05投资组合理论Word文档格式.doc
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4）充满整个坐标平面，表明无差异曲线系统是对投资者满足程度或效用的完全反映；
5）左上方的无差异曲线比右下方的无差异曲线给投资者带来的满足程度或效用更大。
5.1.3风险厌恶程度与无差异曲线
一般情况下，无差异曲线越陡峭表明风险越大，投资者要求的边际收益补偿也越大，但不同投资者厌恶风险的程度不同，也就有着不同的无差异曲线族。
下图表示了高风险厌恶者、中等风险厌恶者、轻微风险厌恶者的无差异曲线族。
高度风险厌恶者中等风险厌恶者轻微风险厌恶者
在某些极端的情况下，有些投资者只关心风险，风险越小越好，对预期收益毫不在意，这类投资者的无差异曲线是一族直线，而另一类投资者对风险毫不在意，只关心预期收益，收益越高越好，这类投资者的无差异曲线是一族水平线。
只关心风险的投资者只关心预期收益的投资者
5.1.4风险厌恶与效用价值
风险厌恶型的投资者会放弃公平博弈或更糟的投资组合，他们更愿意考虑无风险资产或正风险溢价的投机性投资。
在众多风险大小不同的投资组合中进行选择会面临一些问题，如下面的例子所示。
假定无风险利率为5%，投资者面对的三种不同投资组合的风险溢价、期望收益和标准差如下表所示。
表中投资组合的风险溢价和风险程度分别用来表示低风险债券（L）、中等风险债券（M）和高风险债券（H）的特征。
相应的，这些投资组合提供了高的风险溢价来补偿高的风险。
在这三者中投资者会如何选择呢？
投资组合
风险溢价（%）
期望收益（%）
风险（SD）（%）
低风险债券（L）
2
7
5
中等风险债券（M）
4
9
10
高风险债券（H）
8
13
20
为许多金融理论者和CFA机构采用的投资组合的效用评价方法如下，如果期望收益为E（r），收益标准差为σ，效用值为：
其中U表示效用值，A为投资者的风险厌恶系数。
根据这一公式，效用会随着期望收益的增加和风险的减少而增长，无风险的投资组合的效用值等于其收益率。
效用的程度取决于投资者的风险厌恶系数，投资者对风险厌恶程度越高，对有风险的投资就越谨慎。
给定三个投资者，风险厌恶程度分别为2、3.5和5，都对上表中的投资组合进行评估，结果如下，表中每个投资者赋予最高效用值的投资组合用黑体表示。
注意到最高风险的投资组合只被风险厌恶程度最低（为2）的投资者所选择，但最低风险的投资者组合L被拥有最高风险厌恶系统的投资者忽略了。
投资者风险厌恶系数A
投资组合L的效用值
投资组合M的效用值
投资组合H的效用值
E（r）=0.07，σ=0.05
E（r）=0.09，σ=0.10
E（r）=0.13，σ=0.20
0.07-1/2×
2×
0.052=0.0675
0.09-1/2×
0.12=0.0800
0.13-1/2×
0.22=0.09
3.5
3.5×
0.052=0.0656
0.12=0.0725
0.22=0.06
5×
0.052=0.0638
0.12=0.0650
0.22=0.03
风险厌恶、期望效用与圣彼得堡悖论
风险厌恶作为投资决策中心观点的看法至少可追溯到1783年。
著名数学家丹尼尔·
伯努利于1725~1733年在圣彼得堡研究了下面的投币游戏。
首先，参加这个游戏要先付门票，然后抛硬币直到第一个正面出现时为止。
在此之前，反面出现的次数用n表示，用来计算参加者的赔付中奖R。
对于参加者有：
。
在第一个正面出现之前反面一次也没出现的概率（n=0）是1/2，相应的报酬为20=1美元。
出现一次反面才出现正面的概率（n=1）是1/2×
1/2，报酬为21=2美元，出现两次反面才出现正面的概率（n=2）是1/2×
1/2×
1/2，依次类推，各种结果的概率与报酬如下表。
反面
概率
报酬
概率×
1/2
1
1/4
1/8
3
1/16
…
n
（1/2）n+1
2n
所以，预期报酬为：
该游戏就是所谓的圣彼得堡悖论。
尽管期望报酬是无限的，但显然参加者是愿意用有限价格买票玩这个游戏的，而且买票可能是相当合适的，只是入门费而已。
伯努利从效用的角度解决了悖论问题，他发现投资者对所有报酬的每个美元赋予的价值是不同的。
特别是，他们的财富越多，对每个额外增加的美元赋予的评价价值就越少。
可以用数学方法精确的给拥有各种财富水平的投资者一个福利值或效用值。
