层次分析法数学建模范例.docx

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层次分析法数学建模范例

对学生建模论文的综合评价分析

摘要

本文研究的是五篇建模论文的评价和比较问题。

首先，研读分析了五篇论文，并写出评语。

其次,进行综合量化评价,主要运用的方法是层次分析法和模糊综合评判。

最后,依据所得权重大小对论文排序。

针对问题一，我们对论文进行了横向比较和纵向分析。

依据数学建模竞赛论文评分基本原则，首先，在研读论文的基础上，对论文分块进行了横向比较，并按照优、良、中、差四个等级作出评价。

其次，采取纵向分析的方法，找到论文的优点与不足，写出每篇论文的评语。

最后，结合横向比较和纵向分析对论文综合评价。

针对问题二，在建立数学模型时，首先从建模理念的应用意识、数学建模、创新意识出发利用模糊评判的二级评判模型把所给论文的建模摘要、模型与求解、模型评价与推广、其他作为第一级因素集，把问题描述等作为第二级因素集。

在用模糊综合评判方法时，确定评估数据（评判矩阵）和权重分配是两项关键性的工作，求权重分配时，我们通过往年评分标准确定数据后用层次分析法计算出二级权重和一级权重；对于评判矩阵，我们通过对五篇论文进行评阅打分（用平均分数作为每项得分），用每一项得分占五篇论文该项得分的比重（商值法），建立评价矩阵。

最终，我们通过matlab编程处理得出的综合量化比较结果是所给5篇论文由好到差依次为论文4，论文2，论文1，论文5，论文3。

并在模型结束时付上了对五篇论文的评语。

关键词：

层次分析法；模糊综合评判；统计分析：

matlab编程；论文评价

￥

一、问题重述

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。

即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。

将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。

　　在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。

机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。

需要解决问题是

（1）请根据数学建模竞赛论文评分基本原则，对所给5篇论文进行评阅，写出评语。

（2）利用层次分析法，或其他综合评判方法，对这五篇论文进行综合评价，进行排序。

二、问题分析

。

对建型摘要的理解

模型要实用，有效，有特色，以解决问题有效为原则，而模型的摘要开门见山，在对问题简单描述后点名建模思路、建模方法、及运行结果。

使读者对论文的可行性、创造性及模型的大致思路有个大体的了解。

可以说论文摘要是除了模型最重要的一部分，它论文的点睛之处。

对模型建立与求解的理解

分析：

中肯、确切

术语：

专业、内行

原理、依据：

正确、明确

表述：

简明，关键步骤要列出，可将公式与中文说明相结合

忌：

外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。

结果的合理性

此题最大的特点之一是拥有大量的数据处理和明确结果。

我们先通过对各个方面的因素进行分析，从中找出对我们评价影响最大的几个数据进行细节分析，再将这些细节综合起来进行总体分析，并将一些繁复的数据简单化，把影响小的数据忽略不计，以免影响我们评价的质量，最后通过和标准答案比较最终确定分值。

其他

这里对其他的理解主要是对论文的整体印象及论文写作的规范程度，主要包括文字流畅、格式规范等，在这方面主观因素影响较大，所以采用三名队员同时打分并取均值作为每篇论文的最后得分。

