平行四边形对边相等对角相等.docx

平行四边形对边相等对角相等.docx

《平行四边形对边相等对角相等.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行四边形对边相等对角相等.docx（33页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

平行四边形对边相等对角相等

22.1平行四边形的性质（2课时）

学习目标

1．知识目标

（1）理解平行四边形的有关概念.

（2）探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分的性质，

（3）通过旋转体会平行四边形的中心对称性.

2．能力目标

能利用平行四边形的性质解决简单的实际问题.

3．情感目标

发展学生合理的推理意识，培养其主动探究的习惯.

学习重点、难点

重点：

平行四边形的性质与应用

难点：

平行四边形性质的探究

学习过程

一、问题导入

如图：

在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,

四边形ABCD是平行四边形吗？

读作：

；

记作：

.

二、共同探究

1.用一根小木棒沿着一定的方向平行移动一段距离，观察木棒经过的面形成的图形：

（1）从边上看：

平行四边形的对边是否相等？

（2）从角上看：

平行四边形的对角是否相等？

（3）借助测量工具进行验证：

平行四边形的对边相等，对角相等.

（4）根据“两直线平行，同旁内角互补”你能得出:

平行四边形的对角相等吗这一结论吗？

2.试着做做

在两张半透明的薄纸上分别画出两个如图所示的

ABCD,并画出它们的对角线.设对角线的交点为O，将这两个平行四边形叠放在一起，使它们完全重合，在用大头针将点O固定.把上面的平行四边形绕点O按逆时针（或顺时针）方向旋转180°.

观察与思考：

上下两个平行四边形是否重合？

由以上过程，你能指出图中有哪几对三角形分别是全等的吗？

你能得出什么结论？

平行四边形的对角线有什么性质？

能说出你的理由吗？

三、解决问题

如图，在

ABCD中，已知∠B+∠D＝280°.

求其他两个内角的度数.

四、巩固练习

1．在□ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝.

2．在□ABCD中，∠A＝30°.则∠B＝.∠C＝.∠D＝.

3．已知□ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠A＝      .∠D＝.

4．□ABCD中，AB＝5，BC＝3。

求它的周长为．

5.在□ABCD中，AB＝8，周长等于24，则与AB相邻的边长为      .

拓展与提高

1.如果一个平行四边形的一边长是10cm，一条对角线长是8cm，则它的另一条对角线长的取值范围是            ．

2.已知点O是□ABCD两条对角线的交点，对角线AC＝24mm，BD＝38mm，一边BC＝28mm.求△OAD的周长.

五、归纳小结

1．这节课我们一起学习了哪些问题?

2.通过本节课同学们探索学习，你对平行四边形有哪些新的认识.

六、布置作业

教师在这一问题中要强调平行四边形的书写符号.

让学生通过观察、归纳得到平行四边形的性质，借助测量工具动手进行验证.

加深学生对平行四边形的定义、对边相等、对角相等性质的理解.

在教学过程中，一方面，要让学生自己动手，体会平行四边形的中心对称性，强化旋转变换特征的应用，体现前后知识的衔接；另一方面让学生多角度地对运用不同的方法验证得到的结论，并有条理的进行表述.

利用平行四形的性质，让学生自主探索，丰富学生独立进行数学活动的经验，形成良好的思维习惯.

通过这一组练习，巩固平行四边形：

对角相等、对边相等，对角线互相平分等性质．

巩固学生对平行四边形的对角线互相平分这一性质的应用，同时也培养学生综合运用数学知识的能力．

附：

板书设计

平行四边形的性质

定义：

两组对边分别平行

记作：

□ABCD

平行四边形的对边相等

性质：

平行四边形的对角相等，邻角互补

平行四边形的对角线互相平分

22.2平行四边形的判定（2课时）

学习目标

1．知识目标

（1）经历平行四边形识别条件的探究过程，使学生逐步掌握探究的方法.　　

（2）掌握平行四边形的识别条件和应用．

2．能力目标

会综合运用平行四边形的识别方法和性质来解决问题．

3．情感目标

在学习过程中丰富学生从事数学活动的经验，发展合情推理的意识.