随着财富的增加效用函数值也相应增大，但是财富每增加1美元所增加的效用逐渐减少（即边际效用递减）。
一个特殊的函数ln（R）分配给报酬为R美元的投资者一个主观的价值，报酬越多，每个美元的价值就越小。
如果以这个函数衡量财富的效用值，那么这个游戏的主观效用值确实是有限的，等于0.693，即：
获得该效用值所必须的财富为2美元，因为ln
（2）=0.693，因此风险报酬的确定等价物为2美元，也是投资者愿意为游戏付出的最高价钱。
评估自己的风险容忍度
1、在你将资金投资60天之后，其价格下跌了20%。
假设其他情况都不变，你会怎么做？
A卖掉，以避免更大的担忧，并再试试其他项目
B什么也不做，等待投资收回
C继续买入。
这正是投资的好机会，同时现在它也是便宜的投资。
2、现在换个角度看上面的问题。
你的投资下跌了20%，但它是投资组合的一部分，用来在三个不同的时间段上达到投资目标。
1）如果投资目标是5年以后，你怎么做？
A抛出 B什么也不做 C继续买入
2）如果投资目标是15年以后，你怎么做？
3）如果投资目标是30年以后，你怎么做？
3、你的退休基金在买入一个月后，价格上涨了25%，而且基本条件没有变化。
在你心满意足之后，你会怎么做？
A抛出，锁定你的收入
B保持卖方期权并期待更高的收益
C继续买入，它可能还会上涨
4、你投资了养老保险，投资期限在15年以上。
你更愿意怎么做？
A投资于货币市场基金或保证收益的投资合约，放弃可能得到的主要资本利得，重点保证本金的安全
B一半投入债券基金，一半投入股票基金，希望在有些增长的同时，也能使自己拥有固定收入的保障
C投资于激进型的共同基金，它的价值在年内可能会有大幅波动，但在5年或10年后有巨额收益的潜力
5、你刚刚中得一个大奖！
但具体哪一个，由你自己定。
A2000元现金
B50%的机会获得5000元
C20%的机会获得15000元
6、一个很好的投资机会来临，但是你必须借款，你会接受贷款吗？
A绝对不会 B也许会 C会的
7、你所在的公司要把股票卖给员工，公司管理层计划在三年后使公司上市，在上市之前，你不能出售手中股票，也没有任何分红，但公司上市时，你的投资可能会翻10倍，你会投资多少钱买股票？
A一点儿也不买 B两个月的工资 C四个月的工资
选A计1分，选B计2分，选C计3分，计算你的总分。
5.2资产的关联性与风险分散
投资组合的业绩取决于组合中各项资产的收益，分散投资后的收益就是各项资产收益的加权平均，但投资组合的风险则更复杂，并不是各项资产的加权平均，而取决于两个因素：
一是单个资产的风险，二是不同资产之间的联动性。
5.2.1相关系数
在统计学中，衡量资产收益之间联动性的一种方法是相关系数，可用来衡量任意两种资产收益之间的关系程度。
相关系数是一个取值范围在-1~1、度量相关性的指标。
相关系数为1时表示完全正相关，相关系数为-1时表示完全负相关，相关系数为0表示零相关（或相互独立）。
1、完全正相关
在完全正相关时，收益之间是完全的直线相关关系。
投资者知道其中一种资产的收益就可以完全预测另一种资产的收益。
在下表中，股票A和B在1993~1998年的6年中有相同的收益形态，当股票A的收益上升时，股票B的收益也上升，反之亦然。
当收益正相关时，投资组合的风险就是单个资产风险的加权平均。
年份
股票A
股票B
投资组合AB（1：
1）
1993
0.36
1994
-0.12
1995
-0.1
1996
0.34
1997
-0.06
1998
0.3
平均收益
0.12
标准差
0.215
长期收益正相关的资产组合的收益率
2、完全负相关
在完全负相关的情况下，资产的收益是完全相反的线性关系。
当一个资产的收益升高时，另一个资产的收益则降低。
下表中的股票A和C呈完全负相关的关系，其实际收益与均值（12%）之间的差异消除了，使得投资组合的收益为12%。
这一投资组合没有风险，它将在持有期内固定产生每年12%的收益，而且平均收益也为12%。
股票C
投资组合AC（1：
0.000
长期收益负相关的资产组合的收益率
3、零相关
在零相关的情况下，资产收益之间没有线性相关。
把两种零相关的资产组合在一起可以降低投资组合的风险。
如果更多没有相关性的资产加入到资产组合中可以更显著的降低风险，但在这种情况下风险不能完全被消除。
4、不完全正相关
股票D
投资组合AD（1：
0.25
0.305
0.13
0.005
