数学建模高校收费标准.docx
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数学建模高校收费标准
论文题目：
高校收费标准的探讨
论文作者1：
张小平
在现阶段建模中你善长：
□写作□程序设计□数学思维，好突发奇想□构建模型的应用能力强
论文作者2：
李军
在现阶段建模中你善长：
□写作□程序设计□数学思维，好突发奇想□构建模型的应用能力强
论文作者3：
王雷
在现阶段建模中你善长：
□写作□程序设计□数学思维，好突发奇想□构建模型的应用能力强
高等教育学费标准探讨
摘要
高等教育收费标准的合理定价，是关系到国家、高等学校和受教育者及其家庭利益的大事。
本文通过大量收集、分析数据，基于高校的收支平衡初步确定高校基本学费。
再对这近几年的基本学费的研究，从学校、学生两个角度综合分析影响学费变化的四个要素，再考虑三个变因：
学校、专业类型、地区差异对学费的影响，对部分地区部分高校的部分专业进行定量的分析和评价。
首先，我们大量收集数据，找到我国高校的收入、支出数据，从收支平衡关系计算得到使学校能够正常运行时的基本学费。
再从学校和学生的角度考虑影响学费的因素，这里我们从学校角度分析得出生均教育经费和国家拨款比对学费起到关键的影响，而学生角度影响学费的决定因素为权重家庭收入、个人收益率，通过深入研究四个要素，即生均教育经费、国家生均拨款比、权重家庭收入、个人收益率与基本学费的关系，进而得出学费的计算方法。
具体做法是分别对四个要素进行拟合，得出基本学费与各个要素之间的函数关系。
再对总体得出的四个函数进行线性拟合，得到其函数的系数。
从而得出计算学费的初步模型。
计算方程是：
通过此初步模型，我们对2000—2009年的学费进行预测，得到初步的合理学费是：
由于初步模型没有考虑学校、地区、专业的差异对学费的影响。
因此我们再对模型进行优化，通过考虑学校差异、专业类别、地区差异三个变因对四个要素的影响而建立优化模型。
从而修正了四个要素对学费的影响。
得到如下的计算公式：
通过上述公式，我们部分计算出北京、、甘肃的985高校的平均收费标准，以及北京某985高校的各专业类别的平均收费标准。
最后我们针对我们计算的结果得出我们的建议。
关键词：
高校收费标准最小二乘法拟合收支平衡
一问题重述
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。
培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。
高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。
对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。
学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：
过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。
学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。
根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。
数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。
论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。
最后，根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议
二模型假设
（1）假设学校收支几近平衡，没有过多的结余或者债务。
（2）假设在近几年及今后几年内，高等教育事业平稳发展，没有突发事件的影响。
（3）不考虑军事院校、师范类院校等不缴学费的院校。
（4）本文论述的标准学费不包含住宿费、保险费、疫苗注射费等其他费用。
（5）不考虑教育经费、财政拨款与家庭收入、个人收益的相互影响。
三符号说明
：
学费；
:
生均教育经费；
：
生均财政拨款；
:
生均社会捐赠；
:
生均其它收益；
：
生均教育经费对学费的关系函数；
：
生均财政拨款比对学费的关系函数；
：
权重家庭收入对学费的关系函数；
：
个人收益率对学费的关系函数；
:
教育生均经费；
：
国家拨款占教育经费比；
：
权重家庭收入；
：
个人收益率；
：
学校类别权重；
：
地区差异系数；
：
专业的类别差异系数；
：
专业的热度；
四问题分析
高等教育经费主要是由国家财政拨款、学校收入（除学费）、社会捐赠和学费收入等几部分组成，其中受教育者及其家庭所承担的学费是本文主要的讨论对象。
在建立模型中我们先通过
求出2000到2009年的合理收费。
再考虑对家庭所承当的学费影响的各因素中，我们主要考虑了四个因素：
:
国家生均拨款；
：
教育生均经费；
：
权重家庭收入；
：
个人收益率。
通过搜集相关数据我们做出每个因素分别对
做了回归。
在此基础上我们进一步考虑四大因素的影响，进行多元线性回归得到我们基本模型。
接下来我们做了模型的优化和推广，考虑地域，高校，专业的影响，进一步对模型修改。
之后我们对模型进行分析优缺点和检验，给高层写一份报告，提出合理的建议。
五模型的建立
初步模型的建立
