学年山西省太原市下学期期中考试八年级数学试题含答案.docx

学年山西省太原市下学期期中考试八年级数学试题含答案.docx

《学年山西省太原市下学期期中考试八年级数学试题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年山西省太原市下学期期中考试八年级数学试题含答案.docx（35页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

学年山西省太原市下学期期中考试八年级数学试题含答案

2020-2021学年八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．2m＜3nB．2+m＞2+nC．2﹣m＞2﹣nD．

＜

3．在平面直角坐标系内，将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（　　）

A．（1，1）B．（3，3）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）

4．下列因式分解变形正确的是（　　）

A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2

C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）

5．下面四个命题：

①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

6．五四青年节临近，小强在准备爱心捐助活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5%，在实际售卖时，该书包最多可以打（　　）折．

A．8B．8.5C．7D．7.5

7．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（　　）

A．x＜﹣1B．x＜﹣2C．x＞﹣1D．x＞﹣2

8．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．

A．24B．27C．30D．33

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　）

A．40°B．36°C．30°D．25°

10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2021的坐标为（　　）

A．（12129，0）B．（12129，3）C．（12132，0）D．（12132，3）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．因式分解：

3x2﹣6x＝　　．

12．根据数量关系：

x的3倍与1的差不大于2，可列不等式　　．

13．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设　　．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝3，则EC的长为　　．

15．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为　　．

16．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：

①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为6；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝24+12

；⑤S△BOC＝12+16

．其中正确的结论是　　（填序号）．

三、解答题（本大题共7个小题，共52分。

解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．

（1）解不等式：

3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．

（2）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解：

．

18．分解因式：

（1）a3b﹣2a2b2+ab3；

（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2．

19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．

（1）将△ABC沿x轴向左平移7个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．

（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出线段AB扫过的面积为　　．

20．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：

BE⊥AC．

21．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．

（1）求甲、乙两种笔记本的单价；

（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？

22．阅读下面材料，并解决相应的问题：

在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：

（1）分别以A，B为圆心，大于

AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）再分别以A，B为圆心，大于

AB长为半径作弧，两弧交于点D；

（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．

同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：

连接AC，BC，AD，BD．

由作图可知：

AC＝BC，AD＝BD．

∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：

　　）．

∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：

　　）．

（1）请你将小明证明的依据写在横线上；

（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．

23．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．

（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系　　．（直接写结论，不必说明理由）

（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．

（3）如图4，若α＝120°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系为　　．

附加题

24．如图，边长为8

的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是　　．

25．如图，A（0，3）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB∥x轴，求t的值；

（2）如图2，当t＝2时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．

参考答案

一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分，每小题的四个选项中，只有一个正确答案，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．

故选：

C．

2．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．2m＜3nB．2+m＞2+nC．2﹣m＞2﹣nD．

＜

【分析】根据不等式的性质解答．

解：

A、若m＝3，n＝﹣2，则2m＞3n，故不符合题意．

B、若m＞n，则2+m＞2+n，故符合题意．

C、若m＞n，则2﹣m＜2﹣n，故不符合题意．

D、若m＞n，则

＞

，故不符合题意．

故选：

B．

3．在平面直角坐标系内，将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（　　）

A．（1，1）B．（3，3）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）

解：

将点A（﹣1，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得点的坐标是（﹣1+2，2﹣1），

即（1，1），

故选：

A．

4．下列因式分解变形正确的是（　　）

A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2

C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）

解：

∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；

a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；

﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；

a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．

故选：

B．

5．下面四个命题：

①对顶角相等；②同旁内角互补，两直线平行；③全等三角形的对应角相等；④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

解：

①对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；

②同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题；

③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，符合题意；

④如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为如果两个实数相等，那么这两个实数的平方也相等，正确，为真命题，

真命题有2个，

故选：

B．

6．五四青年节临近，小强在准备爱心捐助活动中发现班级同学捐赠的一个书包的成本为60元，定价为90元，为使得利润率不低于5%，在实际售卖时，该书包最多可以打（　　）折．

