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图3-1实例3-1系统的零状态响应
2离散时间系统的单位冲激响应
系统的单位冲激响应定义为系统在（n）激励下系统的零状态响应，用h（n）表示。
MATLAB求单位冲激响应的方法是利用控制系统工具箱提供的函数impz来实现。
impz函
数的常用语句格式为
impz（b,a,N）
其中，参数N通常为正整数，代表计算单位冲激响应的样值个数。
【实例2】已知某LTI系统的差分方程为
3y（n）4y（n1）2y（n2）x（n）2x（n1）
利用MATLAB的impz函数绘出该系统的单位冲激响应。
解：
MATLAB源程序为
>>a=[3-42];
>>b=[12];
>>n=0:
30;
>>impz（b,a,30）,gridon
>>title（'系统单位冲激响应h（n）'）
程序运行结果如图3所示。
3离散时间信号的卷积和运算
由于系统的零状态响应是激励与系统的单位冲激响应的卷积，因此卷积运算在离散时间
信号处理领域被广泛应用。
离散时间信号的卷积定义为
y（n）x（n）*h（n）x（m）h（nm）
（2）
m
可见，离散时间信号的卷积运算是求和运算，因而常称为卷积和”。
MATLAB求离散时间信号卷积和的命令为conv,其语句格式为
y=conv（x,h）
其中，x与h表示离散时间信号值的向量；y为卷积结果，它默认序列从n=0开始。
但是如
果序列是从一负值开始，即
x（n）:
nx1nnx2
h（n）:
nh1nnh2
如果nx1<0或nh1<0就不能直接采用conv函数。
其卷积结果序列为
{y（n）：
nx1nh1nnx2nh2}，这样就可以构成一个新的卷积函数conv_m。
如下所示：
function[y,ny]=conv_m（x,nx,h,nh）
ny1=nx
（1）+nh
（1）;ny2=nx（length（x））+nh（length（h））;
ny=[ny1:
ny2];
y=conv（x,h）
值得注意的是用MATLAB进行卷积和运算时，无法实现无限的累加，只能计算时限信号的
卷积。
实例3】已知某系统的单位冲激响应为hn0.8nunun8，试用MATLAB
求当激励信号为x（n）u（n）u（n4）时，系统的零状态响应。
解：
MATLAB中可通过卷积求解零状态响应，即x（n）*h（n）。
由题意可知，描述h（n）
向量的长度至少为8，描述x（n）向量的长度至少为4，因此为了图形完整美观，我们将h（n）
向量和x（n）向量加上一些附加的零值。
MATLAB源程序为
nx=-1:
5;%x（n）向量显示范围（添加了附加的零值）
nh=-2:
10;%h（n）向量显示范围（添加了附加的零值）
x=uDT（nx）-uDT（nx-4）;
h=0.8。
nh.*（uDT（nh）-uDT（nh-8））;
[y,ny]=conv_m（x,nx,h,nh）;subplot（311）stem（nx,x,'fill'）,gridonxlabel（'n'）,title（'x（n）'）axis（[-41603]）subplot（312）stem（nh,h','fill'）,gridonxlabel（'n'）,title（'h（n）'）axis（[-41603]）subplot（313）stem（ny,y,'fill'）,gridonxlabel（'n'）,title（'y（n）=x（n）*h（n）'）axis（[-41603]）
程序运行结果如图4所示。
图3-5利用卷积和法求解系统的零状态响应
【编程练习11
1.试用MATLAB命令求解以下离散时间系统的单位冲激响应。
（1）3y（n）4y（n1）y（n2）x（n）x（n1）
5
（2）5y（n）6y（n1）10y（n2）x（n）
2.已知某系统的单位冲激响应为hn（7）nunun10，试用MATLAB求当激励
信号为x（n）u（n）u（n5）时，系统的零状态响应。
4z正反变换
序列xn的z变换定义为
XzZxnxnzn（3）
n
其中，符号Z表示取z变换，z是复变量。
相应地，单边z变换定义为
XzZxnxnzn（4）
n0
MATLAB符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z变换的函数ztrans和z反变
换函数iztrans，其语句格式分别为
Z=ztrans（x）
x=iztrans（z）
上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表示，可通过sym函数来定义。
【实例4】试用ztrans函数求下列函数的z变换。
（1）x（n）ancos（n）u（n）；
（2）x（n）[2n1
（2）n1]u（n）。
解：
（1）z变换MATLAB源程序为
>>x=sym（'aAn*cos（pj*n）'）;
>>Z=ztrans（x）;
>>simplify（Z）%对Z进行简化运算
ans=
z/（z+a）
（2）z变换MATLAB源程序为
>>x=sym（'2A（n-1）-（-2）A（n-1）'）;
>>Z=ztrans（x）;
>>simplify（Z）
ans=
zA2/（z-2）/（z+2）
【实例5】试用iztrans函数求下列函数的z反变换。
