娄底市冷水江市中考数学模拟试题有答案精析.docx

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娄底市冷水江市中考数学模拟试题有答案精析

2020年湖南省娄底市冷水江市中考数学模拟试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．|﹣2020|的值是（　　）

A．B．﹣C．2020D．﹣2020

2．下列运算正确的是（　　）

A．（a4）3=a7B．﹣a5•a5=﹣a10C．（2ab）3=6a3b3D．a6÷a3=a2

3．如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（　　）

A．70°B．100°C．140°D．170°

4．直线y=kx﹣1一定经过点（　　）

A．（1，0）B．（1，k）C．（0，k）D．（0，﹣1）

5．有一组数据：

2，5，7，2，3，3，6，下列结论错误的是（　　）

A．平均数为4B．中位数为3C．众数为2D．极差是5

6．下列命题中，正确的是（　　）

A．菱形的对角线互相垂直且平分

B．平行四边形的对角线相等

C．矩形的对角线互相垂直

D．梯形的对角线相等

7．式子有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≠1B．x≥﹣且x≠1C．x≥﹣D．x＞﹣且x≠1

8．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（　　）

A．B．C．D．

9．如图是一个圆柱体，则它的正视图是（　　）

A．B．C．D．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）

A．1B．1或5C．3D．5

二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）

11．若x2﹣4=（x﹣2）（x+a），则a=　　．

12．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　　（添加一个条件即可）．

13．如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为　　．

14．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=　　．

15．据统计，全国每小时约有510000000吨污水排入江海，用科学记数法表示为　　．

16．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　　．

17．已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是　　cm．

18．如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为　　．

三、解答题（本大题共2道小题，每小题6分，满分12分）

19．计算：

．

20．先化简，再求值：

（1﹣）÷，其中a=．

四、应用与创新（本大题共2道小题，每小题8分，满分16分）

21．为了解某校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．

（1）问：

在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）补全频数分布直方图；

（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学；

（4）为了鼓励“低碳生活”，学校为随机抽到的步行或骑自行车上学的学生设计了一个摸奖游戏，具体规则如下：

一个不透明的袋子中装着标有数字1、2、3、4的四个完全相同的小球，随机地从四个小球中摸出一球然后放回，再随机地摸出一球，若第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，则有小礼物赠送，问获得小礼物的概率是多少（用树状图或列表说明）？

22．如图：

我国渔政船310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测我渔船C在东北方向上．问：

渔政310船再按原航向航行多长时间，渔船C离渔政310船的距离最近？

（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）

五、解答题（本大题共2道小题，每小题9分，共18分）

23．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段

销售数量

销售收入

A种型号

B种型号

第一周

3台

5台

1800元

第二周

4台

10台

3100元

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3）在

（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？

若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

24．已知如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE的延长线上截取BM=AC，在CF的延长线上截取CN=AB，请说明：

（1）AM=AN．

（2）AM⊥AN．

六、综合与探究（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）

25．如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．

（1）请你用含x的代数式表示h；

（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少．

26．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．

（1）求点A的坐标（用m表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：

FC（AC+EC）为定值．

2020年湖南省娄底市冷水江市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．|﹣2020|的值是（　　）

A．B．﹣C．2020D．﹣2020

【考点】绝对值．

【分析】根据绝对值的性质求解即可．注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．

【解答】解：

|﹣2020|的值是2020．

故选：

C．

【点评】此题考查了绝对值的知识，掌握绝对值的意义是本题的关键，解题时要细心．

2．下列运算正确的是（　　）

A．（a4）3=a7B．﹣a5•a5=﹣a10C．（2ab）3=6a3b3D．a6÷a3=a2

【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则求出答案．

【解答】解：

A、（a4）3=a12，故此选项错误；

B、﹣a5•a5=﹣a10，正确；

C、（2ab）3=8a3b3，故此选项错误；

D、a6÷a3=a3，故此选项错误；

故选：

B．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

3．如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（　　）

A．70°B．100°C．140°D．170°

【考点】平行线的性质．

【分析】延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【解答】解：

如图，延长∠1的边与直线b相交，

∵a∥b，

∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°，

由三角形的外角性质，∠3=∠2+∠4=90°+50°=140°．

故选：

C．

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．

4．直线y=kx﹣1一定经过点（　　）

A．（1，0）B．（1，k）C．（0，k）D．（0，﹣1）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【专题】存在型．

