初中九年级数学几何定理符号语言.docx

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初中九年级数学几何定理符号语言

初中九年级数学几何定理符号语言

初中数学“图形与几何”内容       

九年级上册

51、旋转：

（1）定义：

把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转。

（2）性质：

对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。

52、中心对称：

（1）定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

（2）性质：

中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。

53、中心对称图形：

（1）定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

（2）中心对称图形的举例。

54、关于原点对称的点的坐标：

点P（x，y）关于原点的对称点为P´（-x，-y）。

55、垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

56、推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

注：

（1）上述定理中，共有五个条件，即：

①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，这五个条件中知其中二个可得另外三个。

（2）相关计算：

垂径定理的基本图形中，若半径OC、弦心距OE、弦CD（或弦的一半）、弓形高BE这四个量，知其中二个可求得另外二个。

所以在相关题目中，可根据具体情况作出相应的辅助线。

具体公式为：

BE+OE=OB，OC2+CE2=OC2。

57、弧、弦、圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等（或所对弦的弦心距相等）。

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦（或两弦的弦心距）中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

58、圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

59、圆周角定理的推论：

（1）①半圆（或直径）所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

60、圆内接四边形的性质：

圆内接四边形的对角互补。

61、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

62、切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（常用辅助线：

连半径，证垂直；作垂直，等半径。

）

63、切线的性质：

圆的切线垂直于过切点的半径。

（辅助线：

作过切点的半径）

64、切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

附几个特殊图形：

65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种位置关系的数量关系及判断方法：

位置关系名称

公共点个数

数量关系

说明

点和圆

点在圆外

无

d>r

d:

点到圆心的距离

r:

圆的半径

点在圆上

d=r

点在圆内

d

直线和圆

相离

0个

d>r

d:

直线到圆心的距离

r:

圆的半径

相切

只有1个

d=r

相交

2个

d

圆和圆

外离

0个

d>r1+r2

d:

圆心距

r1、r2:

圆的半径

（r1

外切

只有1个

d=r1+r2

相交

2个

r2-r1

内切

只有1个

d=r2-r1

内含

0个

d

66、三角形的外心和内心：

（1）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三

角形的外心在三角形外。

（2）三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等；

（3）三角形的内心是三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。

67、正多边形：

68、弧长公式：

L=nπR／180（n：

圆心角度数；R：

半径）

69、扇形面积：

S扇形=nπR／360=LR／2（n：

圆心角度数；R：

半径；L：

弧长）

70、求阴影部分的面积：

认真观察图形，注意图形特征。

71、圆锥与扇形的关系：

（1）圆锥的母线（PB）是其侧面展开图扇形的半径；

圆锥的底面圆周长是其侧面展开图扇形的弧长。

（2）圆锥的母线（PB）、圆锥的高（PO）、底面圆半

径（OB）构成一个直角三角形。

72、圆的两条平行弦所夹的弧相等。

73、与半径相等的弦所对的圆心角是60°。

九年级下册

74、相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

（以相似三角形为例）

几何语言：

如左图所示：

∵△ABC∽△DEF

∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==

75、相似比为1时，相似的两个图形全等。

76、平行线分线段成比例定理：

①三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

应用于三角形中，会出现以下两种情况：

②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

77、三角形相似的判定方法：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

几何语言：

如图所示：

∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

几何语言：

如图所示：

（2）∵==∴△ABC∽△DEF

（3）∵=，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF

（4）∵∠A=∠D，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF

第（3）（4）还有其它情况，也成立。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

78、相似直角三角形的判定方法：

①一般三角形相似的判定方法也适用。

②满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。

几何语言：

如图所示：

②∵=（或=）

∴△ABC∽△DEF

79、相似多边形（三角形）的相关量的比：

①相似多边形（三角形）周长的比等于相似比；相似三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。

②相似多边形（三角形）面积的比等于相似比的平方。

78、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或—k。

80、锐角三角函数：

（1）定义：

如右图，sinA=cosB=

，sinB=cosA=

，tanA=

，tanB=

。

（2）特殊角的三角函数值：

30°

45°

60°

（正弦）sin

（余弦）cos

（正切）tan

1

81、解直角三角形：

（1）定义：

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。

（元素指三边和两个锐角）

（2）求解过程中，用到的关系：

①三边关系：

a2+b2=c2（勾股定理）；②两锐角之间的关系：

∠A+∠B=90°；③边角之间的关系：

sinA=cosB=

，sinB=cosA=

，tanA=

，tanB=

。

（3）用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形问题）；

→根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；

→得到数学问题的答案；

→得到实际问题的答案。

82、投影与视图：

（1）平行投影、中心投影、正投影:

①定义：

由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影；投影线垂直于投影面产生的投影是正投影。

②当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。

（2）三视图：

①三视图分别为主视图、左视图、俯视图；（在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图。

）

②三种视图的位置如右图：

③画几何体的三视图时，要注意“长对正、高平齐、宽相等”（主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等），还要注意看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线。

④根据三视图说出立体图形的名称：

要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形。

常用辅助线：

1、连接AB。

3、延长AB到C，使BC=AB。