中考数学基础知识.docx

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中考数学基础知识

第一单元　数与式

第1讲　实数

知识梳理

一、实数的分类

实数

二、实数的有关概念及性质

1．数轴

（1）规定了______、________、____________的直线叫做数轴；

（2）实数与数轴上的点是一一对应的．

2．相反数

（1）实数a的相反数是____，零的相反数是零；

（2）a与b互为相反数⇔a＋b＝____.

3．倒数

（1）实数a（a≠0）的倒数是____；

（2）a与b互为倒数⇔______.

4．绝对值

（1）数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|.

（2）|a|＝

5．平方根、算术平方根、立方根

（1）平方根

①定义：

如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根），数a的平方根记作______．

②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根．

（2）算术平方根

①如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即

＝0.

②算术平方根都是非负数，即

≥0（a≥0）．

③（

）2＝a（a≥0），

＝|a|＝

（3）立方根

①定义：

如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根（也叫三次方根），数a的立方根记作

______．

②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．

6．科学记数法、近似数、有效数字

（1）科学记数法

把一个数N表示成______（1≤a＜10，n是整数）的形式叫做科学记数法．当N≥1时，将数a的小数点向右移动几位得到原数，n就等于几；将数a的小数点向左移动几位得到原数，n就等于负几。

（2）近似数与有效数字

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．

三、非负数的性质

1．常见的三种非负数

|a|≥0，a2≥0，

≥0（a≥0）．

2．非负数的性质

（1）非负数的最小值是零；

（2）任意几个非负数的和仍为非负数；

（3）几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.

四、实数的运算

1．运算律

（1）加法交换律：

a＋b＝______.

（2）加法结合律：

（a＋b）＋c＝________.

（3）乘法交换律：

ab＝____.

（4）乘法结合律：

（ab）c＝______.

（5）乘法分配律：

a（b＋c）＝__________.

2．运算顺序

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；

（2）同级运算，按照从____至____的顺序进行；（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．

3．零指数幂和负整数指数幂

（1）零指数幂的意义为：

a0＝____（a≠0）；

（2）负整数指数幂的意义为：

a－p＝______（a≠0，p为正整数）．

五、实数的大小比较

1．实数的大小关系

在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．

正数大于零，负数小于零，正数大于一切

负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．

2．作差比较法

（1）a－b＞0⇔a＞b；

（2）a－b＝0⇔a＝b；（3）a－b＜0⇔a＜b.

3．倒数比较法

若

＞

，a＞0，b＞0，则a＜b.

4．平方法

因为由a2＞b2（a>0,b>0），可得a＞b

所以由a＞b＞0，可得

＞

，所以我们可以把

与

的大小问题转化成比较a和b的大小问题．

第2讲　整式及因式分解

考点一　整式的有关概念

1．整式

整式是单项式与多项式的统称．

2．单项式

单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的叫做单项式的次数．

3．多项式

几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中项的次数就是这个多项式的次数．

考点二　整数指数幂的运算

正整数指数幂的运算法则：

am·an＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，

＝am－n（m，n是正整数）．

考点三　同类项与合并同类项

1．所含字母相同，并且相同字母的也分别相同的单项式叫做同类项．

2．把多项式中的同类项合并成一项叫做，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数

，字母和字母的指数不变．

考点四　求代数式的值

1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．

2．求代数式的值的基本步骤：

（1）代入：

一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；

（2）计算：

按代数式指明的运算关系计算出结果．

考点五　整式的运算

1．整式的加减

（1）整式的加减实质就是合并同类项；

（2）整式加减的步骤：

有括号，先去括号；有同类

项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要

2．整式的乘除

（1）整式的乘法

①单项式与单项式相乘：

把分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

②单项式与多项式相乘：

m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mC．

③多项式与多项式相乘：

（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nB．

（2）整式的除法

①单项式除以单项式：

把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的作为商的一个因式．

②多项式除以单项式：

（a＋b）÷m＝a÷m＋b÷m.

3．乘法公式

（1）平方差公式：

（a＋b）（a－b）＝a2－b2；

（2）完全平方公式：

（a±b）2＝a2±2ab＋b2.

考点六　因式分解

1．因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的因式分解．

2．因式分解的方法

（1）提公因式法

公因式的确定：

第一，确定系数（取各项整数系数的最大公约数）；第二，确定字母或因式底数（取各项的相同字母）；第三，确定字母或因式的指数（取各相同字母的最低次幂）．

（2）运用公式法

①运用平方差公式：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）．

②运用完全平方公式：

a2±2ab＋b2＝

（a±b）2.

第3讲　分式

知识梳理

一、分式

1．分式的概念形如

（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．

2．与分式有关的“三个条件”

（1）分式

无意义的条件是B＝0；

（2）分式

有意义的条件是B≠0；

（3）分式

值为零的条件是A＝0且B≠0.