解：
（1）z反变换MATLAB源程序为
>>Z=sym（'（8*z-19）/（zA2-5*z+6）'）;>>x=iztrans（Z）;
>>simplify（x）
ans=
-19/6*charfcn[0]（n）+5*3A（n-1）+3*2A（n-1）
其中，charfcn[0]（n）是（n）函数在MATLAB符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为
n1n1
x（n）（n）（5332）u（n）。
6
（2）z反变换MATLAB源程序为
>>Z=sym（'z*（2*zA2-11*z+12）/（z-1）/（z-2）A3'）;
>>x=iztrans（Z）;
>>simplify（x）
ans=
-3+3*2An-1/4*2An*n-1/4*2An*nA2
11
其函数形式为x（n）（332n丄n2n^n22n）u（n）。
44
5系统函数的零极点分析
离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即
如果系统函数H（z）的有理函数表示式为
那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到。
1，roots的格式语句为：
p=roots（A）,其中A为待求根的多项式的系数构成的行向量，返回向量p则包含该多项式所有的根位置列向量。
2，tf2zp的语句格式为
[Z,P,K]=tf2zp（B,A）
其中，B与A分别表示H（z）的分子与分母多项式的系数向量。
它的作用是将H（z）的有理
分式表示式转换为零极点增益形式，即
z0.32
z2z0.16
【实例7】已知一离散因果LTI系统的系统函数为
H（z）
试用MATLAB命令求该系统的零极点。
解：
1,用roots函数求系统的零极点:
a=[10.32];b=[110.16];r=roots（a）
-0.3200
p=roots（b）P=-0.8000-0.2000
2,用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为
>>B=[1,0.32];
>>A=[1,1,0.16];
>>[R,P,K]=tf2zp（B,A）
R=
-0.3200
P=
-0.8000
-0.2000
K=
1
因此，零点为z0.32，极点为山°.8与p2°.2。
若要获得系统函数H（z）的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为
zplane（B,A）
其中，B与A分别表示H（z）的分子和分母多项式的系数向量。
值注意的是：
求系统函数零
极点时，离散系统的系统函数可能有两种形式，一种是分子分母多项式按z的降幕次序排
列，另一种是按z1的升幕次序排列。
若是以z的降幕次序排列，则系数向量一定要由多项
式的最高幕次开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；若以z1的升幕次序排列，则分子分
试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。
解：
用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为
>>B=[1,0,-0.36];
>>A=[1,-1.52,0.68];
>>zplane（B,A）,gridon>>legend（'零点极点'）>>title（'零极点分布图'）
程序运行结果如图5所示。
可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。
as
=0.5
■GEnns
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图4-1零极点分布图
6系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
z域函数H（z）之间的对应关系。
因此，z变换的函数H（z）从形式可以反映h（n）的部分内
在性质。
我们仍旧通过讨论H（z）的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时
域特性的关系。
以及对应的时域
【实例9】试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、
单位冲激响应h（n）的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。
>>b1=[1,0];
>>a1=[1,-0.8];
>>subplot（121）
>>zplane（b1,a1）
>>title（'极点在单位圆内的正实数'）
>>subplot（122）
>>impz（b1,a1,30）;gridon;
>>figure
>>b2=[1,0];
>>a2=[1,0.8];
>>subplot（121）
>>zplane（b2,a2）
>>title（'极点在单位圆内的负实数'）
>>subplot（122）
>>impz（b2,a2,30）;gridon;
>>figure
