天津市十二重点中学耀华中学 天津一中等届高三毕业班联考一数学理含答案.docx
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天津市十二重点中学耀华中学天津一中等届高三毕业班联考一数学理含答案
2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考
（一）
数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷选择题（共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；
参考公式：
·如果事件
、
互斥，那么
柱体的体积公式
.其中
表示柱体的底面积,
表示柱体的高.
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1.设集合
，则
（）
A.
B.
C.
D.
2.设变量
满足线性约束条件
，
则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
3.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）
A．21B．58C．141D．318
4.设条件
：
函数
在
上单调递增，条件
：
存在
使得不等式
成立，则
是
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.函数
的部分图像如图所示，为了得到
的图像，只需将函数
的图象（）
A.向左平移
个单位长度B.向左平移
个单位长度
C.向右平移
个单位长度D.向右平移
个单位长度
6.已知定义在R上的函数
的图像关于
对称，且当
时，
单调递减，若
则
的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
7.设
为双曲线
上一点，
分别为双曲线
的左、右焦点，
，若
的外接圆半径是其内切圆半径的
倍，则双曲线
的离心率为（）
A.
B.
C.2或3D.
或
8．已知函数
，若方程
恰有2个不同的实数根，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.
9．
为虚数单位，已知复数
的实部与虚部相等，那么实数
_______.
10.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.
11．在平面直角坐标系
中，已知抛物线
（
为参数）的焦点为
，动点
在抛物线上.以坐标原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,动点
在圆
上，则
的最小值为__________．
12.已知
，则
的最小值为.
13.在等腰梯形中，
∥
，若
则
=_______.
14.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）
三、解答题：
本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知函数
（1）求
的单调递增区间；
（2）设
的内角
的对边分别为
，且
，若
，求
的面积．
16．（本小题满分13分）2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界。
我们学校为了让我们更好的了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛。
比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功。
每过一关可一次性获得分别为1、2、3分的积分奖励，高二、一班对三关中每个问题回答正确的概率依次为
，且每个问题回答正确与否相互独立。
（1）记
表示事件“高二、一班未闯到第三关”，求
的值；
（2）记X表示高二、一班所获得的积分总数，求X的分布列和期望。
17．（本小题满分13分）如图,
是边长为
的正方形，
，
，
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使得二面角
的大小为
？
若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
18．（本小题满分13分）已知等比数列
的前
项和为
，满足
，数列
满足
，
，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，
为
的前
项和，求
19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆
的左右顶点分别是
，离心率为
，设点
，连接
交椭圆于点
，坐标原点是
．
（1）证明：
；
（2）设三角形
的面积为
，四边形
的面积为
，
若
的最小值为1，求椭圆的标准方程．
20．（本小题满分14分）已知函数
.
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若不等式
对任意的正实数
都成立，求实数
的最大整数；
（3）当
时，若存在实数
求证：
2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考
（一）
数学理科参考答案
一、选择题:
每小题5分，满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
B
A
D
A
二、填空题:
每小题5分，共30分.
9.
；10.
；11.
；12.
；13.
；14.
.
三、解答题：
本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
（1）
由
，
得
∴函数
的单调递增区间为
.
（2）由
，得
，………………………………6分
，……………………………………7分
……………………………………………………………..8分
.……………………………………………………………..9分
又
由正弦定理得
①;……………………………………10分
由余弦定理得
，
即
，②……………………………………………………………..11分
由①②解得
.……………………………………………………………..12分
………………………………………………………13分
（注：
结果正确，但没写单调区间扣1分）
16．（本小题满分13分）
（1）方法一、令
表示事件“高二、一班闯过第一关”，
表示事件“高二、一班闯过第二关”，
-------------------------2分
-------------------------4分
则
；-------------------------5分
方法二、
（2）随机变量X的取值为：
0，1，3，6,则-------------------------6分
，-------------------------7分
-------------------------8分
----------------9分
--------------------10分
X
0
1
3
6
P
------------------------11分
．------------------------13分
17．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）证明：
因为
，
所以
.……………………2分
所以
又因为
是正方形，
所以
，
从而
平面
.……………………3分
又因为
所以
……………………4分
（Ⅱ）解：
因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系
如图所示.
则
，
，
，
，
，…………5分
，
，
设平面
的法向量为
，
即
，
则
……………………6分
所以
.…………7分
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.………………8分
（Ⅲ）解：
点
在线段
上，设
，
.……………………9分
则
，
设平面
的法向量为
，则
即
，
令
则
……………………10分
………11分
整理得：
解得：
，……………………12分
此时
.……………………13分
18．（本小题满分13分）
解：
（1）
-------------------------1分
-------------------------2分
又
-------------------------3分
由
两边同除以
，
得
，-------------------------4分
从而数列
为首项
，公差
的等差数列，所以
，
从而数列
的通项公式为
．-------------------------5分
（2）由
（1）知
------------6分
所以
-------------------------8分
设
，
则
，-------------------------9分
两式相减得
，-------------------------10分
整理得
，-------------------------12分
所以
.-------------------------13分
19．（本小题满分14分）
解：
（1）由
得，
∴
，即
，∴椭圆的方程为
，--------------------1分
由
，整理得：
---------------------------------2分
由
可得
，--------------------------------4分
则点
的坐标是
，-------------------------------------5分
故直线
的斜率为
，-------------------------------------6分
由于直线
的斜率为
，-------------------------------------7分
所以
，所以
.---------------------------------8分
（2）由
（1）知，
--------------------------9分
，--------------------------------10分
---------------------------------11分
所以当
时，
-------------------------------------12分
-------------------------------------13分
所以椭圆方程为
-----------------------------------14分
20．（本小题满分14分）
解：
（1）当
时，
当
时，
，
所以函数
在区间
上为减函数.------------------------------------1分
当
时，
令
------------------------------------2分
当
时，
；当
时，
所以函数
在区间
上为减函数，在区间
上为增函数.--------3分
且
综上，
的单调减区间为
，单调增区间为
.------------4分
（2）由
可得
对任意的正实数都成立，
即
对任意的正实数都成立.
记
，则
------------------------------------5分
可得
令
所以
在
上为增函数，即
在
上为增函数.----------------6分
又因为
所以
存在唯一零点，记为
-----------------7分
当
时，
，当
时，
所以
在区间
上为减函数，在区间
上为增函数.
所以
的最小值为
.------------------------------------8分
所以
，可得
.
又因为
所以实数
的最大整数为2.------------------------------------9分
（3）由题意
，（
）
令
，由题意可得，
当
时，
；当
时，
所以函数
在
上为减函数，在
上为增函数.----------------10分
若存在实数
，
，则
介于
之间，
不妨设
，
因为
在
上单减，在
上单增，且
------11分
所以当
时，
，
由
，可得
，故
，-----12分
又
在
上单调递减，且
，所以
.
所以
，同理
.------------------------------------13分
解得
所以
.-----------------------------------14分
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