【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点为（0，b）进行解答即可．

【解答】解：

∵直线y=kx﹣1中b=﹣1，

∴此直线一定与y轴相交于（0，﹣1）点，

∴此直线一定过点（0，﹣1）．

故选D．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数y=kx+b（k≠0）与y轴的交点为（0，b）．

5．有一组数据：

2，5，7，2，3，3，6，下列结论错误的是（　　）

A．平均数为4B．中位数为3C．众数为2D．极差是5

【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．

【分析】根据极差、众数及中位数的定义，结合选项进行判断即可．

【解答】解：

将数据从小到大排列为：

2，2，3，3，5，6，7，

A、平均数=（2+2+3+3+5+6+7）=4，结论正确，故本选项错误；

B、中位数为3，结论正确，故本选项错误；

C、众数为2和3，结论错误，故本选项正确；

D、极差为7﹣2=5，结论正确，故本选项错误；

故选C．

【点评】本题考查了中位数、众数、平均数及极差的知识，掌握各部分的定义是关键，在判断中位数的时候一样要将数据从新排列．

6．下列命题中，正确的是（　　）

A．菱形的对角线互相垂直且平分

B．平行四边形的对角线相等

C．矩形的对角线互相垂直

D．梯形的对角线相等

【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：

A、菱形的对角线互相垂直且平分，故A正确；

B、平行四边形的对角线互相平分，故B错误；

C、矩形的对角线相等，故C错误；

D、等腰梯形的对角线相等，故D错误；

故选：

A．

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

7．式子有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≠1B．x≥﹣且x≠1C．x≥﹣D．x＞﹣且x≠1

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：

由题意得，2x+1≥0，x﹣1≠0，

解得，x≥﹣且x≠1，

故选：

B．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为0是解题的关键．

8．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（　　）

A．B．C．D．

【考点】概率公式．

【专题】常规题型．

【分析】由一共有10种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：

∵一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，

∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：

．

故选：

A．

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比．

9．如图是一个圆柱体，则它的正视图是（　　）

A．B．C．D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的视图，从正面看到圆柱体为长方形，即可得出结果．

【解答】解：

从正面看圆柱体是一个长方形．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了简单几何体三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图，比较简单．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）

A．1B．1或5C．3D．5

【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．

【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．

【解答】解：

当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；

当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．

故选：

B．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．

二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）

11．若x2﹣4=（x﹣2）（x+a），则a=　2　．

【考点】因式分解﹣运用公式法．

【专题】计算题；因式分解．

【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可确定出a的值．

【解答】解：

x2﹣4=（x﹣2）（x+2）=（x﹣2）（x+a），

则a=2，

故答案为：

2

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

12．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　∠B=∠C或AE=AD　（添加一个条件即可）．

【考点】全等三角形的判定．

【专题】开放型．

【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．

【解答】解：

添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．

故答案为：

∠B=∠C或AE=AD．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

13．如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为　6　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．

【解答】解：

根据题意可知：

S△ABO=|k|=3，

由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，

则k=6．

故答案为：

6．

【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

14．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=　30°　．

【考点】圆周角定理．

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．

【解答】解：

由题意得，∠AOB=60°，

则∠APB=∠AOB=30°．

故答案为：

30°．

【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．

15．据统计，全国每小时约有510000000吨污水排入江海，用科学记数法表示为　5.1×108　．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：

