任一偶数均可表为两个奇素数之差a.docx

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任一偶数均可表为两个奇素数之差a

“任一偶数均可表为两个奇素数之差”简捷证明

王若仲（务川自治县实验学校贵州564300）

摘要：

“任一不小于4的偶数Ｍ，偶数Ｍ均可表为两个均不大于偶数2Ｍ的奇素数之差”确实存在一种简捷的证明方法，即就是证明存在有“奇素数-奇素数”的情形可以转换到奇素数的个数和奇合数的个数上来加以分析，即通过顺筛和逆筛的办法，从而得到“任一不小于4的偶数Ｍ，偶数Ｍ均可表为两个均不大于偶数2Ｍ的奇素数之差”的一种简捷证明。

关键词：

奇素数奇合数顺筛逆筛

我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。

定义1：

我们把既是奇数又是合数的正整数，称为奇合数。

引理1：

对于任一正整数M（M＞2），关于某一奇素数p，p＜M，设集合{p，2p，3p，…，mp}中元素个数与集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中元素个数的比值为t，则

（1）、当mp=M时，t=1/p；

（2）、当mp≠M时，t＜1/p。

其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数。

证明：

因为集合{p，2p，3p，…，mp}有ｍ个元素，集合{1，2，3，4,5,6，…，M}有M个元素，

（ⅰ）、当mp=M时，t=m/mp=1/p；

（ⅱ）、当mp≠M时，又因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么mp＜M，而t=m/M＜m/mp＝1/p。

综上所述，引理1成立。

引理2：

对于任一奇数M（M＞2），关于某一奇素数p，p≤M，设集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中元素个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素个数的比值为t,则

（1）、当（2m-1）p=M时，t＞1/p；

（2）、当（2m-1）p+p-1=M时，t＝1/p；

（3）、当（2m-1）p+p-1＜M时，t＜1/p；

（4）、当（2m-1）p+p-1＞M时，t＞1/p；

其中（2m-1）p为该形式下不大于正整数M的最大奇数。

证明：

因为集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}有m个元素,集合{1，3，5，7，9，…，M}有（M+1）/2个元素

（ⅰ）、当（2m-1）p=M时，则（M+1）/2=（2m-1）p/2＜mp,所以t=2m/（M+1）＞1/p；

（ⅱ）、当（2m-1）p+p-1=M时，则（M+1）/2=mp，所以t=m/mp=1/p；（ⅲ）、当（2m-1）p+p-1＜M时，则（M+1）/2＞mp，所以t=2m/（M+1）＜1/p；

（ⅳ）、当（2m-1）p+p-1＞M时，则（M+1）/2＜mp，所以t=2m/（M+1）＞1/p。

综上所述，引理2成立。

引理3：

对于一个相当大的正整数M，关于任一小于正整数M的奇素数p，设集合{p，2p，3p，…，mp}中元素个数与集合{1，2，3，4,5,6，…，M}中元素个数的比值为t，则t≈1/p（其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数）。

证明：

对于任一奇素数p，集合{p，2p，3p，…，mp}有m个元素，集合{1，2，3，4,5,6，…，M}有M个无素

（ⅰ）、当mp=M时，t=m/mp=1/p；

（ⅱ）、当mp≠M时，因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么mp＜M，我们令M=mp+h，那么h＜p，所以mp＜M=mp+h＜（m+1）p，则m/（m+1）p＜t=m/M＜m/mp，因为正整数M相当大，那么正整数m也相当大，故t≈1/p。

综上所述，引理3成立。

引理4：

对于一个相当大的奇数M，关于任一小于奇数M的奇素数p，设集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中元素个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素个数的比值为t，则t≈1/p（其中（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数）。

证明：

对于任一奇素数p，集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}有m个元素，集合{1，3，5，7，9，…，M}有（M+1）/2个元素

（ⅰ）、当（2m-1）p=M时，（M+1）/2=[mp-（p-1）/2]，因为m/（mp-p）=m/（m-1）p，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，则m/（mp-p）=m/（m-1）p≈1/p，即m/[mp-（p-1）/2]≈1/p，t≈1/p；