三、问题假设

1、假设调查的数据（往年的评分标准）是合理的。

2、假设建模的创造性结果的合理性表述的清晰程度以外的因素对所给论文的的优良造成影响小，我们暂不考虑。

3.假设组内成员对论文的评判是公正的。

四、符号说明

U1　　摘要

U2　　模型建立与求解

U3　　模型的评价与推广

【

U4　　　其他

u11　　　问题描述

u12　　建模方法

u13　　具体模型

u14　合理结果

u21　　问题假设

u22　　问题分析

u23　　模型建立与求解

u24　　问题结果

u31　　模型检验

u32　　评价与推广

u41　　文字流畅

u42　　格式规范

u43　　内容完整

ω1　Ui各分量的权向量

R总的评判矩阵

Ri各分量的评判矩阵

vi第i篇论文

a1i　　问题描述得分

a2i建模方法得分

a3i具体模型得分

b1i模型的建立与求解得分

c1i模型的评价与推广得分

d1i其他方面得分

M新的评判标准

F论文分数

η每篇论文获得优的因素集的比例

λ新评判标准加权值

∧最大下界运算

∨最大上界运算

5、模型的建立与求解

论文的评判

首先引入综合评价的要素概述，并结合数学建模竞赛论文评分基本原则对问题展开分块横向比较，然后采取纵向分析的方法找到论文优缺点，并写出评语。

最后，结合以上分析，对五篇论文进行综合评价。

对论文的横向比较

综合评价的一般步骤：

明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。

（1）被评价对象

被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。

通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有n个被评价对象（或系统），分别记为S1,S2,…Sn（n＞1）。

}

（2）评价指标

评价指标是反映被评价对象（或系统）的运行（或发展）状况的基本要素。

通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。

一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。

评价指标体系应遵守的原则：

系统性、科学性、可比性、可测性（即可观测性）和独立性。

这里不妨设系统有m个评价指标（或属性），分别记为x1,x2,…xn（n＞1）,即评价指标向量为x=（x1,x2,…,xm）T。

（3）权重系数

每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。

如果用wj来表示评价指标xj（j=1,2,…,m）的权重系数，则应有wj≥0（j=1,2,…,m），且

。

注意到:

当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。

（4）综合评价模型

对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。

不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为x=（x1,x2,…,xm）T，指标权重向量为w=（w1,w2,…wm）T，由此构造综合评价函数为y=f（w,x）如果已知各评价指标的n个观测值为{xij}（i=1,2,…,n）;j=1,2,…,m），则可以计算出各系统的综合评价值yi=f（w,x（i））,x（i）=（xi1,xi2,…,xim）T,（i=1,2,…,n）。

根据yi（i=1,2,…,n）值的大小将这n个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。

【

（5）评价者

评价者是直接参与评价的人，可以是某

一个人，也可以是一个团体。

对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。

综合评价模型

在本模型中共有n=9个被评价对象的m=25个评价指标向量为x=（x1,x2,…,xm）T，指标权重向量w=（w1,w2,…wm）T为优、良、中、差四组。

由此构造综合评价函数为y=f（w,x）如果已知各评价指标的n个观测值为{xij}（i=1,2,…,n）;j=1,2,…,m），则可以计算出各系统的综合评价值yi=f（w,x（i））,x（i）=（xi1,xi2,…,xim）T,（i=1,2,…,n）。

摘要指标

a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）b. 建模的思想（思路）c . 算法思想（求解思路）d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验…….）e. 主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”）。