学习重点、难点

重点：

平行四边形的识别方法及应用．

难点：

平行四边形的识别方法与性质定理的灵活应用．

学习过程

一、创设情景引入问题

二、观察与思考

（说明：

小明、小亮、小芳分别用不同的方法各得到一个四边形ABCD.）

1.请你观察小明的作法，并思考问题：

③连结AC，BD.

②在两条平行线上分别截取线段AB，CD，使AB＝CD.

①任意画两条互相平行的直线.

问题：

在小明作出的四边形ABCD中，连结BC，你能说明△ABC≌△DBC的理由吗？

由此能说明四边形ABCD是平行四边形吗？

2.请你观察小亮的作法，并思考问题：

用提前准备好的四根木棒，

搭成如图所示的四边形，

其中AD＝BC.

问题：

在小亮作出的四边形ABCD中，连结AC，你能说明△ABC≌△CDA的理由吗？

由此能说明四边形ABCD是平行四边形吗？

3.请你观察小芳的作法，并思考问题：

③连结AB，BC，CD，DA.

②截取OA＝OC，

OB＝OD

①画两条直线相交于点O.

问题：

在小芳作出的四边形ABCD中，你能说明△AOB≌△COD的理由吗？

由此能说明四边形ABCD是平行四边形吗？

归纳总结：

由以上三个同学的作法，你能发现平行四边形的识别条件吗？

有几种识别方法？

你能用文字语言表述出来吗？

三、例题讲解

例如图，已知

ABCD的两条对角线AC、BD交于点O；E、F分别是OA，OC的中点，

请说明四边形BFDE是平行四边形．

问：

你还有其它的证明方法吗？

比较一下，哪种证明方法简单．

四、学以致用

（一）基础练习

1.如图，已知三点A，B，C.画一个平行四边形，使其三个顶点分别是点A，B，C.

2.如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O.仅从下列六项条件中任意选取两项作为已知条件，就能够确定四边形ABCD是平行四边形的有哪些？

请说明理由.

（1）AB∥CD

（2）BC＝DA

（3）AB＝CD（4）BC∥AD

（5）OA＝OC（6）OB＝OD

3.如图，E为BC边上一点，试在AD边上找一点F，使四边形AECF是平行四边形，并说明理由.

4.小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你

能在图中找出所有的平行四边形吗？

并说说你的理由．

（二）拓展与提高

1.已知：

如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．

判断：

∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′成立吗；说说你的理由.

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＞BC，BC＝6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度沿AD由A向D运动。

Q以2cm/s的速度沿CB由C向B移动.问：

多少秒后四边形ABQP成为平行四边形？

五、归纳小结

识别平行四边形的条件：

六、布置作业

可以让学生用几根小木棒搭建平行四边形，然后于同学进行交流，引出要研究

的问题.

通过观察，对不同操作方法得到的四边形是否是平行四边形展开思考，让学生经历探索的过程.

它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好发展学生一题多证的发散性思维，同时将上面的三种平行四边形的判定方法进行应用、归纳，形成切入点，但要注意采用最优证法．

通过练习，让学生对平行四边形的识别条件建立比较完整的认识，进一步巩固所学知识.

培养学生既动手又动脑的能力.

通过本题，深化对本节知识的理解，提高学生的综合分析能力.

本环节使知识更加系统化，帮助学生归纳，整理，有利于知识体系的形成.

板书设计：

22.3三角形的中位线

学习目标

1．知识目标

（1）了解三角形中位线的概念.

（2）探索并掌握三角形中位线的性质.

2．能力目标

感受三角形与四边形的联系，提高学生分析问题、解决问题的能力.

3．情感目标

通过学生动手操作、观察、自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣.

学习重点、难点

重点：

三角形中位线性质及其应用.

难点：

三角形中位线性质的探索过程.