（ⅱ）、当（2m-1）p+p-1=M时，（M+1）/2=mp，则t=m/mp=1/p；

（ⅲ）、当（2m-1）p+p-1＜M时，我们令（2m-1）p+p-1+h=M，然而1≤h＜p+1，这是因为（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p，则（M+1）/2=[mp+p/2]＜（m+1）p，即mp＜[mp-（p-1）/2]＜（m+1）p，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，m/（m+1）p≈1/p，故t≈1/p；

（ⅳ）、当（2m-1）p+p-1＞M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1≤h≤p-1，这是因为（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p-1，则（M+1）/2=[mp-（p-1）/2]＞（m-1）p，即（m-1）p＜[mp-（p-1）/2]＜mp，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，m/（m-1）p≈1/p，故t≈1/p。

综上所述，引理4成立。

引理5：

对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），那么在区间[√M，M]中任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi整除。

证明：

设奇数a为区间[√M，M]中的一个奇合数，那么奇数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的积，具体分析如下：

（1）、当M=bc，如果b=c，b和c均为素数，那么M=b2=c2；则素数b为不大于√M；

（2）、当M=bc，如果b=c，b和c均为大于√M的素数，那么M＜bc，即奇合数bc不可能是区间[√M，M]中的一个奇合数，这种情形与已知情形产生矛盾；

（3）、当M=bc，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个奇素数因子q小于√M；

（4）、当M=bc，如果b＞c，b和c均为奇合数，那么奇合数c中必有一个奇素数因子q小于√M；

（5）、当M=bc，如果b＞c，b和c均为奇素数，那么奇素数c小于√M；

（6）、设奇数a为区间[√M，M]中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b=c，b和c均为素数，那么b素数为小于√M奇素数；

（7）、设奇数a为区间[√M，M]中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个素数因子p小于√M；

（8）、设奇数a为区间[√M，M]中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b≠c，b和c中一个为素数和一个为合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设小的一个奇数为素数，则小的一个素数必为小于√M的奇素数；

（9）、设奇数a为区间[√M，M]中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a＜M，如果b≠c，b和c中一个为素数和一个为合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设大的一个奇数为素数，那么小的一个奇数必为奇合数，不妨令小的一个奇数为c，则奇合数c总可以分解为素因子的乘积，其中任何一个素因子必为小于√M的奇素数；

（10）、其它情形同理可得出同样的结论。

综上所述，引理5成立。

引理6：

对于一个相当大的奇数M，关于任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（p≠q），若在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体元素和筛除属于集合{q，3q，5q，7q，9q，…，（2m´-1）q}中的全体元素，则有下列等式成立：

W[1-（1/p+1/q）+1/pq]=W[（1-1/p）-（1-1/p）/q]=W（1-1/p）（1-1/q）。

其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数，（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m´-1）q为该形式下不大于奇数M的最大奇数。

证明：

对于一个相当大的奇数M，由引理4可知，关于任一小于奇数M的奇素数g，那么集合{g，3g，5g，7g，9g，…，（2m-1）g}中元素个数与集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素个数的比值约等于1/g，其中（2m-1）g为该形式下不大于奇数M的最大正整数；那么任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（p≠q），若要在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体元素和筛除属于集合{q，3q，5q，7q，9q，…，（2m´-1）q}中的全体元素，则有W-（W/p+W/q）+W/pq=W[1-（1/p+1/q）+1/pq]=W[（1-1/p）-（1-1/p）/q]=W（1-1/p）（1-1/q），其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数。

故引理6成立。

引理7：

对于一个相当大的奇数M，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√M的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），若要在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除全体奇合数，那么只须在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m-1）p1}中的全体元素，筛除属于集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m-1）p2}中的全体元素，筛除属于集合{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m-1）p3}中的全体元素，…，筛除属于集合{pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2m-1）pt}中的全体元素；并且有下列等式成立：

W[1-（1/p1+1/p2+1/p3+…+1/pt）+（1/p1p2+1/p1p3+1/p1p4+…+1/pt-1pt）-（1/p1p2p3+1/p1p2p4+1/p1p2p5+…+1/pt-2pt-1pt）+…+（-1）t1/p1p2p3…pt-2pt-1pt]=W（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）…（1-1/pt-1）（1-1/pt）。

