAD=∠ECF

∠EDA=∠EFC

∴△AED∽△CEF（AA）

∴

∵AB平行DC

∴∠EAG=∠ECD

∠G=∠EDC

∴△AEG∽△CED（AA）

∴

∴

∵ET与⊙O相切于点T

∴

∴

∴

16、如图，△ABC中，AB=AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D.

求证：

（1）∠DAC=2∠B；

（2）CA2=CD·CO

证明：

（1）如图,由已知△ABC中,AB=AC

得 △ABC为等腰三角形,∠B=∠ACB

外角∠1=∠B+