课前准备三角形纸片，剪刀

学习过程

一、问题引人

你能将任意一个三角形纸片分成四个全等的三角形吗？

这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？

二、共同学习

1.动手操作

请同学们拿出三角形纸片，画任意一条中位线，标注好顶点、线段，沿中位线剪开，分割开的两部分可以拼接成什么特殊的四边形？

2.观察与思考

如图

（1），EF是△ABC的一条中位线，小亮想:

F是AC的中点，将FA绕点F按顺时针方向旋转180°，它就与FC重合.如果将△AEF绕点F按顺时针方向旋转180°，他得到了图

（2）

图

（1）图

（2）

思考：

（1）小亮认为四边形EBCD是平行四边形.他的想法对吗？

为什么？

（2）如果四边形EBCD是平行四边形.你能发现EF与BC之间的位置关系吗？

（3）如果四边形EBCD是平行四边形.你能发现EF与BC之间的数量关系吗？

（4）由此，你能发现三角形的中位线与它的第三边有什么关系吗？

用自己的语言表述出来.

3．范例讲解

如图，在ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，AC=12，BC=16.求四边形DECF的周长.

三、巩固练习

1．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）.

A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形

D．菱形或对角线互相垂直的四边形

2．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）

A．3cmB．26cmC．24cmD．65cm

3.已知三角形的各边的长分别为6cm、8cm、12cm，则连结这个三角形各边中点所构成的三角形的周长是（）.

A．13cmB．26cmC．24cmD．39cm

4．如图，A,B两点被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.测量员在岸边选一点C，连结AC,BC，分别找到AC和BC的中点M，N.由MN的长度即可知道AB两点间的距离.

（1）你知道其中的道理吗？

（2）如果测得MN=20m.那么A,B两点的距离是多少？

四、点滴收获

1.通过今天的学习，我们应掌握的知识：

（1）学习了三角形中位线的性质；

（2）利用三角形中位线的概念和性质解决有关问题；

（3）经历了探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法

2.有那些注意的问题

三角形中线与中位线的区别

五、布置作业

课本68页习题2、3题

这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中。

动手操作，通过拼接体会三角形中位线的性质，然后小组讨论交流

教学时，尽可能地使学生在自主探索与合作交流的基础上，发现结论并通过说理验证结论.

做到所学知识与学生的生活紧密联系，使学生体会到数学即来源于生活又服务于生活.

为学生提供了反思的机会，也有利于把知识系统化，便于帮助学生认识自我，建立自信.

附：

板书设计

22.3三角形的中位线

1.三角形的中位线概念    例题 

2.三角形的中位线性质：

三角形的中位线平行于第三边，

并且等于它的一半

22.4矩形（2课时）

学习目标：

知识目标：

 1.经历探索矩形性质和识别条件的过程。

    2.探索并掌握矩形性质及矩形的常用识别条件。

能力目标：

在直观操作活动和简单说理的过程中发展学生初步的推理能力，增进主题探究的意识，逐步掌握说明的基本方法。

学习重、难点：

学习重点：

矩形的概念，矩形的性质

学习难点：

矩形的两个识别方法

学习过程：

一、引入课题

二、观察思考，合作发现

1.观察课本P6922-17中平行四边形的变化过程思考：

（1）木框在变化过程中，四条边长变化了吗？

还是平行四边形吗？

（2）平行四边形什么时候是矩形？

2.矩形定义：

当四边形有个内角是直角时，我们就把它叫做矩形。

三、合作探究，展示交流

（一）矩形的性质

1.矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质。

即

（1）对边，

（2）对角，

（3）对角线，（4）是中心对称图形

2.矩形的四个内角都是直角吗？

3.画一个矩形ABCD

合作探究：

（1）你认为矩形ABCD是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

试着画出来，并用对折的方法进行验证。

（2）连结对角线AC、BD，它们的交点O在矩形的对称轴上吗？

（3）OA、OB、OC、OD之间有什么数量关系？

（4）矩形的两条对角线相等吗？

为什么？

归纳矩形的性质：

（1）边：

矩形的对边平行且相等

（2）角：

矩形的四个内角都是直角。

（3）对角线：

矩形的两条对角线相等且互相平分。

（4）对称性：

矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线；两条对角线的交点是它的对称中心。

展示交流：

自学课本135页，例题（注意解题思路及解题格式）完成下面的题

练习:

如图，矩形

的两条对角线相交于点

，

，求矩形

对角线的长。

（二）矩形的识别方法

1.当四边形的四个角都是直角时，它是矩形吗？

为什么？

2.当四边形的三个角是直角时，它是矩形吗？

为什么？

3.合作探究：

在平行四边形ABCD中，AC=DB，那么平行四边形ABCD一定是矩形吗？

（1）你认为△DAB与△CBA全等吗？

请说明理由

（2）能得出∠DAB或∠CBA是直角吗？

（3）如何说明平行四边形ABCD是矩形？

（4）你还有另外说明ABCD是矩形的方法吗？

归纳矩形的识别方法：

（1）矩形的概念

（2）有三个角是直角的四边形是矩形

（3）对角线相等的四边形是矩形

四、巩固练习

1.判断

（1）矩形是平行四边形（）

（2）矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形（）

2.选择

（1）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）.

A.对角线相等B.对边相等

C.对角相等D.对角线互相平分

（2）下面说法中正确的是（）.

A.有一个角是直角的四边形是矩形.

B．两条对角线相等的四边形是矩形.

C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形.

D．四个角都是直角的四边形是矩形.

3.填空

（1）矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是cm.

（2）矩形的短边长为3cm,两对角线所成的钝角是120°,则它的对角线长是_______.

（3）已知矩形对角线长为4cm,一边长为3cm,则矩形的面积是________.

（4）如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是　　　．（填一个条件）

4.“直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半”,你能用矩形的有关性质解释这个结论吗?

5.给你一根足够长的绳子，你能检查教室的门窗或你的桌子是不是矩形吗？

你怎样检查？

解释其中的道理。

五、点滴收获

1.矩形定义

2.矩形的性质

3.矩形的识别方法

六、布置作业：

课后习题2

用平行四边形木框演示

引出课题。

使学生注意观察平行四边形角的变化，变化过程中当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形

使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．

通过学生的思考、探究、动手操作，使不同程度的学生都得到体验和感受，采用小组讨论的方法，引导学生从四个方面总结矩形的性质，同时培养了学生互助、协作的精神。

这道例题，主要运用了矩形的性质，学生基本能模仿着做出练习

考察学生掌握及运用新知识的情况，在学生独立完成过程中，不仅巩固了知识，也学会思考问题，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，发展了思维，学会做数学。

问题1引导学生用矩形的定义来识别

问题2学生自己会说出来，从而得出矩形的一个识别方法。

问题3有问题串引导学生从条件得到结论，从而得到

矩形的又一个识别方法。

归纳总结矩形的识别方法,

有利于提高学生的语言表达能力.

巩固所学知识，矩形的性质和识别方法的应用。

说出所有的答案，

本题给学生充分的时间去考虑解决这个问题，培养学生合作探究解决问题的能力，引导学生去发现：

使学生巩固矩形的识别方法

提供了学生反思的机会，也有利于把知识系统化，使学生真正构建自己对数学知识的理解，形成一定的数学思想和方法。

附：

板书设计

22.4矩形

1.矩形定义例题

2.矩形的性质

3.矩形的识别方法

22.5菱形（2课时）

学习目标：

知识目标：

1.菱形的定义；2.菱形的性质；3.菱形的识别方法

能力目标：

1.经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法.

2.了解菱形的现实应用和常用识别条件.

情感目标：

体会菱形的图形美和内在美.

学习重、难点：

学习重点：

菱形的性质及判定方法.

学习难点：

菱形性质和直角三角形的知识的综合应用.

学习过程：

一、引入课题

二、合作探究、展示交流

（一）菱形的性质

1．菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质

2．菱形的四条边相等吗？

为什么？

探究一

阅读73页小明的操作方法，回答

（1）“菱形是轴对称图形，并且对角线所在的直线分别是它的对称轴”，你认为正确吗？

（2）菱形的对角线之间有什么位置关系呢?