0.19
0.045
0.28
0.31
-0.35
-0.205
0.22
0.26
0.180
上表中的两种资产，股票A和D正相关程度为0.55，这也是投资者通常会遇到的情况。
我们可以发现每只股票的标准差仍为0.215，平均收益为0.12，但按1：
1组合后，风险在某种程度上降低了，变为0.18。
任何风险的降低都不会对收益产生负面影响。
在正相关的情况下，风险可以降低但不可能完全消除。
对投资者而言，最理想的是能找到负相关或正相关性较低的资产，但通常遇到的资产都具有一定的正相关性。
5.2.2协方差
1、协方差的含义
由于资产收益之间普遍存在着相关性，因而必须量化互动性的实际程度，并将其应用到投资组合风险的度量中，因为这种互动性影响到投资组合的方差（或标准差），协方差可以做到这一点。
协方差是两个资产收益的相关程度的绝对度量方法，与相关系数相同，协方差也可以是：
正数，表明两个资产的收益倾向于同时同方向变动，一个上升或下降时，另一个也做相同变动。
协方差为正数时，相关系数也为正。
负数，表明两个资产的收益倾向于反向变动，一个上升或下降时，另一个做反向变动。
协方差为负数时，相关系数也为负。
零，表明两个资产的收益独立变动，并且没有同方向或反方向变动的趋势。
2、协方差的计算
在预期基础上计算协方差的公式为：
根据历史数据同样可以计算协方差：
两种资产的协方差有以下性质：
；
如果A、B两种资产相互独立，则有
3、协方差与相关系数的联系
协方差与相关系数之间关系可用下式来表示：
即相关系数是协方差除以两个收益的标准差，由上式可知：
完全正相关不完全正相关
不相关完全负相关
相关系数越小，特别是负相关的资产组合，其分散化效应就越大，相关系数越大，特别是正相关的资产组合，其分散化效应就越小。
如当铁路股票受损失时，航空股票就会获益，两者的收益率呈负相关，两者的投资组合将会显著降低风险，分散化效应较为明显；
相反的，若将轮胎公司和汽车公司的股票结合在一起，由于两者的收益率呈正相关，它们的投资组合就不会降低风险，也没有什么分散化效应。
5.3资产组合的收益与风险
5.3.1两种资产组合的收益与风险
1、收益
假设有两种资产A和B，其预期收益率分别为和，则分别以xA和xB的比例投资于两种资产构成的投资组合的预期收益为：
投资组合的预期收益率是各资产预期收益率的一种线性组合，因为xA+xB=1，则有
xA
投资组合预期收益率与持有资产A比例的线性关系
上图表明投资组合预期收益率为xA的线性函数。
xA可以为负，此时投资者可以卖空资产A，并将所得的资金连同自有资金买入资产B，则xB大于1。
当然在允许卖空时，xA也可以大于1，表明投资者卖空资产B。
在上图中，实线部分表明不允许卖空的情况，延长线则表明允许卖空的情况。
2、风险
A、B两种资产组成的投资组合的风险，用收益的标准差计算如下：
由上式可见，投资组合的风险大小取决于：
持有的每一种资产的比例；
持有资产的方差（或风险）；
资产之间的相关程度。
给定资产的方差和相关程度后，选择不同的投资比例，就可以得到不同的投资组合，从而得到不同的预期收益率和标准差。
例：
1992~2001年可口可乐和Duke能源股票的平均收益率分别为12.12和15.16，标准差分别为21.58和25.97，相关系数为0.29，假定投资于每只股票的资金相同，则组合的标准差为：
3、相关性与两种资产组合的风险
假设A、B两公司的标准差分别为37.3%和23.3%，如果投资权重各占一半，则在不同相关系数下，该组合的标准差分别为：
如果相关系数为1，组合标准差为30.3%；
如果相关系数为0.5，组合标准差为26.5%；
如果相关系数为0.15，组合标准差为23.4%，如果相关系数为0，组合标准差为22%；
如果相关系数为-0.5，组合标准差为16%；
如果相关系数为-1，组合标准差为7.0%。
由上可见，如果将相关性较低的资产组合在一起，投资组合的风险将会降低。
1）完全正相关下两种资产组合的风险
完全正相关时，，则
即此时，投资组合的风险为投资比例的线性函数。
此时A、B两种资产组成的组合就是连接这两点的直线，如下图所示。
E（rp）
A
B
ρ=1
ρ=-1
ρ=-0.5
ρ=0
相关系数不同的资产组合
2）完全负相关下两种资产组合的风险
在完全负相关时，。
则
此时存在一个投资比例使投资组合的标准差为0，令，可得
，
