结合案例解读小学阶段图形与几何.docx

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结合案例解读小学阶段图形与几何

结合案例解读小学阶段“图形与几何”的三个核心概念

新课标在《图形与几何》领域的核心概念主要有：

空间观念、几何直观、推理能力。

【空间观念】：

空间观念在学术文献中的基本解释:

所谓的空间观念,是指物体的形状、大小、方向、各部分之间的位置关系、变化等特征在人们头脑中留下的表象。

表象就是一个初步感知,即一提到某个几何图形学生就能在头脑中再现出几何图形的形象,能了解其某些基本特征。

2011课标中的空间观念：

主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

《图形与几何》的课程内容主要有：

图形的认识、图形的测量、图形的运动、图形与位置。

如何在这些内容的教学中，体现空间观念培养？

一、如何以“认识图形”为载体，发展空间观念。

“认识图形”实际也属于“概念教学”，那么它在教学过程中不仅要遵循概念教学的规律，还需突出空间观念的培养。

（实际我们通常教的图形的认识，也在培养空间观念，我们今天提空间观念培养是希望更鲜明一点，更强烈一点。

）

（一）充分感知，培养空间观念。

小学生思维以直观形象为主逐步向抽象过渡，他们对物体的认识在一定程度上主要依赖于直觉观察。

因此教师要按照儿童认识事物的规律，运用感知规律使学生获得空间与图形的鲜明表象，积累丰富的感性经验，培养空间观念。

《标准》中较多地使用这样的表述，这实际上明确了认识图形的过程和方式。

通过观察、操作，认识……结合实例（生活情境）了解……通过实物和具体模型，了解…

（1）视觉与思维结合。

无论哪一种图形的基本认识，小学阶段都依赖实物、模型，提供给学生充分观察，交流、体验的机会。

长方体、正方体、长方形、正方形、平行四边形、三

角形、梯形、圆的认识都是从具体物体上剥离后抽象形成的，都从具体走向抽象。

线段、射线、直线也不例外。

不过射线、直线在生活中找不到，从抽象到抽象小学生很难接受，我们老师创造出从地球射向月球的一束激光，有无穷的能量，外

加没有任何阻挡，创造了所谓的“射线”实体，让学生通过视觉和合理想象，“直观”感知射线。

这为学生建立射线正确的表象提供方便。

（当然也有老师在课堂

上利用红外线笔，进行教学的，效果是相同的，更贴近学生……）

（2）语言（听觉）与思维结合。

（重视语言的描述表达）

《数学课程标准》指出能描述实物或几何图形的形状、大小、运动和变化，能采

用适当的方式描述物体间的相互关系”，所以老师要积极鼓励学生从不同的角度观察

物体，练习用语言来进行概括描述，让他们有较多的机会去参与活动，从语言表达和听觉上感知空间观念，不断地丰富他们的空间经验，使空间观念得到形成和巩固。

这比观察实物有较大的难度，但是对学生建立空间观念有很大的好处，这是在观察基础上的一个飞跃。

例如数数长方体有多少条棱，棱与棱之间有什么关系；有多少个面，面与面之间有什么关系等。

那么相对与射线和直线教学中，哪种语言更能显示学生空间观念的培养？

（是线段有两个端点，有限、可以度量，射线有一个端点，无限长，不可以度量……还是想象一下这束激光如果有无穷的能量，没有任何阻挡，会怎样？

这条线是从哪里到哪里？

）

（3）操作与思维的结合。

教师根据教学内容可以设计学生动手操作环节，操作是智力的源泉，思维的起

点”教学时老师不但要重视引导观察，而且要重视让他们变被动听讲到一起动手、共同参与，亲身操作。

多种形式的操作能使他们的视觉、触觉协调起来，充分发挥其内

化功能，以丰富他们的空间观念。

例如轴对称图形教学中，教师出示:

图形时，教师剪下一半，问另一半如何放置就是轴对称图形，学生展开丰富的想象与

动手验证操作过程（图略），培养学生空间观念。

这种例子在教学中举不胜举。

在线段、射线和直线中有没有学生操作环节？

操作环节必须要结合内容展开。

在线段、射线和直线一课中建议安排一个操作环节。

在纸上画出一条射线。

想象一下学生会怎样画？

无限延长

这一操作活动不仅仅是一种符号的创造（有人认为这个没有必要，这只是一种规定，规定射线就是这样画的）然而我们希望更突出的是学生通过操作交流，帮助学生在脑中对射线的深度刻画和正确理解，形成正确的表象，培养空间观念。

