论现实生活中的黄金分割.docx

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论现实生活中的黄金分割

目录

1、黄金分割˜…………………………………………………（3）

1.1黄金分割数……………………………………………（3）

1.2发现历史…………………………………………………（4）

1.3黄金分割基本思想………………………………………（4）

1.4黄金分割与斐波那契数列………………………………（5）

2、黄金分割的应用……………………………………………（6）

2.1建筑与黄金分割………………………………………（6）

2.2人体与黄金分割点………………………………………（7）

2.3黄金分割与绘画…………………………………………（8）

2.4黄金分割与音乐…………………………………………（9）

3、结束语…………………………………………………………（10）

4、参考文献……………………………………………………（11）

5、感谢语………………………………………………………（12）

论现实生活中的黄金分割

摘要黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

关键词黄金分割基本思想斐波那契应用

ABSTRACT

GoldenSection,alsoknownastheGoldenRule,issomethingbetweenthevariouspartsofcertainmathematicalproportions,aboutthewholeintotwopartswiththesmallerpartofalargerratioisequaltotheratioofoverallandagreaterproportionofitsratioof1:

0.618or1.618:

1,thatlongperiodof0.618forthewholeparagraph,theroleofthisvalueisnotonlyreflectedin,suchaspainting,sculpture,music,architectureandotherarts,butalsoinmanagement,engineeringdesignalsohasanessentialrolein

KeywordsGoldenFibonacci，applicationofthebasicideas

1、黄金分割

1.1黄金分割数

黄金数用希腊字母Φ表示，黄金数的确切值为（√5-1）/2，即黄金分割数

图1

如图1,设AB=

AC=

则BC=

有

即

解得,

舍去负根,得AC=

故

这就是黄金分割数,以下记为

是一个无理数.

因为任何的无理数都可以用有理数逼近．现在我们试图找出一串分数

，使得

，而且

是所有分母小于或等于

的分数中最接近

的.

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。

由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。

这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：

　　1/0.618=1.618

（1-0.618）/0.618=0.618

1.2发现历史

由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

　　公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。

　　公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。

　　中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。

德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。

　　到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。

黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。

最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。

1.3黄金分割的基本思想

黄金分割法,也叫0.618法,是黄金分割在优选法上应用的一种方法,是优化计算中的经典算法,以算法简单、效果显著而著称,是许多优化算法的基础．它适用于一维区间

的单峰函数．其基本思想是：

依照“去坏留好”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围.具体地说：

设ｆ是定义在区间

的下单峰函数,有唯一的极小点

（即最优点）．在区间

中取点

如果

，则令

如果

则令

．

这样,通过比较

的大小,就可以将区间

缩短为区间

或

．因为新的区间内包含了一个已经计算过函数值的点,所以再从其中找出一个试点,又可将这个新的区间再缩短一次．不断地重复这个过程,直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精度为止．

1.4黄金分割与斐波那契数列

斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？

经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。

即f（n）/f（n+1）-→0.618…。

由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。

但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。

另外,F-数列在分析方面有一个非常优美的结

:

.这使得黄金分割与F-数列的联系更加紧密。

2、黄金分割的应用

黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。

建筑师们对数字0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据。

还有，在古希腊神庙的设计中就用到了黄金分割。

人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618…处。

艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618…处，能使琴声更加柔和甜美。

2.1建筑与黄金分割

建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，古希腊巴特农神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是0.618。

建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、漂亮．连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目.建筑师们对数学0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据

科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。

因此古代的建筑大师和雕塑家们就巧妙地利用黄金分割比创造出了雄伟壮观的建筑杰作和令人倾倒的艺术珍品：

公元前3000年建造的胡夫大金字塔，其原高度与底部边长约为1:

1.6，公元前五世纪建造的庄严肃穆的雅典巴特农神殿，建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的．如果我们在神庙周围描一个矩形，那么发现，它的长是宽的大约1.6倍，这种矩形称为黄金矩形。

当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，塔高553.3m,而其七层的工作厅建与340m的半空,其比为340:

553≈0.615。

2.2人体与黄金分割点

中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以上的长度与身高之比接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：

“标准美人”。

因此，艺术家们在创作艺术人体时，都以黄金比为标准进行创作。

如古希腊神话中的太阳神阿波罗、女神维纳斯的体型，完全与黄金比相符。

人体黄金分割因素包括4个方面，即18个“黄金点”，如脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等；15个“黄金矩形”，如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等；6个“黄金指数”，如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等；3个“黄金三角”，如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等。

除此之外，近年国内学者陆续发现有关的“黄金分割”数据，如前牙的长宽比、眉间距与内眦间距之比等，均接近“黄金分割”的比例关系。

专家们认为，这些数据的陆续发现不仅表现人体是世界上最美的物体，而且为美容医学的发展，为临床进行人体美和容貌美的创造和修复提供了科学的依据。

古希腊人以为，美是神的语言。

他们找到了一条数学证据，宣称黄金分割是上帝的尺寸。

几何学天才欧几里德更进一步：

他发现大自然美丽的奥妙在于巧妙和谐的数学比例大多接近1比0.618。

用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法。

分为三组：

系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在座位时为头高的五倍、立位时为7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：

即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。

标准的面型，其长宽比例协调，符合三停五眼。

三停是指脸型的长度，从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各称一停共三停；五眼是指脸型的宽度，双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度。

2.3黄金分割与绘画

文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。

当时，出现了好几位身兼几何学家和画家的人物，著名的有派奇欧里、丢勒、达·芬奇等，他们把把几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。

他们看中并运用这个奇妙的比例，取得了不朽的艺术成就。

达·芬奇《蒙娜丽莎》就是按照黄金比例来构图的，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画中处于完美的体现了黄金分割。

1509年，帕奇欧里著有《神圣的比例》，达·芬奇在此书中为人体结构中的黄金比例作了一幅著名的插，图。

达·芬奇在笔记里还就人体比例作了文字说明，他以大量的研究、观察和测量为基础，为包括头、眼、耳、手和脚在内的身体所有部分确定了大小和比例。

他写到，一个人伸直的双臂的长度等于他的身高；人的肚脐位于身长的0.618处。

此外，画家们在人体绘画艺术中也充分运用黄金分割，他们发现按0.618来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，但实际上的比例只有O．58。

因此，古希腊雕塑作品如“执矛者”、“维纳斯女神”及“太阳神阿波罗‘’等都通过故意延长双腿，使之与身高的比值符合黄金分割，从而创造出永恒的艺术。

2.4黄金分割与音乐

公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯，公元前580-500年）有一天路过一个铁匠铺，被里面清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”。

他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1∶0.618，回家后，他拿来一根木棒，让他的学生在这根木棒上刻下一个记号，其位置既要使木棒的两端距离不相等，又要使人看上去觉得满意。

经多次实验得到一个非常一致的结果，即用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段CA之比，毕达哥拉斯接着又发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例。

这个故事说明，“黄金分割”最早的发明似乎就与声音有关。

后来音乐家们则是有意识地利用这种比例来“美化”其作品。

典型的例子有巴赫的《神游》D小调中7对间奏和沃兹涅先斯基的诗《戈雅》中的叠句。

3、结束语

我们要首先感受并体会到数学学习中的美。

数学美不同于其它的美，这种美是独特的、内在的。

黄金分割在几何作图上有很多作用.如五角星形的各边是按黄金分割划分的，作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.有人曾断言：

“凡符合黄金分割律的总是最美的形体，”事实证明黄金分割在建筑建设、音乐、美术、人体、养生、教学科研等领域都有充分的体现.黄金分割是一个古教学方法，对它的各种神奇的确作用和魔力，教学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用.

4、参考文献

[1]《斐波那契数列》吴振奎沈阳：

辽宁教育出版社，1987.

[2]《黄金分割及其应用》丁文复载《美育》1983年

[3]《数学的思想、方法和应用》张顺燕北京大学出版社2009