从高等学校收支情况来分析，高校教育经费的支出主要来源于国家财政拨款、学校的非学费收入、学费收入和社会上的捐赠等。
因此我们可以这样认为，为保持学校的正常运作，学校收支应保持在趋近平衡的状态，而不会有严重收支失衡的现象，即不考虑学校的高额利润或者严重负债，则在这种情况下，我们不妨让其收支相等，则教育经费减去国家财政拨款、学校的非学费收入、社会捐赠就得到学费的收取总额，再平均到每个大学生，那么基本学费W就可通过该收支平衡进行计算得到:
（1）
其中，
:
生均教育经费；
：
生均财政拨款；
:
生均社会捐赠；
:
生均其它收益。
下表是相关数据【1】【2】及根据
（1）式计算所得的结果：
表1：
单位：
元
年份
生均教育经费
生均财政拨款
生均所得社会捐赠
生均所得其它收益
基本学费
2000
11946.3096
7723.9459
513.73663
2254.314
1454.313
2001
12053.8995
7130.1752
435.69597
2333.252
2154.776
2002
12399.2904
6788.9376
371.77227
2389.495
2849.086
2003
12612.4226
6611.3527
400.23264
2514.921
3085.917
2004
12840.2136
6132.9852
336.28669
2400.023
3970.919
2005
12939.6316
6038.0754
278.80188
2342.864
4279.891
2006
13386.013
6273.3597
262.90424
2370.189
4479.56
2007
13744.7253
6682.43
247.68226
3000.916
3813.697
2008
17302.7533
7908.4755
312.01918
3728.886
5353.373
2009
19177.5243
9341.8611
344.12424
3869.12
5622.419
我们经过参考大量的前人的研究及论文【3】【4】，以及上文中对高校收支平衡的分析，通过学校、学生两个角度分析，归纳出决定高等教育收费的四个关键因素，分别是生均教育经费、国家拨款与经费比、权重家庭收入、个人收益率。
因此，我们首先找到基本学费与各个因素间的函数关系，即分别对其进行拟合，得到拟合曲线，再总体对四个拟合出的函数再次进行多元线性拟合，得到学费与四个因素的关系曲线。
5.2：
基本学费与生均教育经费关系确立
教育经费反映一个学校的教育情况，生均教育经费的多少往往体现着学校教育的质量。
一般情况下，随着教育经费的升高，则学费会相应的增长。
据统计数据，2000-2009年基本学费与生均教育经费如下表：
表2：
单位：
元
年份
基本学费
生均教育经费
2000
1454.313
11946.30959
2001
2154.776
12053.89948
2002
2849.086
12399.29043
2003
3085.917
12612.4226
2004
3970.919
12840.21357
2005
4279.891
12939.63157
2006
4479.560
13386.01297
2007
3813.697
13744.72529
2008
5353.373
17302.75326
2009
5622.419
19177.52432
我们将这些数据输入excel进行数据分析，同时进行了几种不同类型的回归，最终发现以合理学费作横坐标，生均教育经费作纵坐标。
我们发现利用最小二乘法对其反函数进行二次回归拟合度最好,
。
其方程为:
（2）
图为：
图
（1）
因此其反函数就是学费与教育经费的关系。
则它的的反函数为：
（3）
这样我们得到了合理学费与生教育经费关系，简单的出这个式子可以看出生教育经费越大，学费收得越高。
5.3：
合理学费与生均财政拨款比关系确立
由于生均国家拨款的大小直接影响到学校的教育发展，从而其对大学的拨款额与学费有着重要的关系。
因此在这里我们考虑学费与生均国家拨款的关系，对其进行线性拟合。
但是单纯的进行拟合时我们发现观察生均财政拨款与合理学费两个数据成正相关，这就是说国家投入越大，反而学费越高这有背常理，况且经济的增长必然导致国家拨款变大，用财政拨款与教育经费的比值来说明的话更能反应真实关系。
对此引入生均财政拨款占生均教育经费比例这个参量，该参量是个比例关系能跟好的说明生均财政拨款与合理学费的关系，为此我们以它来做作回归分析。
以此数据与合理学费进行线性回归。
处理方法与5.2相同（数据见下表）相关系数最终得到相关系数为
：
（4）
从该式可以看出国家的生均财政拨款比每上升1%，我们的学费就可以减少191.73元。
因此提高财政拨款比有利于降低学费。
表3：
单位：
yuan
年份
生均财政拨款
生均财政拨款占生均教育经费比例
合理学费
2000
7723.945944
0.646554979
1454.313
2001
7130.175226
0.591524364
2154.776
2002
6788.937633
0.547526302
2849.086
2003
6611.352746
0.524193722
3085.917
2004
6132.985152
0.477638874
3970.919
2005
6038.075401
0.46663426
4279.891
2006
