③9≤x≤15时，ω＝（6－0.1x－3.2）×（30x＋120）＝－3x2＋72x＋336.
∵a＝－3<0，∴当x＝－
＝12时，ω最大＝768（元）．综上，当x＝12时，ω有最大值，ω最大＝768元．
（3）由
（2）小题可知m＝12，m＋1＝13.
设第13天提价a元，由题意得：
ω13＝（6＋a－p）（30x＋120）＝510（a＋1.5）．∴510（a＋1.5）－768≥48，∴a≥0.1，
答：
第13天应至少提价0.1元．
12．★（2015·山东青岛，22，10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－
x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为
m.
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
解
（1）由题意得点B的坐标为（0，4），点C的坐标为
，∴
解得
∴该抛物线的函数关系式为y＝－
x2＋2x＋4.
∵y＝－
x2＋2x＋4＝－
（x－6）2＋10，
∴拱顶D到地面OA的距离为10m.
（2）当x＝6＋4＝10时，y＝－
x2＋2x＋4＝－
×102＋2×10＋4＝
>6，∴这辆货车能安全通过．
（3）当y＝8时，－
x2＋2x＋4＝8，
即x2－12x＋24＝0，∴x1＋x2＝12，x1x2＝24，
∴两排灯的水平距离的最小值是：
|x1－x2|＝
＝
＝
＝
＝4
（m）．
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．（2013·浙江义乌，10，3分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤a≤－
；④3≤n≤4中，正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．①③
解析 ∵A（－1，0）在抛物线上，∴a－b＋c＝0.∵顶点坐标为（1，n），∴b＝－2a，抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（3，0）．∵开口方向向下，∴a＜0.∴x＞3时，y＜0，故①正确；∵b＝－2a，∴b＋2a＝0，∴b＋3a＝a＜0，②错误；∵a－b＋c＝0，b＝－2a，∴c＝－3a.∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－
，③正确；∵a＋b＋c＝n，b＝－2a，∴a－c＝－n，∵c＝－3a，∴n＝－4a，∴－1≤－
≤－
，∴
≤n≤4，④错误，故选D.
答案 D
2．（2013·浙江杭州，10，3分）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝
的图象
①如果
＞a＞a2，那么0＜a＜1；
②如果a2＞a＞
，那么a＞1；
③如果
＞a2＞a，那么－1＜a＜0；
④如果a2＞
＞a时，那么a＜－1.则（ ）
A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④
C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③
解析 如图分析：
联立组成方程组可得：
解得x＝1或x＝－1，所以交点坐标为（1，1）和（－1，－1），由图得①描述正确．②如果a2＞a＞
，则根据图象可得a＞1或－1＜a＜0，所以②描述错误．③如果
＞a2＞a，则根据图象没有这样的a存在，所以③描述错误．④描述正确．
答案 A
3．（2014·浙江金华，9，3分）如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．－1≤x≤3B．x≤－1
C．x≥1D．x≤－1或x≥3
解析 当y＝1时，－x2＋2x＋4＝1，解得x1＝－1，x＝3，结合二次函数的图象知y≤1成立的x的取值范围是x≤－1或x≥3，故选D.
答案 D
4．（2014·浙江嘉兴，10，4分）当－2≤x≤1时，二次函数y＝－（x－m）2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．－
B.
或－
C．2或－
D．2或－
或－
解析 对于y＝－（x－m）2＋m2＋1，∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴为x＝m，顶点坐标（m，m2＋1）．当－2≤m≤1时，最大值m2＋1＝4，解得m1＝
（不合题意，舍去），m2＝－
.当m＜－2时，可知x＝－2时有最大值，即－（－2－m）2＋m2＋1＝4，解得m＝－
（不合题意，舍去）．当m＞1时，可知x＝1时有最大值，即－（1－m）2＋m2＋1＝4，解得m＝2.综上可知，m的值为2或－
.故选C.
答案 C
二、填空题
5．（2013·浙江衢州，15，4分）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树，橘子总个数最多．
解析 根据题意得，y＝（600－5x）（100＋x），化为一般形式为y＝－5x2＋100x＋60000，－
＝－
＝10，当多种10棵树时，橘子总个数最多．故填10.
答案 10
6．★（2013·山西，18，3分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为________m.
解析 以C为原点，过点C平行于AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，以1m为一个单位长度，可得A，B的坐标分别为（－18，－9），（18，－9），C的坐标为（0，0），点D，E的纵坐标为－16.设抛物线的解析式为y＝ax2，把（18，－9）代入y＝ax2，得－9＝324a，解得a＝
－
，∴抛物线的解析式为y＝－
x2.把y＝－16代入y＝－
x2，得－16＝－
x2，解得x＝±24，即D（－24，－16），E（24，－16），∴DE＝48（m）．
答案 48
7．（2014·浙江绍兴，13，5分）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－
（x－6）2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________．
解析 由y＝－
（x－6）2＋4可知顶点坐标为（6，4），又因为AB为12m，则以点B为坐标原点时，抛物线的形状、大小不变，但顶点坐标变为（－6，4），所以抛物线的解析式为y＝－
（x＋6）2＋4.
答案 y＝－
（x＋6）2＋4
三、解答题
8．（2014·浙江宁波，23，10分）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
解
（1）∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点，∴
∴a＝
，b＝－
，c＝－1，
∴二次函数的解析式为y＝
x2－
x－1.
（2）当y＝0时，得
x2－
x－1＝0，
∴x1＝2，x2＝－1，∴点D的坐标为（－1，0）．
（3）经过D（－1，0），C（4，5）两点的直线即为直线y＝x＋1的图象．
由图象得，当－1＜x＜4时一次函数的值大于二次函数的值．
9．（2014·浙江义乌，21，8分）受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本（元/件）
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2＝x＋62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1（1≤x≤7，且x为整数）；8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2＝－0.1x＋3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？
并求出最大利润．
解
（1）由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．
设y1＝kx＋b，则
解得：
∴y1＝2x＋54，
经检验其它各点都符合该解析式，
∴y1＝2x＋54（1≤x≤7，且x为整数）．
（2）设去年第x月的利润为w万元．
当1≤x≤7，且x为整数时，
w＝p1（100－8－y1）＝（0.1x＋1.1）（92－2x－54）＝－0.2x2＋1.6x＋41.8＝－0.2（x－4）2＋45，
∴当x＝4时，w最大＝45万元；
当8≤x≤12，且x为整数时，
w＝p2（100－8－y2）＝（－0.1x＋3）（92－x－62）＝0.1x2－6x＋90＝0.1（x－30）2，
∴当x＝8时，w最大＝48.4万元．
∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元.
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