其中W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数，（2m-1）p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）p3为该形式下不大于奇数M的最大奇数，…，（2m-1）pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。

证明：

因为W（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）=W[1-（1/p1+1/p2+1/p3）+（1/p1p2+1/p1p3+1/p2p3）-（1/p1p2p3）]，又因为在区间[√M，M]中的任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合{p1，p2，p3，…，pt}中某一个奇素数pi整除，故由引理4和引理5以及引理6可知引理7成立。

定义2：

在集合{1，3，5，7，9，…，（M-3），（M-1）}中筛除属于集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的全体元素，这种筛除方式，称之为顺筛；其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇素数，（2m-1）p为该形式下小于偶数M的最大奇数。

引理8：

设有一个相当大的正整数M，对于任一小于正整数M的奇素数p，集合{p，2p，3p，…，mp}中的元素个数为m，其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，则m≤M/p。

证明：

（ⅰ）、当mp=M时，则m=M/p；

（ⅱ）、当mp≠M时，因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，则m＜M/p。

综上所述，引理8成立。

引理9：

设有一个相当大的奇数M，对于任一小于奇数M的奇素数p，集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}中的元素个数为m，其中（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，则m≈M/p。

证明：

对于任一小于奇数M的奇素数p，集合{p，3p，5p，7p，9p，…，（2m-1）p}有m个元素，集合{1，3，5，7，9，…，M}有（M+1）/2个元素

（ⅰ）、当（2m-1）p=M时，（M+1）/2=[mp-（p-1）/2]，因为[mp-（p-1）/2]/p＞（m-1）p/p=（m-1），M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故m≈M/p；

（ⅱ）、当（2m-1）p+p-1=M时，（M+1）/2=mp，则m=M/p；

（ⅲ）、当（2m-1）p+p-1＜M时，我们令（2m-1）p+p-1+h=M，然而1≤h＜p+1，这是因为（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p，则（M+1）/2=[mp+p/2]＜（m+1）p，即mp＜[mp-（p-1）/2]＜（m+1）p，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故m≈M/p；

（ⅳ）、当（2m-1）p+p-1＞M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1≤h≤p-1，这是因为（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p-1，则（M+1）/2=[mp-（p-1）/2]＞（m-1）p，即（m-1）p＜[mp-（p-1）/2]＜mp，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故m≈M/p。

综上所述，引理9成立。

定义3：

对于某一偶数2m，m∈N，m≥4，若a-b=2m，其中a和b中至少有一个为奇合数，则称a和b为关于偶数2m的负合对子，记为2m（a§b）。

定义4：

对于某一偶数2m，m∈N，m≥4，若a-b=2m，其中a和b均为奇素数，则称a和b为关于偶数2m的负素对子，记为2m（a＆b）。

定义5：

对于某一偶数2m，m∈N，m≥4，若a-b=2m，其中a和b中一个为奇素数一个为奇合数，则称奇素数的一个为关于偶数2m的负虚合数，特别当b为1时，仍称a为关于偶数2m的负虚合数，记为2m（p§）。

定义6：

在集合{M，（M+1），（M+3），…，[M+（2m-3）p]，[M+（2m-1）p]}中筛除属于集合{（M+p），（M+3p），（M+5p），（M+7p），（M+9p），…，[M+（2m-1）p]}中的全体元素或者在集合{1，3，5，7，9，…，（M-1），M}中筛除属于集合{[（2m-a1）p–M]，[（2m-a2）p–M]，[（2m-a3）p–M]，…，[（2m-1）p-M]}中的全体元素，这种筛除方式，称之为逆筛；其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇素数，（2m-a1）p为该形式下大于偶数M的最小奇数，（2m-1）p为该形式下小于偶数2M的最大奇数。

定理1：

任一不小于4的偶数H，偶数H均可表为两个均不大于该偶数H两倍的奇素数之差。

证明：

对于任一比较大的偶数2m，m∈N，我们设奇素数p1，p2，p3，…，pr均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，r），r∈N；设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√4m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N。