菱形的对角线与内角之间有什么关系呢？

归纳菱形的性质：

（1）边：

菱形的四条边都相等；

（2）角：

对角相等，邻角互补

（3）对角线：

菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

（4）对称性：

菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；又是轴对称图形，对称轴是它的对角线所在的直线。

展示交流

已知菱形ABCD的周长为16厘米，∠ABC=120，求对角线

BD、AC的长

探究二

问题1．四条边都相等的四边形是菱形吗？

为什么？

问题2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

为什么？

归纳菱形的识别条件：

1．一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2．四条边都相等的四边形是菱形；

3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

展示交流

例2如图，在△ABC中AD是△ABC的角平分线。

DE∥AC，交AB于点E；DF∥AB，交AC于点F.四边形AEDF是菱形吗？

为什么？

三、巩固练习

1．已知菱形的周长是40厘米，他的一条对角线长是10厘米，那么它相邻的两个内角度数分别是和.

2．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，这个菱形的面积是

3．如图，将两张等宽的矩形纸条交叉，重叠部分是一个（图形）

4．如右图，四边形ABCD是平行四边形，使它为菱形的条件可以是　　　　．

5．判断

（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。

（）

（2）对角线互相平分的四边形是菱形。

（）

（3）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是菱形。

（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。

（）

6．菱形

在平面直角坐标系中的位置如图所示，

，则点

的坐标为（）

A．

B．

C．

D．

7．如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，

．

（1）试说明△ABD是正三角形；

（2）求AC的长（结果可保留根号）

四、质疑问难

思考：

如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？

（不借助任何测量工具）

五、小结

1．菱形的定义

2．菱形的性质：

（1）边：

菱形的四条边都相等；

（2）角：

对角相等，邻角互补

（3）对角线：

菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

（4）对称性：

菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；又是轴对称图形，对称轴是它的对角线所在的直线。

3.菱形的识别方法：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）四条边都相等的四边形是菱形；

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

六、布置作业：

课后习题2

前面我们探讨了平行四边形的性质和识别条件，下面大家来看一个衣帽架并进行图形变换，这个衣帽架中有你熟悉的图形吗？

（邻边相等的平行四边形.）我们把这样的平行四边形叫做菱形.这节课我们就来探讨一下菱形.

菱形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质

探究一中通过问题一、问题二引导学生思考菱形特有的性质。

学生亲身品尝到自己发现的乐趣，有利于提高学生的语言表达能力，创造性思维能力也得到很好的锻炼。

展示交流

本题中，注意先分析题意，体会菱形性质的应用，并关注菱形对角线的特殊位置关系及利用勾股定理解决问题的思路。

让学生思考、讨论、交流，使学生明晰识别菱形的条件

巩固所学知识，提高运用知识的能力

使学生巩固所学知识。

体会知识与现实的联系，

怎样应用菱形的识别条件剪出菱形。

提供了学生反思的机会，也有利于把知识系统化。

附：

板书设计

22.5菱形

1．菱形的定义例题1

2．菱形的性质：

例题2

3.菱形的识别条件

22.6正方形

学习目标

知识目标：

掌握正方形的定义、性质及识别条件

能力目标：

通过观察、归纳、类比等培养逻辑思维能力培养学生观察、分析和概括的能力。

情感目标：

感受完美的正方形的图形美和语言美，感受数学思考的合理性，养成科学严谨的学习态度.

学习重、难点：

学习重点：

正方形的定义和性质，识别条件

学习难点：

正方形与菱形、矩形、平行四边形的区别与联系.

学习过程：

一、引入课题

正方形定义：

满足三个条件：

平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角.

二、合作探究、展示交流

.探究一正方形的性质

1．正方形是不是矩形？

2．正方形是不是菱形？

3．正方形的对称中心在哪里？

对称轴有几条，各在什么位置？

由正方形的定义可以得知：

正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

归纳：

正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.

（1）边：

（2）角：

（3）对角线：

（4）对称性：

展示交流

1．四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O. 

（1）图中共有几个等腰直角三角形？

（2）能求出∠AOB,∠OAB的度数吗？

（3）若AC=4cm，那正方形边长AB是多少？

此时正方形的面积和周长分别是多少？

2．在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么BE与DE相等吗？

为什么？

探究二正方形的识别条件

（1）矩形满足什么条件时，是正方形？

有一组边的矩形是正方形；

对角线的矩形是正方形

（2）菱形满足什么条件时，是正方形？

有一个内角是角的菱形是正方形；

对角