全国每小时约有510000000吨污水排入江海，用科学记数法表示为5.1×108，

故答案为：

5.1×108．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

16．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　八　．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．

【解答】解：

设多边形的边数是n，根据题意得，

（n﹣2）•180°=3×360°，

解得n=8，

∴这个多边形为八边形．

故答案为：

八．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．

17．已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是　3　cm．

【考点】圆锥的计算．

【专题】计算题．

【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．

【解答】解：

∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，

∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：

l===6π，

∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，

∴r===3cm，

故答案为：

3．

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．

18．如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为　πa　．

【考点】弧长的计算；正多边形和圆；旋转的性质．

【分析】连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3=a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，a，2a，a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．

【解答】解：

连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，

∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，

∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，

∴∠CA1A6=30°，

∴A6C=a，A1C=a，

∴A1A5=A1A3=a，

当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，

以a，a，2a，a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，

∴顶点A1所经过的路径的长=πa，

故答案为：

πa．

【点评】本题考查了弧长公式：

l=，也考查了正六边形的性质以及旋转的性质，难度一般．

三、解答题（本大题共2道小题，每小题6分，满分12分）

19．计算：

．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．

【解答】解：

原式=3﹣1﹣4×+2=3﹣1﹣2+2=2．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．先化简，再求值：

（1﹣）÷，其中a=．

【考点】分式的化简求值．

【专题】计算题．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．

【解答】解：

原式=÷

=•

=，

当a=时，原式==1+．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

四、应用与创新（本大题共2道小题，每小题8分，满分16分）

21．为了解某校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．

（1）问：

在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）补全频数分布直方图；

（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学；

（4）为了鼓励“低碳生活”，学校为随机抽到的步行或骑自行车上学的学生设计了一个摸奖游戏，具体规则如下：

一个不透明的袋子中装着标有数字1、2、3、4的四个完全相同的小球，随机地从四个小球中摸出一球然后放回，再随机地摸出一球，若第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，则有小礼物赠送，问获得小礼物的概率是多少（用树状图或列表说明）？

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法．

【专题】计算题．

【分析】

（1）根据上学方式为“私家车”的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总数；

（2）根据总学生数求出上学方式为“公交车”的学生数，补全条形统计图即可；

（3）求出上学方式为“公交车”的学生所占的百分比，乘以2400即可得到结果；

（4）根据题意画出相应的树状图，得出所有等可能的情况数，找出第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】

解：

（1）32÷40%=80（名），

则在这次调查中，一共抽取了80名学生；

（2）上学方式为“公交车”的学生为80﹣（8+12+32+8）=20（名），

补全频数分布直方图，如图所示；

（3）根据题意得：

2400×=600（名），

则全校所有学生中有600名学生乘坐公交车上学；

（4）根据题意画出树状图，如图所示：

得到所有等可能的情况数有16种，其中第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，即有小礼物赠送的有6种，则P==，

则获得小礼物的概率是．

【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．

22．如图：

我国渔政船310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测我渔船C在东北方向上．问：

渔政310船再按原航向航行多长时间，渔船C离渔政310船的距离最近？

（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【分析】首先作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C的距离最近，进而表示出AB的长，再利用速度不变得出等式求出即可．

【解答】解：

作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C的距离最近，设CD长为x．

在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=，

∴AD=x，

在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，

∴BD=CD=x，

∴AB=AD﹣BD=x﹣x=（﹣1）x，

设渔政船从B航行到D需要t小时，则=，

∴=，

∴（﹣1）t=0.5，

解得：

t=，

∴t=，

答：

渔政310船再按原航向航行小时后，渔船C离渔政310船的距离最近．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，利用渔政船速度不变得出等式是解题关键．

五、解答题（本大题共2道小题，每小题9分，共18分）

23．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段

销售数量

销售收入

A种型号

B种型号

第一周

3台

5台

1800元

第二周

4台

10台

3100元

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两