A．8B．8.5C．7D．7.5

解：

设在实际售卖时，该书包可以打x折，

依题意得：

90×

﹣60≥60×5%，

解得：

x≥7．

故选：

C．

7．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（　　）

A．x＜﹣1B．x＜﹣2C．x＞﹣1D．x＞﹣2

解：

观察图象可知，当x＜﹣1时，直线y＝2x落在直线y＝k+b的下方，

∴不等式2x＜kx+b解集为x＜﹣1，

故选：

A．

8．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．

A．24B．27C．30D．33

解：

过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，

∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，

∴OE＝OD＝3，

同理可得OF＝OD＝3，

∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC

＝

×OE×AB+

×OD×BC+

×OF×AC

＝

（AB+BC+AC），

∵△ABC的周长是18，

∴S△ABC＝

×18＝27（cm2）．

故选：

B．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　）

A．40°B．36°C．30°D．25°

【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．

解：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵CD＝DA，

∴∠C＝∠DAC，

∵BA＝BD，

∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，

设∠B＝α，

则∠BDA＝∠BAD＝2α，

又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，

∴α+2α+2α＝180°，

∴α＝36°，

∴∠B＝36°，

故选：

B．

10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的Rt△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2021的坐标为（　　）

A．（12129，0）B．（12129，3）C．（12132，0）D．（12132，3）

【分析】根据点A（3，0），B（0，4）得AB＝5，再根据旋转的过程寻找规律即可求解．

解：

∵∠AOB＝90°，

点A（3，0），B（0，4），

根据勾股定理得AB＝5，

根据旋转可知：

OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，

所以点A1（12，3），A2（15，0）；

继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；

…

发现规律：

A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），

∵2021＝2n﹣1，

∴n＝1011，

∴点A2021的坐标为（12132，3），

故选：

D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．因式分解：

3x2﹣6x＝　3x（x﹣2）　．

【分析】直接提取公因式3x进而分解因式即可．

解：

3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．

故答案为：

3x（x﹣2）．

12．根据数量关系：

x的3倍与1的差不大于2，可列不等式　3x﹣1≤2　．

【分析】关系式为：

x的3倍﹣1≤2．

解：

根据题意，得3x﹣1≤2．

故答案是：

3x﹣1≤2．

13．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设　三角形中最少有两个内角是直角　．

【分析】根据反证法的一般步骤，先假设结论不成立．

解：

用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设三角形中最少有两个内角是直角，

故答案为：

三角形中最少有两个内角是直角．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，BE＝3，则EC的长为　6　．

【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠C＝30°，连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再利用等边对等角求出∠BAE＝∠B＝30°，然后求出∠CAE＝90°，由直角三角形的性质即可得到结论．

解：

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝

（180°﹣120°）＝30°，

连接AE，

∵AB的垂直平分线交BC于E，

∴AE＝BE＝3，

∴∠EAB＝∠B＝30°，

∵∠BAC＝120°，

∴∠EAC＝90°，

∴CE＝2AE＝6．

故答案为：

6．

15．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为　（4，1）　．

【分析】分别过A，A′向y轴引垂线，可得△A′EC≌△ADC，利用全等得到A到x轴，y轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标．

解：

作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，

∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，

∴△A′EC≌△ADC（AAS），

∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，

∵OD＝3，OC＝1，

∴CD＝2，

∴CE＝2，

∴OE＝1，

∴点A′的坐标为（4，1）．

故答案为：

（4，1）．

16．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：

①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为6；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO'＝24+12

；⑤S△BOC＝12+16

．其中正确的结论是　①③⑤　（填序号）．

【分析】证明△BO′A≌△BOC即可说明△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；

根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，则点O与O'的距离为8，故②错误；

利用：

四边形AOBO'的面积＝等边△BOO′面积+Rt△AOO′面积，进行计算即可判断，故④错误；

∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故③正确；

过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，根据三角形的面积公式即可得到S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16