表1

评价指标

、

论文1

论文2

论文3

论文4

论文5

优

良

优

—

良

优

良

优

良

优

良

优

良

中

优

良

优

良

差

优

良

1．问题重述

f用自己的话去复述或理解一遍，实际是问题分析的开始。

切忌：

原封不动照写一遍

表2

评价指标

论文1

论文2

论文3

论文4

论文5

良

）

良

2．模型假设指标

g.根据题目中条件作出假设

h.根据题目中要求作出假设

i.关键性假设不能缺；假设要切合题意

表3

评价指标

论文1

论文2

论文3

论文4

论文5

良

优

良

优

—

优

良

优

良

3．模型的建立

j. 基本模型：

1）首先要有数学模型：

数学公式、方案等

2）基本模型，要求完整，正确，简明

k.简化模型

（1）要明确说明：

简化思想，依据

（2）简化后模型，尽可能完整给出

l.模型要实用，有效，有特色，以解决问题有效为原则。

数学建模面临的、要解决的是实际问题，

较复杂的问题，力求简单化不追求数学上：

高（级）、深（刻）、难（度大）。

能用初等方法解决的，就不用高级方法

能用简单方法解决的，就不用复杂方法

能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。

对较简单的问题，做出自己的特色，你想如果自己能做，别人也能这样做，只有比赛各自的创新。

人无我有，别人想不到的，大胆去想

人有我新，别人容易想到的，我比你想得更全面，更好

m.鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异

数模创新可出现在

建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等，

模型求解中

结果表示、分析、检验，模型检验

推广部分

n.在问题分析推导过程中，需要注意的问题：

分析：

中肯、确切

术语：

专业、内行

原理、依据：

正确、明确

[

表述：

简明，关键步骤要列出，可将公式与中文说明相结合。

忌：

外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。

表4

评价指标

论文1

优

良

论文2

优

论文3

。

中

论文4

优

；

优

论文5

良

优

良

4．模型的求解

o.计算方法设计或选择；算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计算框图；

p.所采用的软件名称；

】

q.引用或建立必要的数学命题和定理，求解方案及流程

表5

评价指标

论文1

论文2

论文3

论文4

论文5

优

中

优

中

优

良

优

良

】

优

中

优

良

5．模型检验及模型修正；结果分析、检验；结果表示

r.列数据问题：

考虑是否需要列出多组数据，或额外数据

对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；对数值结果或模拟结果进行必要的检验。

s.题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。

最后结论要明确。

；

t.结果表示：

要集中，一目了然，直观，便于比较分析

表6

评价指标

论文1

论文2

论文3

论文4

论文5

良

[

优

差

优

中

优

差

优

差

优

良

中

优

中

6．模型评价

u.优点突出，缺点不回避。

改变原题要求，重新建模可在此做。

v.推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。

表7

评价指标

论文1

论文2

论文3

论文4

论文5

优

》

良

优

良

优

良

优

良

（

7．参考文献

w力求规范，清晰：

标号，作者，论文名称，杂志名称或出版社名称，时间（年、月），页

x文中引用文献处，最要标出

表8

评价指标

论文1

论文2

论文3

论文4

论文5

良

优

良

优

【

优

良

8．附录

y计算框图，详细图表

评价指标

论文1

论文2

论文3

论文4

论文5

良

优

良

优

良

对论文的纵向分析

论文一的评语

。

本文最大的特色在于模型算法的创新性和正确性。

其一，利用了很多新的算法，摒弃了传统方法，大胆运用多元非线性方程的迭代收敛法求解出变位参数，使得最后结果精确度很高。

其二，运用了很多新的思路，依据油液面随油深的变化来精确计算α、β值。

其三，修正详细合理，通过对模型不断地进行修正，将误差降到最低，确保了相当高的模型准确度。

除此之外，论文考虑全面，从5种不同情况进行了问题讨论，并在问题推导过程中，公式与中文紧密结合，表述条理清晰，而且分析中肯、确切、简明易懂。

还对模型进行了合理简化，使得求解过程简单化。