6273.359654
0.468650349
4479.56
2007
6682.430049
0.486181419
3813.697
2008
7908.475473
0.45706457
5353.373
2009
9341.861088
0.487125498
5622.419
5.4：
合理学费与权重家庭收入关系确立
考虑到在校大学生有城镇与农村籍的区别，他们之间由于家庭收入的不均导致大学的家庭的收入情况不一，因此我们采用权重家庭收入【5】的计算方法求取平均的家庭收入。
权重家庭收入的计算公式如下：
（5）
其中
表示乡村户收入；
表示城市户收入；
表示乡村大学生占总大学生的比例；
根据文献查得数据用（5）计算得
的值，将其与合理学费的数据列于下表：
表4：
单位：
yuan
年份
合理学费
权重家庭收入
2000
1454.312791
15270.75317
2001
2154.776169
16868.71824
2002
2849.085968
18666.69519
2003
3085.916685
20081.43866
2004
3970.91901
22745.43255
2005
4279.890638
25027.05448
2006
4479.560454
27504.24849
2007
3813.697066
30324.267
2008
5353.372505
35726.82865
2009
5622.418798
38384.21809
根据以上的数据我们进行了各种函数的回归分析，最终得以合理学费为横坐标，权重家庭收入为纵坐标时拟合程度高，
，其关系式如下：
（6）
求的反函数为
（7）
图为：
图
（2）
5.5：
合理学费与个人收益率关系确立
对于受到教育的人，教育对一个人的发展是很重要的，教育可以使一个人有相应的收益，在这里我们以大学生毕业后的半年的平均工资与学费的比定义为个人收益率,通过查找数据【6】在这里我们同样将个人收益率与合理学费的数据列于下表：
表5单位：
yuan
年份
个人收益率
合理学费
2000
1.4440
1454.3128
2001
1.1055
2154.7762
2002
0.8476
2849.0860
2003
0.8578
3085.9167
2004
0.8071
3970.9190
2005
0.9019
4279.8906
2006
0.7525
4479.5605
2007
0.8023
3813.6971
2008
0.7024
5353.3725
2009
0.7232
5622.4188
用同样的分析方法，得合理学费与个人收益率关系式：
（8）
5.6：
合理学费与四大因素关系确立
实践上以上的四大因数是共同的影响我们的合理学费的，在这里我们进行综合分析，以使我们的合理学费更加的合理，为此我们在每个影响因素前加了一个因子，得如下的综合表达式：
（9）
利用用多元线性回归的方法求得：
（10）
该拟合所得R2=0.995061，拟合系数相对较高。
并根据该式我们计算得到以下每年的合理学费预测值：
表六
用直方图表示如下：
图（3）
七模型的优化
上述预测是在全国各学校专业无差异性上求得的学费值，而各个学校教学水平的高低、专业的差异、地区生活水平的差异都会导致学校学费的收取。
因此，我们通过考虑这三个变因对决定学费的四个因素的影响来对模型进行优化。
学校的影响
由于学校的性质不一样则会直接导致国家财政拨款的差异，从而导致国家拨款比的差异。
比如，“985”高校，其是国家为实现国内部分高校创建世界一流大学和高水平大学而确定的学校，因此其在财政拨款上会得到重点支持。
通过我们研究近几年高校学费标准的数据，我们发现不同级别的学校其学费与平均学费间的比值大致如下：
表7
“985”高校
“211”高校
普通本科院校
高等专科、职业等学校
1.1
1.05
1
0.9
令该比值从左到右为为
，则该因子即为学校对国家生均拨款比的影响因子，代入公式（10）中，那么学费的计算式变为：
（11）
地区的影响
各个地区的人均GDP的真实差异，比如物价水平、消费水平、人均收入通货膨胀率等差异，但一个地区的人均GDP高，则一般会对应着其消费水平、人均收入等比较高。
因此我们这里就不妨采用人均GDP来反映地区的差异。
由于各个地区的人均GDP的不同，则其所在地的高校受到国家财政拨款额也不同，相对的教育经费也有所差异，同时各地区的平均家庭收入也各不相同。
因此地区的差异同时影响着财政拨款比，以及权重家庭收入。
我们考虑到各个地区的人均GDP差异较大，家庭收入一般和GDP成正相关关系。
然而经过研究发现地区变化对国家财政拨款与教育经费的比却不会有很大的影响，因此我们这里就考虑其对权重家庭收入的影响，不考虑对。
其衡量指数（取06-09年的平均值）为：
，（12）
其中，
表示某一地区的人均GDP值，而
则为全国人均GDP。
则学费为：
（13）
专业的影响
专业的影响主要可以分为专业类别的不同而对教育经费、财政拨款、个人收益率产生的影响，及专业的热门与否而导致各个专业的个人收益率所需不同的影响。
对于专业类别的影响，我们通过统计并研究其各个类别专业的学费标准，得出了各个类别的专业学费与平均学费的比值。
如下表：
表8
理工类
文科类
财经类
农林类
医学
艺术类
1
1
1
0.8
1.6
1.8
不妨令其从左至右为
。
则有：
（14）
而专业的热门与否一时比较难以确定，因此我们可以从近年来扩招情况来显示专业的热门程度。
