排列组合与概率知识点及经典练习题.doc
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一、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2.离散型随机变量：
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
…
…
P
…
…
有性质①；②.
注意：
若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：
即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3.⑴二项分布：
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
[其中]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4.几何分布：
“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：
于是得到随机变量ξ的概率分布列.
1
2
3
…
k
…
P
q
qp
…
…
我们称ξ服从几何分布，并记，其中
二.数学期望与方差.
1.期望的含义：
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
…
…
P
…
…
则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量的数学期望：
①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布：
其分布列为：
.
⑶两点分布：
，其分布列为：
（p+q=1）
⑷二项分布：
其分布列为～.（P为发生的概率）
⑸几何分布：
其分布列为～.（P为发生的概率）
3.方差、标准差的定义：
当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布：
其分布列为
⑶两点分布：
其分布列为：
（p+q=1）
⑷二项分布：
⑸几何分布：
5.期望与方差的关系.
⑴如果和都存在，则
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化：
⑷（因为为一常数）
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:
由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步计数原理得
二.相邻元素捆绑策略
例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
解：
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:
分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:
（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。
思考:
可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有几种方法
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:
完成此事共分六步:
把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法
六.多排问题直排策略
例6.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:
8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种
七.排列组合混合问题先选后排策略
例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:
第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
八.元素相同问题隔板策略
例8.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：
因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
九.正难则反总体淘汰策略
例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：
这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
十.合理分类与分步策略
例10.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：
10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有
种。
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