（二）、辨析中让认识更具深刻性，推进空间观念的形成。

每一种概念的建立，都必须经过辨析，进一步抽象的过程，图形的认识也不例外。

通过辨析加强空间观念。

例如：

轴对称图形的认识，前面老师提供大量的素材感知，让学生初步感知对折、直线两边完全重合。

那么学生是否对每一个

关键词都能真正理解？

是否真的对轴对称图形正确把握，能形成正确的表象？

显

然不是的。

案例：

判断下列是否是轴对称图形：

那么在线段、射线和直线图形认识中，请问“下列哪些图形是射线？

”是

否是对射线的辨析？

如果是，那么还在哪里对射线又进行了实质性的辨析？

（生

活中去寻找射线，对于教学的难点一一“无限”，小学生是很难构建的，引入时射线是建立在教师创造的具体事物上的，但现实中是没有的，如何把原先的借助的具体撤掉，形成真正的射线表象，需要一个辨析。

空间观念就在这一个个过程中逐步形成。

（三）给予想象的空间和时间，发展空间观念。

发展空间观念，都离不开一个“想”的过程。

没有想象，就没有空间观念的形成。

所以在教学时我们必须要建立这种意识，尽可能创造机会，给予学生想象

的空间与时间，发展他们的空间观念。

例如：

判断：

是否是轴对称图形，学生判断后，一般教学都是直接

让学生动手操作验证，我们就希望在这种环节里给予孩子想象的时间和空间，请

同学们在脑中折一折，再作出选择？

我们可以看出学生在变化，这就是给予学生想象的空间和时间带来的变化，我们提倡先想象，再动手验证，这样有利于发展

学生的空间想象力，促进空间观念的形成。

长正方体的展开图从平面到立体的转换，也充分说明这一点，在操作之前先想象，对于空间观念的培养更有效。

同样在射线和直线的教学过程中，教师一直再引导学生想象射线是怎样的？

直线又是怎样的，最后要求学生闭眼想象……在这个过程中逐步建立射线和直线的表象。

这一空间和时间，有时也隐含在题目里，如：

丨丨你看到了什

么图形？

这里不仅呈现出了线段、直线、射线，还蕴含着关系。

二、如何以“图形的测量”为载体，发展空间观念。

对于图形，人们往往首先关注它的大小。

一般地，一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。

图形的大小是可以度量的，度

量的关键是设立单位，而度量的实际操作就是测量。

（一）体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识，培养学生的空间观念。

1、体会建立统一度量单位的重要性。

在教学长度单位的认识时，经常有老师问为什么要讲统一单位？

原来的教学中学生就是直接认识长度单位，学习度量单位有什么价值？

以教材为例谈一谈：

学生第一次学习长度单位，教材呈现的例1，并没有上来就认识厘米，而是创设了一个活动的情境：

让学生测量数学书封面，有的学生用两个硬币或者两个三角形，两个曲别针进行测量。

这个活动使学生感受用不同的测量工具，测量出不同的物体长度。

然后例2是开始学习厘米的认识。

度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。

《2011版数学课程标准》特别强调，要结合生活实际，经历用不同方式，测量物体长度的过程，让学生去体会建立统一度量单位的重要性。

所以教师在教学实践中，应该坚持把让学生体会了统一度量单位的重要性这个环节设计好，让

学生经历完整“度量单位”的从形成到产生的过程。

由此看来，关于让学生体

会建立统一的度量单位的重要性，不仅要在长度的测量中给予关注，在面积和体积的测量中，仍要让学生去感受，测量从单位开始。

指向空间观念中的“大小”，

它是基础。

2、理解与把握度量单位的实际意义，测量结果的感悟，突出空间观念的培养。

《标准》在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。

进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及到了对单位的理解，空间观念的培养。

单位（长度，面积、体积）不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的实际意义。

例如，学生初步了解1厘米、1分米、1米后，让学生画一画，手势表示一下1厘米、1分米、1米的长度，再用尺验证一下，逐步形成单位长度的表象，生活中哪些物体的长度大约为1厘米、1分米、1米，用熟悉的物体的长度，对脑中的单位长度，进行具体呈现……一系列的活动，突出对单位真正的理解，空间观念的切实培养。