﹣12＝12+16

，故⑤正确．

解：

在△BO′A和△BOC中，

，

∴△BO′A≌△BOC（SAS），

∴O′A＝OC．

∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；

如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，

∴点O与O'的距离为8，故②错误；

在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．

∴Rt△AOO′面积＝

×6×8＝24，

又等边△BOO′面积＝

×8×4

＝16

，

∴四边形AOBO'的面积为24+16

，④错误；

∵∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；

如图2，过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，

∵∠AOB＝150°，

∵∠AOB＝150°，

∴∠BOE＝30°，

∵OB＝8，

∴BE＝4，

∴S△AOB＝

×4×6＝12，

∴S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16

﹣12＝12+16

，故⑤错误，

故答案为①③⑤．

三、解答题（本大题共7个小题，共52分。

解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．

（1）解不等式：

3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．

（2）解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解：

．

【分析】

（1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可；

（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可求得所有非负整数解．

解：

（1）3（x+1）≤5x+7，

去括号得，3x+3≤5x+7，

移项得，3x﹣5x≤7﹣3，

合并同类项得，﹣2x≤4，

把x的系数化为1得，x≥﹣2．

在数轴上表示为：

；

（2）

，

由①得，x＞﹣1，

由②得，x≤2．

故不等式组的解集为：

﹣1＜x≤2．

在数轴上表示为；

，

它的非负整数解有0，1，2．

18．分解因式：

（1）a3b﹣2a2b2+ab3；

（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2．

【分析】

（1）直接提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式即可；

（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．

解：

（1）a3b﹣2a2b2+ab3

＝ab（a2﹣2ab+b2）

＝ab（a﹣b）2；

（2）（x﹣2y）2﹣（2x+y）2

＝（x﹣2y+2x+y）（x﹣2y﹣2x﹣y）

＝（3x﹣y）（﹣x﹣3y）

＝﹣（3x﹣y）（x+3y）．

19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．

（1）将△ABC沿x轴向左平移7个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．

（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出线段AB扫过的面积为　

　．

【分析】

（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．

（2）分别作出B，C的对应点B2，C2即可，利用扇形的面积公式求出AB扫过的面积．

解：

（1）如图，△A1B1C1即为所求作．

（2）如图，△AB2C2即为所求作．线段AB扫过的面积＝

＝

故答案为：

．

20．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：

BE⊥AC．

【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论；

【解答】证明：

∵AD⊥BC，

在Rt△BDF和Rt△ADC中

，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）

∴∠C＝∠BFD，

∵∠DBF+∠BFD＝90°，

∴∠C+∠DBF＝90°，

∵∠C+∠DBF+∠BEC＝180°

∴∠BEC＝90°，

即BE⊥AC；

21．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，需花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，需花费200元．

（1）求甲、乙两种笔记本的单价；

（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？

【分析】

（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记本10个，乙种笔记本5个，共花费125元；若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本10个，共花费200元．列出方程组，可求解；

（2）设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解．

解：

（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，

由题意可得：

，

解得：

，

答：

购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；

（2）设需要购买a个甲种笔记本，

由题意可得：

10a+5（35﹣a）≤300，

解得：

a≤25，

答：

至多需要购买25个甲种笔记本．

22．阅读下面材料，并解决相应的问题：

在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：

（1）分别以A，B为圆心，大于

AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）再分别以A，B为圆心，大于

AB长为半径作弧，两弧交于点D；

（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．

同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：

连接AC，BC，AD，BD．

由作图可知：

AC＝BC，AD＝BD．

∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：

　线段的垂直平分线的性质　）．

∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：

　线段的垂直平分线的判定　）．

（1）请你将小明证明的依据写在横线上；

（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．

【分析】

（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可．

（2）作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可．

解：

（1）连接AC，CB，AD，DB．

由作图可知：

AC＝BC，AD＝BD．

∴点C，点D在线段的垂直平分线上（线段的垂直平分线的性质）．

∴直线就是线段的垂直平分线（线段的垂直平分线的判定）．

故答案为：

线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线的判定．

（2）如图所示：

23．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．

（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系　BC＝2BD　．（直接写结论，不必说明理由）

（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．

（3）如图4，若α＝120°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系为　BC＝BD+

BP　．

【分析】

（1）先补全图形，再连接CD，可得△CPD是等边三角形，从而推出BC是PD的垂直平分线，即可得到结论；

（2）取BC的中点F，连接PF，推出△BPF是等腰直角三角形，从而得BF＝

BP，再证明△BDP≌△FCP，进而即可求解；

（3）由△BDP≌△FCP，可得BD＝CF，从而得

PF＝

BP＝BF，进而即可得到结论．

解：

（1）补全图形如下：

线段BD和BC之间的数量关系是BC＝2BD，

理由如下：

连接CD，

∵线段PC绕点P顺时针旋转α＝60°得到