我们根据国家统计局2005—2009年的教育年鉴，计算出逐年国家总体的扩招比率，记为
，对其求平均值，得到国家年平均扩招比率，即：
，（15）
其中，
表示第N年的扩招比率。
同样的方法可计算出某专业类别的扩招比率
：
（16）
则学费计算式由（10）变为：
（17）
则将这些影响因子综合起来就得到学费的关系式：
（18）
八模型的计算结果
因此在考虑学校、地区差异、专业差异后我们计算出部分地区、专业的的学费标准。
如下表示的是在不同地区同类高校（这里取985高校）的学费标准：
表9以985高校为例
年份
北京某高校
湖北某高校
甘肃某高校
2000
2087.1436
1884.081179
1681.018756
2001
2488.81783
2261.249231
1986.195235
2002
2924.59121
2663.972789
2338.03158
2003
3233.42496
2952.731637
2597.256188
2004
3708.3004
3398.822888
2995.689312
2005
3991.94695
3662.780137
3235.495845
2006
4289.57645
3932.961435
3479.046287
2007
4558.42589
4176.923124
3705.227552
2008
5480.29671
5016.962846
4451.631823
2009
5672.92726
5176.325656
4589.913989
用EXCEL作图得到（系列3表示北京，2表湖北，1为甘肃）：
图（4）
下则表示的是北京地区计算出的三个专业类别的学费收取标准：
表10北京某985高校
年份
理工
农林类
医学
2000
2087.1436
1840.573537
2862.119171
2001
2441.33243
2211.632005
3369.848508
2002
2859.26842
2610.939225
3929.570148
2003
3158.64284
2883.428594
4346.791939
2004
3614.64433
3311.07021
4966.66159
2005
3893.82947
3566.068492
5330.224477
2006
4192.27632
3832.707731
5715.682639
2007
4468.23308
4066.911294
6072.765303
2008
5378.29955
4867.115969
7363.840645
2009
5583.1172
5047.778481
7593.333511
用EXCEL作图得到（系列3表医学，2表示理工类，1为农林类）：
图（5）
九模型的优缺点
优点：
（1）从收支平衡考虑学费的收取，充分体现学费收取的合理性。
（2）从学校、学生两个角度选取各自的学费影响因素，考虑比较全面。
缺点
（1）忽略了生均教经费、财政拨款与家庭收入、个人收益率的影响，视其相互独立。
（2）个人收益率、地区差异的指标选取比较片面，不能真实反映个人收益率、地区差异的情况。
（3）函数关系的再次拟合有失科学性，不够严谨。
（4）学校的差异的指标采用学校属性不够全面，不能反映学校的真实差异，同样专业的差异指标选取不够客观。
十写给高层
尊敬的领导：
您好！
高等教育事关我国公民总体素质，国家创新能力与国际竞争力。
根据建模的分析，并从我跟高校和人民生活水平的实际情况出发，我们认为应该加强对高校学费的管理和规范。
一下是几点建议：
1政府增加教育投资
从相关报告中我们已经看出，政府在教育上的财政拨款在逐年增加，但是我们从年鉴中看到教育拨款还是只占了财政预算的一小部分。
而且我们计算发现财政拨款占高校的教育经费比越来越低，从而导致学费上涨。
2要考虑区域差异对标准学费的显著影响
针对我国发展很不平衡，中西部不能同时协调发展。
所以考虑区域差异是必要的。
可以根据东西中部的经济发展制定合理的学分，并现在一部分地区进行试点工作，然后在全国推广。
3逐步完善对贫困生的资助制度，这里由于地区差异则必然有学生的家庭收入不足以承受学费。
因此完善对贫困生的资助制度有利于保证教育的公平性。
4社会各界应该尽自己所能帮助高校。
原因很简单高校培养人才是为了回报社会，同样社会应尽自己最大努力来帮助高校培养出更加优秀的人才。
5、学费收取要实行规范化管理，鼓励全社会关注高等教育的发展。
参考目录
[1]中国国家统计局中国统计年鉴2001—2010
[2]教育部中国教育经费统计年鉴2001—2010
[3]王维涛刘云谢锋林关于高等教育学费标准的评价与建议2011/8/14
[4]张迪英陈寅等高校教育收费标准准问题的研究2011/8/14
[5]范兴容张伟刘圆（重庆大学）高等教育学费标准探讨（参赛文）
[6]麦克斯研究院中国大学生就业研究报告社会科学文献出版社2011、4
附录一
高校经费情况与在校人数
千元
千人
年份
教育经费
国家拨款
社会贡献
其它情况
在校人数
2000
66432233
42952091
2856838
12536016
5560.9
2001
86675975
51270951
3132959
16777716
7190.7
2002
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