对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。

关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小。

例如：

一个成人的身高为175（），应当选择cm而不是mm作为单位，这是对认识长度单位地深化理解。

3、重视估测及其简单应用估测或估计是《标准》突出强调的内容。

估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。

如出示一个长方形，让学生先估后侧。

体现了空间观念的培养。

估测与精确测量之间有着密切的关系。

生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位很好的认识与把握、对图形度量知识的掌握，以及具有一定的空间观念。

（二）如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想方法，积累数学活动经验，培养学生的空间观念。

关于规则图形的度量属于规则教学。

规则教学是以概念学习为基础的，它的复杂性和学习层次，高于概念学习。

小学图形与几何教学中的规则教学主要内容是形体求积。

（包括平面图形的周长和面积计算；立体图形的表面积和体积计算。

）案例：

平行四边形的面积学习背景：

本节课是在学生理解面积概念，面积单位平方厘米，平方分米、平方米。

理解一个面的面积就是它所含面积单位的多少。

并获得了求长正方形面积的经验。

认识了平行四边形和它的底和高。

【教学片段1】

出示一个平行四边形求它的面积，要求学生用尺量一量，列个算式。

学生出现三种情况：

（1）（7+5）X2=24（平方厘米）

（2）7X5=35（平方厘米）

（3）7X3=21（平方厘米）

方法一：

提问：

7是什么？

5是什么？

他求的是什么？

方法三：

这个3是哪里来的？

他是怎么思考的？

（学生阐述）

方法二：

他是怎样求的？

生：

平行四边形容易变形，容易变成长方形，长方形面积是长乘宽，那么平行四边形面积就是底乘邻边。

教师顺着学生的思路，拿出框架，画出一个平行四边形，让学生上台拉成一个长方形，如下:

得出：

长方形面积=长乂宽—/_7

卄J）/V

平行四边形面积=底乂邻边

师：

有没有不同意见？

生：

平行四边形拉成长方形以后，面积变了。

所以长方形面积不等于平行四边形的面积。

生：

拉了以后，面积变大了。

师：

你们哪里看出面积变了？

生上台演示……变大了。

师：

方法三可以吗？

为什么?

学生演示:

得出：

长方形面积=长乂宽

教师提问：

为什么刚才拉成长方形不能求，现在通过割补弄成的长方形就能求平行四边形的

面积了呢？

【从以上教学中，学生体验到图形的变换中，拉周长不变，面积变了。

而通过割补的方法进行图形的变换，面积不变。

从而构建平行四边形的面积大小和底和高的长短有关。

建立线与面的关系，培养学生的空间观念】

【片段2】练一练：

先画一画，再列出算式求面积。

底是6厘米，邻边5厘米，高4厘米。

【一般情况下，教师在学生获得底乘高求平行四边形的面积，都是直接希望学生运用公式计算平行四边形的米面积，但这里的设计却是让学生再经历图形的割补变换，形变积不变，通过体验进一步培养空间观念】

【片段3】

算一算：

底是6厘米，高是4厘米的平行四边形的面积是多少？

你们算的是一个怎样的长方形？

请把它在方格纸上画出来。

（鼓励画出不同的平行四边形。

学生得出：

等地等高的平行四边形面积相等。

师：

这句话倒过来怎么说？

生：

面积相等的平行四边形等地等高。

师：

这样说对吗？

学生又陷入争议中……不对，例如……【图形的测量教学不仅仅是为了测量而测量，通过测量，我们还需要推进学生空间观念的培养，通过计算，并画出面积是24平方厘米的平行四边形，让学生感受到的是等积变形，通过对等地等高的平行四边形面积相等的倒叙“面积相等的平行四边形等地等高”学生又展开一系列的空间想象，否定倒叙……】《标准》还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。