二、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个__________的整式，分式的值不变．用式子表示是：

＝

，

＝

（其中M是不等于0的整式）．

三、分式的约分与通分1．约分

根据分式的基本性质将分子、分母中的________约去，叫做分式的约分．

2．通分

根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为_____的分式，这种变形叫分式的通分．

四、分式的运算

在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是______分式或整式．

第4讲　二次根式

知识梳理

一、二次根式

1．概念形如________的式子叫做二次根式．

2．二次根式有意义的条件要使二次根式

有意义，则a≥0.

二、二次根式的性质

1．（

）2＝a（______）．2．

＝|a|＝

3．

＝______（a≥0，b≥0）．

4．

＝______（a≥0，b＞0）．

三、最简二次根式、同类二次根式

1．概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．

2．同类二次根式的概念

几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．

四、二次根式的运算1．二次根式的加减法

合并同类二次根式：

在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．

2．二次根式的乘除法

（1）二次根式的乘法：

·

＝____（a≥0，b≥0）．

（2）二次根式的除法：

＝____（a≥0，b＞0）．

第二单元　方程（组）与不等式（组）

第5讲　一次方程（组）

知识梳理

一、等式及方程的有关概念

1．等式及其性质

（1）用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．

（2）等式的性质：

等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式．

2．方程的有关概念

（1）含有未知数的等式叫做方程．

（2）方程的解：

使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．

（3）解方程：

求方程解的过程叫做解方程．

二、一元一次方程

1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x＝______.

2．解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母；

（2）________；（3）移项；（4）____________；（5）未知数的系数化为1.

三、二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程

（1）概念：

含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．

（2）一般形式：

ax＋by＝c（a≠0，b≠0）．

（3）使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

（4）解的特点：

一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．

2．二元一

次方程组

（1）概念：

具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

（2）一般形式：

（a1，a2，b1，b2均不为零）．

（3）二元一次方程组的解：

一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．

四、二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．

1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤

（1）从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示出y（或x），即变成y＝ax＋b（或x＝ay＋b）的形式；

（2）将y＝ax＋b（或x＝ay＋b）代入另一个方程，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元一次方程；

（3）解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；

（4）把x（或y）的值代入y＝ax＋b（或x＝ay＋b）中，求y（或x）的值．

2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

（1）在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可以直接相减（或相加），消去一个未知数；

（2）在二元一次方程组中，若不存在

（1）中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数；

（3）解这个一元一次方程；

（4）将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．

五、列方程（组）解应用题的一般步骤

审：

审清题意，分清题中的已知量、未知量．

设：

设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．

列：

根据题意寻找等量关系列方程（组）．

解：

解方程（组

）．

验：

检验方程（组）的解是否符合实际意义和数学意义．

答：

写出答案（包括单位）．

六、常见的几种方程类型及等量关系

1．行程问题中的基本量之间的关系

路程＝速度×时间；

相遇问题：

全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；

追及问题：

若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；

流水问题：

v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．

2．工程问题中的基本量之间的关系

工作效率＝

.

（1）甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．

（2）通常把工作总量看作“1”．

第6讲　分式方程

知识梳理

一、分式方程

1．分母里含有________的有理方程叫做分

式方程．

2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征：

（1）增根使__________为零；

（2）增根是分式方程化成的__________方程的根．

二、分式方程的基本解法

解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，把分式方程转化为__________方程．

（2）解这个整式方程，求得方程的根．

（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果

最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．

三、分式方程的实际应用

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

（1）检验所求的解是否是所列分式方程的解；

（2）检验所求的解是否符合实际意义和数学意义．

第7讲　一元一次不等式（组）

知识梳理

一、不等式的有关概念及其性质

1．不等式的有关概念：

（1）不等式：

用符号“＜”或“＞”或“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．

（2）不等式的解集：

一个含有未知数的不等式的所有__________，组成这个不等式的解集．

（3）解不等式：

求不等式的________的过程叫做解不等式．

2．不等式的基本性质：

（1）不等式两边都加上（或减去）同

一个数（或整式），不等号的方向__________，即若a＜b，则a＋c＜b＋c

（或a－c＜b－c）．

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向__________，即若a＜b，且c＞0，则ac______bc

.

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向__________，即若a＜b，且c＜0，则ac______bc

.

二、一元一次不等式（组）的解法

1．一元一次不等式：

只含有__________未知数，且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式叫一元一次不等式．

2．解一元一次不等式的基本步骤：

去分母、__________、移项、__________、系数化为1.