本文的遗憾在于摘要文字不太流畅，有些地方表述不清晰，且存在非专业术语。

部分结果与实际情况有所偏差，却没有检验出错误。

整体而言，模型创新性强，实用有效，对实际应用有一定的参考价值。

论文二的评语

本文不追求模型单一创新性，而是以解决实际问题为首要目的，建立了简单实用的模型。

对所得理论容积与实测容积运用曲线拟合的方法获得了偏差函数，进一步对模型进行修正。

针对第二问以储油罐中油量随高度的变化率为依据识别纵向倾斜角度和横向偏转角度，由此给出了罐容表的标定。

随后检验了所给出的数学模型的正确性和可靠性，思路正确、方法有效、所得结果合理。

另外，整体思路表述简明扼要，条理清晰，而且文章格式规范。

很好的运用了MATLAB和EXCEL两个软件。

最后数值结果与实际值契合度高，模型推广性强，具有普遍应用意义。

论文的不足在于对问题一利用祖暅原理将有变位近似转换为无变位的方法略欠妥当。

而且没有在正文中列述主要结果，不利于进行比较分析。

。

论文三的评语

本文利用了将油体离散的方法求解罐体为不规则界面时的油量，还巧妙地进行了换位理解，将油罐想象成始终是水平放置的，而将液面看成一个斜面，使问题简单化。

本文存在很多不足，虽然运用的方法思路正确，却在具体操作过程中出现错误，使得最终数值结果与实际值偏差很大。

而且没有进一步对不正确的结果进行必要的检验和分析原因。

也没有分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况，分析不到位。

除此之外，思路不太严谨，利用的求解方法过于单一，大部分精力花在了积分求解上。

模型适用性不强，不能解决实际问题。

有些地方表述不清晰，跨度太大。

总之，本文漏洞之处不仅体现在模型求解不正确，还体现在结果和模型验证不足、思维不缜密等方面，需要改进的地方很多。

论文四的评语

本文亮点体现在求解过程中合理利用过度矩阵转换坐标，建立了一个以油罐中心为原点的三维空间直角坐标系，并对问题进行转化，并有效利用“切片法”对液面面积逐层积分，得到油位高度与储油量的函数关系式，求解简易，方法新颖。

在整个模型求解过程中将所得数据结合实际数据进行了残差分析，证明了模型的合理性和正确性。

除此之外，还进行了罐体变位后对罐容表的影响分析，分析精辟，确切。

论文摘要精彩，利用表格表示结果，既直观又形象。

考虑较全面，对油罐两端有油和一端有油的情况进行了透彻的分析。

而且最终罐容表标定精确度高，能够有效地解决实际问题。

在模型改进中，提出可以采用非线性最小二乘法进行你和计算，来简化复杂的计算过程和避免编程的困难，思路开拓，方法更加合理有效。

论文不足在于没有验证α、β值的正确性，结果偏差太大。

论文五的评语

￥

本文针对问题一，运用了简单的定积分方法建立罐内油品实际体积与显示读数的函数关系，并利用最小二乘法拟合和误差分析，得出一个精确度很高的结果。

问题二中对α、β变化的影响进行先后考虑，将变化因素简单化，利于题目分析。

本文整体而言，思路表述不太清晰，在求解方案中没有直观形象化的列表画图来表述，例如问题一中误差分析部分，太过笼统。

而且算法思路衔接不好，有些过程出现比较突兀。

除此之外，问题一中结果表示冗长，表格设计不合理。

问题二的求解也有很多不足，首先，没有给出最终数值结果。

其次，在求解过程中存在冗长的matlab编程（应附在附录中）。

最后，对于结果的检验和误差分析，含糊不清，无法验证模型的可靠性。

模糊综合评判原理[1]的引入

从论域U到闭区间[0,1]上任意一个映射：

f：

U→[0,1]。

对任意u∈U，

，A（u）∈[0,1],那么A叫做U的一个模糊子集，

叫做隶属函数。

设A和B是论域U上的模糊子集，记内积AgB=∨（A（u）∧B（u））,外积AeB=∧（A（u）∨B（u））,其中∧为最大下界，∨为最大上界。

对于权重ω可取合成运算（∧,∨）可得综合评判:

模糊评判模型的确立

该题的一级因素集：

U={U1，U2，U3，U4}，其中U1摘要，U2模型建立与求解，U3模型的评价与推广，U4其他

该题的二级因素集：

U1={u11，u12，u13，u14}，其中u11问题描述，u12建模方法，u13具体模型，u14合理结果。

U2={u21，u22，u23，u24}，其中u21问题假设，u22问题分析，u23模型建立与求解，u24问题结果。

U3={u31，u32}，其中u31模型检验，u32评价与推广。

U4={u41，u42，u43}，其中u41文字流畅，u42格式规范，u43内容完整。

V={v1，v2,v3,v4，v5}，论文一v1，论文二v2,论文三v3,论文四v4，论文五v5

权重的求法【2】

…

根据层次分析方法建立层次结构，如图

（1）示：

图

（1）层次分析框架

在模糊综合评测中，权重是非常重要的，它反映的是各因素在决策过程中占的地位以及所起的作用，将直接影响到决策结果。

虽然凭经验给出的权重往往带有主观性，有时不能客观反映实际情况，但在一定程度上能反映实际情况，评判结果也比较符合实际。

根据往年的论文评分标准，最后在权衡比重及考虑实际情况的基础上，最终确立各级权重.