因为偶数2m=（4m-1）-（2m-1）=（4m-3）-（2m-3）=（4m-5）-（2m-5）=（4m-7）-（2m-7）=…=（2m+3）-3=（2m+1）-1。

对于“奇数-奇数=2m”的情形，则有下列几种情形：

1、奇合数-奇合数=2m，

2、奇合数-奇素数=2m，

3、奇素数-奇合数=2m，

4、奇素数-奇素数=2m，

5、奇合数-1=2m，

6、奇素数-1=2m，

所以关于“2m=奇数-奇数”的情形，我们具体分析如下：

（ⅰ）、对于偶数2m，设不大于偶数2m的全体奇数组成的集合为{1，3，5，7，9，…，H}，u为集合{1，3，5，7，9，…，H}中元素的个数，设不大于偶数4m的全体奇数组成的集合为{1，3，5，7，9，…，M}，W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数，由引理5可知，若要在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除全体奇合数，那么只须在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体元素，筛除属于集合{3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中的全体元素，筛除属于集合{3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}中的全体元素，…，筛除属于集合{3pr，5pr，7pr，9pr，…，（2mr-1）pr}中的全体元素，…，筛除属于集合{3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}中的全体元素。

其中（2m1-1）p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m2-1）p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m3-1）p3该形式下为不大于奇数M的最大奇数，…，（2mr-1）pr为该形式下不大于奇数M的最大奇数，…，（2mt-1-1）pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2mt-1）pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。

（ⅱ）、我们令集合A={3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}∪{3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}∪{3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}∪…∪{3pr，5pr，7pr，9pr，…，（2mr-1）pr}∪…∪{3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}，则集合A中的元素均为奇合数。

设关于偶数2m的全体负虚合数组成的集合为B，由定义9可知，因为集合A∪B中的任一元素都能组成负合对子，所以只要我们探讨得出关于偶数2m的全体负虚合数组成的集合B与全体奇合数组成集合A的并集不包含集合{1，3，5，7，9，…，M}；那么集合{1，3，5，7，9，…，M}与集合A∪B的差集中的任一元素必然都能组成负素对子，即集合{1，3，5，7，9，…，M}与集合A∪B的差集中至少有两个奇素数p和q，使得p-q=2m。

（1）、当偶数2m中含有奇素数因子pi（i=1，2，3，…，t）时，对于集合{pi，3pi，5pi，7pi，9pi，…，（2mi-1）pi}中任一奇数g，奇数（g-2m）（2m＜g＜4m）和奇数（2m+g）（0＜g＜2m）仍能被奇素数pi整除；说明奇数（g-2m）和奇数（2m+g）为奇合数或者为关于偶数2m的负虚合数。

若在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{pi，3pi，5pi，7pi，9pi，…，（2mi-1）pi}中的全体元素，其中（2mi-1）pi为该形式下不大于偶数4m的最大奇数，由引理4和引理6以及引理7可知，那么筛除后集合{1，3，5，7，9，…，M}中剩下元素的个数X可转化为下列计算公式：

X=W-W/pi=W（1-1/pi）。

（2）、当偶数2m中不含有奇素数因子pi（i=1，2，3，…，t）时，对于集合{pi，3pi，5pi，7pi，9pi，…，（2mi-1）pi}中任一奇数g：

①、当奇数g小于偶数2m时，则奇数（2m+g）不能被奇素数pi整除；

②、当奇数g大于偶数2m而小于偶数4m时，则奇数（g-2m）不能被奇素数pi整除；

其中（2mi-1）pi为该形式下不大于偶数4m的最大奇数。

①和②说明奇数（2m+g）或（g-2m）（除g=pi外）为奇合数或者为关于偶数2m的负虚合数。

在集合{1，3，5，7，9，…，M}中除了要筛除属于集合{pi，3pi，5pi，7pi，9pi，…，（2mi-1）pi}中的全体元素，同时在集合{1，3，5，7，9，…，M}中还要筛除①和②中的全部情形，即要筛除4m以内pi的全体奇数倍（除pi×1外）；还要筛除2m以内pi的全体奇数倍分别加上2m所得的奇数;还要筛除2m至4m以内3的全体奇数倍分别减去2m所得的奇数;那么由第