3．一元一次不等式组：

关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

4．一元一次不等式组的解集：

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集．

5．一元一次不等式组解集的确定方法．

若a＜b，则有：

（1）

的解集是__________，即“同大取大”．

（2）

的解集是__________，即“同小取小”．

（3）

的解集是__________，即“大小小大中间夹”．

（4）

的解集是__________，即“大大小小无解答”．

三、不等式（组）的应用

1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．

2．列不等式（组）解应用题的一般步骤：

（1）审题；

（2）设未知数；（3）

找出能够包含未知数的不等量关系；（4）列出不等式（组）；（5）求出不等式（组）的解；（6）检验解是否符合实际情况；（7）写出答案（包括单位名称）．

第8讲　一元二次方程

知识梳理

一、一元二次方程的概念

1．只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是________________．

二、一元二次方程的解法

1．解一元二次方程的基本思想是__________，主要方法有：

直接开平方法、__________、公式法、__________.

2．配方法：

通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）变形为

2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．

3．公式法：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）当b2－4ac≥0时，x＝____________.

4．用因式分解法解方程的原理是：

若a·b＝0，则a＝0或__________．

三、一元二次方程根的判别式

1．一元二次方程根的判别式是__________．

2

．（1

）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个__________实数根；

（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个__________实数根；

（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）__________实数根．

四、一元二次方程根与系数的关系

1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．

2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.

五、实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题；

（2）设未知数；（3）根据相等关系列方程；（4）__________；（5）检验；（6）写出答案．

第三单元　函数及其图象

第9讲　函数概念与平面直角坐标系

知识梳理

一、平面直角坐标系与点的坐标特征

1．平面直角坐标系

如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫__________，竖直的数轴叫__________，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．

2．各象限内点的坐标特征

点P（x，y）在第一象限⇔x＞0，y＞0；

点P（x，y）在第二象限⇔x＜0，y＞0；

点P（x，y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；

点P（x，y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.

3．坐标轴上的点的坐标特征

点P（x，y）在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；

点P（x，y）在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；

点P（x，y）在坐标原点⇔x＝0，y＝0.

二、特殊点的坐标特征

1．对称点的坐标特征

点P（x，y）关于x轴的对称点P1的坐标为__________；关于y轴的对称点P2的坐标为__________；关于原点的对称点P3的坐标为__________．

2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征

平行于x轴：

横坐标__________，纵坐标__________；

平行于y轴：

横坐标__________，纵坐标__________．

3．各象限角平分线上点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标________．

4．点的平移

将点P（x，y）向右（或向左）平移a个单位，可以得到对应点（x＋a，y）[或（x－a，y）]；将点P（x，y）向上（或向下）平移b个单位，可以得到对应点（x，y＋b）[或（x，y－b）]．

三、距离与点的坐标的关系

1．点与原点、点与坐标轴的距离

点P（x，y）到x轴和y轴的距离分别是|y|和|x|，点P（x，y）到坐标原点的距离为

.

2．坐标轴上两点间的距离

（1）在x轴上两点P1（x1,0），P2（x2,0）间的距离|P1P2|＝__________.

（2）在y轴上两点Q1（0，y1），Q2（0，y2）间的距离|Q1Q2|＝__________.

（3）在x轴上的点P1（x1,0）与y轴上的点Q1（0，y1）之间的距离|P1Q1|＝

.

四、函数有关的概念及图象

1．函数的概念

一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有____

______确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

2．常量和变量

在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．

3．函数的表示方法

函数主要的表示方法有三种：

（1）解析法；

（2）________；（3）图象法．

4．函数图象的画法

（1）__________：

在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；

（2）__________：

以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）__________：

按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．

五、函数自变量取值范围的确定

确定自变量取值范围的方法：

1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母__________的实数．

2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为__________．

3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．

4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．

第10讲　一次函数

知识梳理

一、一次函数和正比例函数的定义

一般地，如果y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．

特别地，当b＝__________时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数．

二、一次函数的图象与性质

1．一次函数的图象

（1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是经过点（0，b）和

的一条直线．

（2）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过点（0,0）和（1，k）的一条直线．

（3）因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．

2．一次函数图象的性质

函数

系数取值

大致图象

经过的象限

函数性质

y＝kx

（k≠0）

k＞0

______

y随x增大而增大

k＜0

______

y随x增大而减小

y＝kx＋b

（k≠0）

k＞0，b＞0

______

y随x增大而增大

k＞0，b＜0

______

k＜0，b＞0

______

y随x增大而减小

k＜0，b＜0

______

一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到，b＞0，上移b个单位；b＜

0，下移|b|个单位．

三、利用待定系数法求一次函数的解析式

因为在一次函数y＝kx＋b（k≠0）中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1（a1，b1），P2（a2，b2）代入得

求出k，b的值即可，这种方法叫做__________．

四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系

1．y＝kx＋b与kx＋b＝0

直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．

2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0

从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零（即kx＋b＞0）的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．

3．一次函数与方程组

两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程