>>b3=[0,1,0];
>>a3=[1,-1.2,0.72];
>>subplot（121）
>>zplane（b3,a3）
>>title（'极点在单位圆内的共轭复数'）
>>subplot（122）
>>impz（b3,a3,30）;gridon;
>>figure
>>b4=[1,0];
>>a4=[1,-1];
>>subplot（121）
>>zplane（b4,a4）
>>title（'极点在单位圆上为实数1'）
>>subplot（122）
>>impz（b4,a4）;gridon;
>>figure
>>b5=[0,1,0];
>>a5=[1,-1.6,1];
>>subplot（121）
>>zplane（b5,a5）
>>title（'极点在单位圆上的共轭复数'）
>>subplot（122）
>>impz（b5,a5,30）;gridon;
>>figure
>>b6=[1,0];
>>a6=[1,-1.2];
>>subplot（121）
>>zplane（b6,a6）
>>title（'极点在单位圆外的正实数'）
>>subplot（122）
>>impz（b6,a6,30）;gridon;
>>figure
>>b7=[0,1,0];
>>a7=[1,-2,1.36];
>>subplot（121）
>>zplane（b7,a7）
>>title（'极点在单位圆外的共轭复数'）>>subplot（122）
>>impz（b7,a7,30）;gridon;
极点柱单位圆内的正实数
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（a）
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职点往单住回上的共梔复數
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（g）
图4-2系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
从图可知，当极点位于单位圆内时，h（n）为衰减序列；当极点位于单位圆上时，h（n）
为等幅序列；当极点位于单位圆外时，h（n）为增幅序列。
若h（n）有一阶实数极点，则h（n）
为指数序列；若h（n）有一阶共轭极点，贝yh（n）为指数振荡序列；若h（n）的极点位于虚轴左边，则h（n）序列按一正一负的规律交替变化。
7离散时间LTI系统的频率特性分析
统的稳态响应为yss（n）A|H（ej）|sin[n（）]u（n）。
其中，H（ej）通常是复数。
离散时间系统的频率响应定义为
H（ej）|H（ej）|ej（}（9）
其中，|H（ej）|称为离散时间系统的幅频特性；（）称为离散时间系统的相频特性；
2
H（ej）是以s（s，若零T1,s2）为周期的周期函数。
因此，只要分
析H（ej）在||范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。
MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz,调用freqz的格式主要有两种。
一种形式为
[H,w]=freqz（B,A,N）
其中，B与A分别表示H（z）的分子和分母多项式的系数向量，值得注意的是，B,A采用z
的升次幕形式；N为正整数，默认值为512；返回值w包含[0,]范围内的N个频率等分点；返回值H则是离散时间系统频率响应H（ej）在0~范围内N个频率处的值。
另一种形式
为
[H,w]=freqz（B,A,N,'whole'
与第一种方式不同之处在于角频率的范围由[0,]扩展到[0,2]。
2
【实例10】用MATLAB命令绘制系统H（z）Z20.96Z0.9028的频率响应曲线。
Z21.56z0.8109
解：
禾U用函数freqz计算出H（e‘），然后利用函数abs和angle分别求出幅频特性与相频特性，最后利用plot命令绘出曲线。
MATLAB源程序为
>>b=[1-0.960.9028];
>>a=[1-1.560.8109];
>>[H,w]=freqz（b,a,400,'whole'）;
>>Hm=abs（H）;
>>Hp=angle（H）;
>>subplot（211）
>>plot（w,Hm）,gridon
>>xlabel（'\omega（rad/s）'）,ylabel（'Magnitude'）
>>title（'离散系统幅频特性曲线'）
>>subplot（212）
>>plot（w,Hp）,gridon
>>xlabel（'\omega（rad/s）'）,ylabel（'Phase'）
>>title（'离散系统相频特性曲线'）
程序运行结果如图6所示。
【编程练习2】
1.试用MATLAB画出下列因果系统的系统函数零极点分布图，并判断系统的稳定性。
（1）H（z）
（2）H（z）
2
2z1.6z0.9
32
z2.5z1.96z0.48
z1
432
z0.9z0.65z0.873z
3.自行设计系统函数，验证系统函数零极点分布与其时域特性的关系。
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