（2）的情形和引理4以及引理6和引理7以及引理8和引理9可知，则筛除后集合{1，3，5，7，9，…，M}中剩下元素的个数X可转化为下列计算公式：

X=W-2W/pi=W（1-2/pi）。

（3）、在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{p1，3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体元素，筛除属于集合{p2，3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中的全体元素，筛除属于集合{p3，3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}中的全体元素，…，筛除属于集合{3pr，5pr，7pr，9pr，…，（2mr-1）pr}中的全体元素筛，…，筛除属于集合{pt，3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}中的全体元素，以及筛除关于偶数2m的全体负虚合数；根据上述

（1）和

（2）中分析的情形，由引理5和引理7以及引理8可知，我们可以把按照上述这样的情形筛除后集合{1，3，5，7，9，…，M}中最后剩下元素的个数转化为下列计算公式：

Y=[t[t-1…[3[2[1W（1-d1/p1）1]（1-d2/p2）2]（1-d3/p3）3]…t-2]（1-dt-1/pt-1）t-1]（1-dt/pt）t]，其中di=1或2（i=1，2，3，…，t）。

第1、当偶数2m中含有奇素数因子pi时，那么di取值为1；

第2、当偶数2m中不含有奇素数因子pi，（2m-pi）为奇素数时那

么di取值为2。

对于上述计算公式Y=[t[t-1…[3[2[1W（1-d1/p1）1]（1-d2/p2）2]（1-d3/p3）3]…t-2]（1-dt-1/pt-1）t-1]（1-dt/pt）t]而言，由上述第

（2）和第（3）分析的情形可得，原因是：

Y1=W（1-d1/p1）；

Y2=W（1-d1/p1）-[W（1-d1/p1）]d2/p2=[2[1W（1-d1/p1）1]（1-d2/p2）2]；

Y3=[2[1W（1-d1/p1）1]（1-d2/p2）2]-[2[1W（1-d1/p1）1]（1-d2/p2）2]d3/p3+e3=[3[2[1W（1-d1/p1）1]（1-d2/p2）2]（1-d3/p3）3]；

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Yt=Y=[t[t-1…[3[2[1W（1-d1/p1）1]（1-d2/p2）2]（1-d3/p3）3]…t-2]（1-dt-1/pt-1）t-1]（1-dt/pt）t]。

所以从上述

（1）和

（2）以及（3）中分析的情形可知，实际上可能没有被筛除的奇数的个数比数值Y要大得多。

（ⅲ）、我们假定偶数2m中均不含有奇素数因子p1，p2，p3，…，

pt；并且把奇数p1，（2m+p1），p2，（2m+p2），p3，（2m+p3），…，pt，（2m+pt）等等均看作要筛除；那么可得如下情形：

X1=W（1-2/p1），由第（ⅱ）中

（2）的情形可知，当偶数2m中不含有奇素数因子pi（i=1，2，3，…，t）时，对于集合{pi，3pi，5pi，7pi，9pi，…，（2mi-1）pi}中任一奇数g：

①、当奇数g小于偶数2m时，则奇数（2m+g）不能被奇素数pi整除；

②、当奇数g大于偶数2m而小于偶数4m时，则奇数（g-2m）不能被奇素数pi整除；

在集合{1，3，5，7，9，…，M}中除了要筛除属于集合{pi，3pi，5pi，7pi，9pi，…，（2mi-1）pi}中的全体元素，同时在集合{1，3，5，7，9，…，M}中还要筛除①和②中的全部情形，即要筛除4m以内pi的全体奇数倍，还要筛除2m以内pi的全体奇数倍分别加上2m所得的奇数，还要筛除2m至4m以内3的全体奇数倍分别减去2m所得的奇数，又因为集合{pi，3pi，5pi，7pi，9pi，…，（2mi-1）pi}中的全体元素的个数与在集合{1，3，5，7，9，…，M}中要筛除①和②中的全部情形的全体元素的个数相等，并且集合{pi，3pi，5pi，7pi，9pi，…，（2mi-1）