1.问题描述u11对摘要U1的比重为20%，u12建模方法对摘要U1的比重为20%，u13具体模型对摘要U1的比重为40%，合理结果u14对摘要U1的比重为20%【3】。

因此，U1中全部二级因素的成对比较阵为

W1=

U1中的二级因素的权重模糊向量ω1=,经一致性检验，

一致性检验通过.

2.问题假设u21对模型建立与求解U2的比重为%，问题分析u22对模型建立与求解U2的比重为%，模型建立与求解u23模型建立与求解U2的比重为%，问题结果u24模型建立与求解U2的比重为%。

因此，U2中全部二级因素的成对比较阵为

W2=

U2中的二级因素的权重模糊向量ω1=,经一致性检验，

一致性检验通过.

3.模型检验u31对模型的评价与推广U3比重为50%，评价与推广u32对模型的评价与推U3的比重为50%。

因此，U3中全部二级因素的成对比较阵为

W3=

U3中的二级因素的权重模糊向量ω3=,此矩阵为单位阵无需检验。

4.文字流畅u41对其他U4的比重为25%，格式规范u42对U4其他的比重为50%，内容完整u43对U4其他的比重为25%。

因此，U4中全部二级因素的成对比较阵为

、

W4=

U4中的二级因素的权重模糊向量ω1=,经一致性检验，

一致性检验通过.

5.摘要U1对论文评价U的比重为10%,模型的建立与求解U2对论文评价U的比重为70%，模型评价与推广U3对论文评价U的比重为10%，其他U4对论文评价U的比重为10%。

因此，U中全部二级因素的成对比较阵为

W5=

U中的二级因素的权重模糊向量ω=,经一致性检验，

一致性检验通过.

通过对权重的计算，我们可以求出个因素应该赋予的总分值，具体情况如，表1所示。

表

（1）:

分数赋值表

（

摘要

（10分）

模型建立和求解（75分）

模型评价和推广（10分）

其他

（5分）

问题描述2分

模型方法2分

具体模型4分

合理假设2分

问题假设5分

问题分析10分

求解分析55分

问题结果5分

模

型

检

测

分

（

评

价

推

广

分

文

字

流

畅

￥

分

结

构

完

整

分

格

式

规

范

分

模糊评价矩阵的求法

1.摘要

通过对各篇论文的打分，得到摘要U1控制下的二级因素分数，见表2

（1）由表中数据可得每篇论文的问题描述得分a1i=，，，2，）i=1,2,3,4,5

则：

r1i=

即：

r11=同理可得，r12=，r13=，r14=，r15=

（2）由表中数据得到每篇论文的建模方法得分a2i=（2，2，1，2，2）

i=1,2,3,4,5

则：

r2i=

即：

r21=同理可得，r22=，r23=，r24=，r25=

（3）由表中数据得到每篇论文的具体模型得分a3i=（4，，2，4，3）

i=1,2,3,4,5

（

则:

r3i=

即：

r31=同理可得，r32=，r33=，r34=，r35=

（4）有表中数据得到每篇论文的合理结果得分a4i=，，1，2，）

i=1,2,3,4,5

则：

r3i=

即：

r41=同理可得，r42=，r43=，r44=，r45=

由以上计算得：

R1=

2.模型的建立与求解

（1）由表中数据得到每篇论文的问题假设得分b1i=，，，5，

i=1,2,3,4,5

则：

e1i=

即：

e11=同理可得，e12=，e13=，

e14=，e15=

（2）由表中数据得到每篇论文的问题分析得分b2i=，，6，10，8）

i=1,2,3,4,5

则：

e1i=

即：

e21=同理可得，e22=，e23=，e24=，e25=

（3）由表中数据得到每篇论文的模型建立与求解

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