即按上述比例进行投资，就可以使组合的风险降为0。
3）不相关下两种资产组合的风险
在不相关下，，则
此时存在一个最小方差组合，令，可得：
，
此时最小标准差为：
4）不完全相关下两种资产组合的风险
令可得最小方差组合为：
注意xA可能为负值，如果为负表明投资者需要卖空资产A才能得到最小方差组合。
5.3.2N种资产的情况
1、收益：
2、风险：
投资组合风险是各单项资产风险和资产之间协方差的函数，以方差来表示投资组合风险如下：
（）
上式可简化为：
3、协方差的重要性
组合中方差与协方差的项数与构成组合的证券种数之间的关系
构成组合的资产种数
组合中方差总项数
组合中资产方差的项数
组合中协方差的项数
6
100
90
10000
9900
N
N2
N2-N
当我们将一个新的资产添加到一个由很多投资组成的投资组合之中，会发生两种影响：
一是资产本身的风险被加入到投资组合的风险之中；
二是新资产与其他资产之间两两对应的协方差也被加入到投资组合中。
随着投资组合中资产数量的增加，单项资产自身风险的重要性降低，而协方差的重要性逐步上升。
例如一个有100种资产的投资组合，每种资产自身的风险对投资组合风险的贡献非常小，投资组合的风险基本上由资产之间的协方差风险组成。
5.4有效投资组合与最优投资组合
5.4.1有效投资组合
有效投资组合是指投资者以预期收益率和标准差作为衡量资产组合标准时所选择的最优组合。
1、可行集与有效集
可行集又称机会集，是所有资产各种可能组合的全部集合。
一般来说，投资者的可行集无穷无尽，即使在资产组合数目一定的情况下，由于投资比例可以有不同组合，可行集也是无法穷尽的。
因此投资者不可能也没有必要根据可行集做出投资决策。
有效集是指有效投资组合，即最优投资组合的全部集合。
有效集一旦确定，投资者即可根据自身的偏好选出满足其偏好的最优投资组合。
2、有效集的标准
1）风险相同时，收益高比低好；
2）收益相同时，风险小比大好。
3、有效集的确定
投资组合的可行域
如上图所示，曲线围成部分表示所有可能投资组合的可行集，每一投资者组合的风险-收益组合可被上述坐标轴里的任意点所决定。
从图中可以看出，有些风险和收益组合比其他组合更令人满意，尤其是可行集左上方的边界，这是最满意风险组合的集合，这就是有效边界。
位于有效边界上的组合都优于所有的内部各点。
如S和V比，收益率相同，而风险较大；
S与Q比，风险相同而收益率较低。
因此在S、V、Q三点都存在的情况下，没有人愿意选S点。
有效边界上的所有点构成一有效集，有效集是由那些风险一定而收益最高，或收益一定而风险最小的投资组合构成。
寻找有效集的过程，实际上是以下两个问题的优化过程：
一是约束风险，求收益最大的问题；
二是约束收益，求最小风险的问题。
5.4.2最优投资组合的选择
根据投资者的无差异曲线和投资组合的有效集，就可以确定投资者的最优投资组合。
将无差异曲线系统与有效集放在一起，两者的切点就是最优投资组合。
在下图中，无差异曲线I2与有效集的切点B就是投资者选择的最优投资组合。
5.5无风险资产与风险资产的组合
在前面的分析中，有效集上的资产组合都是由风险资产构成的，这里我们将考虑无风险资产纳入投资组合选择之中的情况。
首先，投资者不仅能投资于风险资产，也可以投资于无风险资产，其次投资者将被允许借入资金，但须支付与贷出相同的利率，即投资者可以卖空一定比例的无风险资产。
5.5.1无风险资产
无风险资产是指在持有期间具有确定收益率的资产。
由于无风险资产的最终价值没有任何不确定性，故其标准差应为0，而且无风险资产与任意风险资产之间的协方差也为0。
根据无风险资产的定义，由于公司发行的证券都存在违约的可能性，所以无风险资产只能选择政府发行的证券，但并不是所有政府证券都可以视为无风险资产。
如果投资者有一笔持有期为3个月的资金，他购买了10年到期的国债，这样的一种资产是有风险，因为投资者不知道在投资期末这笔资产到底值多少钱，因为利率可能以不可预料的方式变化，利率风险的存在使得该政府债券具有不确定性，也就不能被视为无风险资产。
再考虑一种政府债券，它在投资者的持有期结束之前到期，如30天到期的政府债券，但投资者的资金持有期为3个月，此时投资者在持有期期初不知道30天以后的利率，而这个利率正是投资者
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