例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想，培养空间观念。

【直观几何】：

2011版新课标中对核心概念“几何直观”的解释：

主要是指利用图形描述

和分析问题。

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索

解决问题的思路，预测结果。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力。

数学逻辑与数学直观是相互交织关联的。

直观中有逻辑，逻辑中有直观。

例如：

你是老师，有件紧急的事情要通知给同学，用打电话的方式，每分钟通知1人，给你3分钟的时间，能使多少人收到通知？

大胆的猜测一下。

学生借助图形研究的例子。

利用线段、点以图形的形式，来描述打电话来通知这件事情，设计方案。

通过这个数图就把这个复杂的数量关系，很简明很直观的呈现出来，而且从这个图本身，就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍，否则你算是算不出来，看图就看出来了。

通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。

如何培养学生的“几何直观”意识和能力？

用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论问题、思考问题，这是一种基本的数学素养，几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和

揭示思考，讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想。

培养学生几何直观能力，是新教材的要求，也是提高学生数学素养的要求。

如何培养学生的“几何直观”意识和能力，下面就三年级数学《搭配》教学片段谈谈感受！

【片段1】教师出示问题情景，两件上装（一件长衣、一件长衣）三件下装

（长裤、短裤、裙子）一件上装配一件下装，有几种穿法？

生1：

2种穿法。

生2：

5种。

生3：

6种。

师：

在纸上配一配，让人家一看就知道你是怎样配的

【片段透视】我们从片段1的设计来看，展示问题情景，引发认知冲突，产生直观几何的需求。

【片段2】学生反馈:

师：

你赞成哪一种，说说理由？

生：

我赞成第二个，因为她不重复不遗漏，找全了。

而第一种，找着找着，就漏了。

师：

读一读。

生1和生2写的。

（生齐声朗读）

师：

为什么一个找着找着就找全了，另一个找着找着就漏了呢？

生：

因为第二个在找的时候是有序的，另一个是无序的，乱了，所以漏了。

【片段透视】形式化语言的直观，是直观几何的原型。

【片段3】师出示生3图，看得懂吗？

生：

我知道，两个圆表示的是两件上衣，三个三角形表示三件下装。

师：

和生2比较，如果让你再选择一种方法的话，你会选择哪一种？

生：

生3的，因为它既能清楚的表示，让人一看就清楚，又很简单。

【片段透视】读懂别人的直观几何图，也是一种直观几何能力的进步，在直观中我们不难看出解决此类问题的数学模型。

几何直观可以培养学生的直观洞察能力。

【片段4】师出示生4图，说说你的看法。

生：

生4对是对的，不过她不像生3表达的更清楚，上面画的是圆，下面画的还是圆，没有区分上衣和下装。

【片段透视】丰富直观几何的经验，追求几何直观合理的表达。

从上面的教学片段我们不难发现，几何直观能力的功能主要是较好的理解数学本质和促进学生思维的发展。

要培养学生几何直观意思与能力，我们需要关注以下几点：

（一）善于创设情景，产生对直观几何的需求，能感受到几何直观的价值。

由交流、理解与解决问题的困惑，而产生对“几何直观”的需求

（二）亲身经历，体验，探索，。

几何直观的运用意思和能力，不是靠传授能真正获得的，它必须在自己的亲身实践、探索中体验而获得……

（三）处理好直观与抽象的关系。

感受到没有几何直观，很难抽象；虽然抽象成很简单的数学模型，但能经历反思，感受到它的源头——几何直观的好。

所以我们应该在课的小结和总结中关注对这方面的总结与提炼。

（四）丰富几何直观数学活动的经验积累。

直观几何与个人的经验、经历有关，一种意思和能力的得来，不是一蹴而就的，他需要很多的活动经验的积累，逐步形成的。

就如在《搭配》一课中，五个圆表示上衣和下装是否合适的交流中，积累几何直观的合理表达。

平时练习需要关注这方面，让其不断积累这方面成功经验。

希尔伯特曾经说过：

“图形可以帮助我们刻画描述数学问题，图形可以帮助我们找到解决数学问题的思路，图形能帮助我们理解和记忆我们所得到的数学结果。

”这句话中包含了三层意思：

第一层意思，图形可以帮助刻画和描述问题。

一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单；第二个层意思，图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路；第三层意思，图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。

让我们一起有智慧的分享“几何直观”