10、两小球质量都是m，都用长为l的细线挂在同一点，若它们带上相同的电量，平衡时两线夹角为2θ。
设小球的半径都可以略去不计，求每个小球上的电量。
解：
小球静止时，作用其上的库仑力和重力在垂直于悬线方向上的分量必定相等。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
§1.2电场电场强度
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计算题：
1、在地球表面上某处电子受到的电场力与它本身的重量相等，求该处的电场强度（已知电子质量m=9.1×10-31kg,电荷为-e=-1.610-19C）.
解：
2、电子所带的电荷量（基本电荷-e）最先是由密立根通过油滴实验测出的。
密立根设计的实验装置如图所示。
一个很小的带电油滴在电场E内。
调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡。
如果油滴的半径为1.64×10-4cm,在平衡时，E=1.92×105N/C。
求油滴上的电荷（已知油的密度为0.851g/cm3）
解：
3、在早期（1911年）的一连串实验中，密立根在不同时刻观察单个油滴上呈现的电荷，其测量结果（绝对值）如下：
6.568×10-19库仑13.13×10-19库仑19.71×10-19库仑
8.204×10-19库仑16.48×10-19库仑22.89×10-19库仑
11.50×10-19库仑18.08×10-19库仑26.13×10-19库仑
根据这些数据，可以推得基本电荷e的数值为多少？
解：
油滴所带电荷为基本电荷的整数倍。
则各实验数据可表示为kie。
取各项之差点儿
4、根据经典理论，在正常状态下，氢原子中电子绕核作圆周运动，其轨道半径为5.29×10-11米。
已知质子电荷为e=1.60×10-19库,求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。
解：
5、
两个点电荷，q1=+8微库仑，q2=-16微库仑（1微库仑=10-6库仑），相距20厘米。
求离它们都是20厘米处的电场强度。
解：
与两电荷相距20cm的点在一个圆周上，各点E大小相等，方向在圆锥在上。
6、
如图所示，一电偶极子的电偶极矩P=ql.P点到偶极子中心O的距离为r,r与l的夹角为。
在r>>l时，求P点的电场强度E在r=OP方向的分量Er和垂直于r方向上的分量Eθ。
解：
其中——
7、把电偶极矩P=ql的电偶极子放在点电荷Q的电场内，P的中心O到Q的距离为r（r>>l）,分别求：
（1）P//QO和
（2）P⊥QO时偶极子所受的力F和力矩L。
解：
（1）
F的作用线过轴心O，力矩为零
（2）
8、
附图中所示是一种电四极子，它由两个相同的电偶极子P=ql组成，这两偶极子在一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起。
证明：
在它们的延长线上离中心为r处，
解：
9、附图中所示为另一种电四极子，设q和l都已知，图中P点到电四极子中心O的距离为x.PO与正方形的一对边平行。
求P点的电场强度E。
当x>>l时，E=？
解：
10、均匀带电细棒
（1）在通过自身端点的垂直面上和
（2）在自身的延长线上的场强分布，设棒长为2l，带电总量为q.
解：
（1）一端的垂直面上任一点A处
（2）延长线上任一点B处
11、两条平行的无限长直均匀带电线，相距为a,电荷线密度分别为±ηe,
（1）求这两线构成的平面上任一点（设这点到其中一线的垂直距离为x）的场强；
（2）求两线单位长度间的相互吸引力。
解：
（1）根据场强叠加原理，任一点场强为两无限长直带电线产生场强的矢量和
（2）
12、如图所示，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。
（1）求轴线上离环中心O为x处的场强E；
（2）画出E—x曲线；（3）轴线上什么地方场强最大？
其值是多少？
解：
（1）由对称性可知，所求场强E的方向平行于圆环的轴线
（2）由场强表达式得到E-X曲线如图所示
（3）求极大值：
13、半径为R的圆面上均匀带电，电荷面密度为σe，
（1）求轴线上离圆心的坐标为x处的场强；
（2）在保持σe不变的情况下，当R→0和R→∞时结果各如何？
（3）在保持总电荷Q=πR2σe不变的情况下，当R→0和R→∞时结果各如何？
解：
（1）由对称性可知，场强E沿轴线方向
利用上题结果
（2）保持σe不变时，
（3）保持总电量不变时，
14、一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为q,求这正方形轴线上离中心为x处的场强。
解：
根据对称性，所求场强沿正方形的轴线方向
对于一段长为l的均匀带电直线，在中垂面上离中点为a处产生的电场强度为
正方形四边在考察点产生的场强为
15、证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线。
这抛物线在什么情况下退化为直线？
解：
（1）设带电粒子的初速度方向与电场方向夹角为θ，其运动方程为
（2）当E为均匀电场且粒子的初速度为零时，或初速度平行于电场方向时，初速度没有垂直于场强方向的分量，抛物线退化为直线。
16、如图所示，示波管偏转电极的长度l=1.5cm,两极间电场是均匀的，E=1.2×104V/m（E方向垂直于管轴），一个电子以初速度v0=2.6×107m/s沿管轴注入。
已知电子质量m=9.1×10-31kg,电荷为e=-1.6×10-19.C.
（1）求电子经过电极后所发生的偏转；
（2）若可以认为一出偏转电极的区域后，电场立即为零。
设偏转电极的边缘到荧光屏的距离D=10厘米，求电子打在荧光屏上产生的光点偏离中心O的距离。
解：
（1）电子的运动方程得
（2）
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§1.3高斯定理
（1）如果第二个点电荷放在高斯球面内；
（2）如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心，但仍在高斯球面内。
答：
由于穿过高斯面的电通量仅与其内电量的代数和有关，与面内电荷的分布及面外电荷无关，所以
（1）
；
（2）
；（3）
4、
（1）如果上题中高斯球面被一个体积减小一半的立方体表面所代替，而点电荷在立方体的中心，则穿过该高斯面的电通量如何变化？
（2）通过这立方体六个表面之一的电通量是多少？
答：
（1）立方形高斯面内电荷不变，因此电通量不变；
（2）通过立方体六个表面之一的电通量为总通量的1/6。
即
1、
附图所示，在一个绝缘不带电的导体球的周围作一同心高斯面S。
试定性地回答，在将一正点荷q移至导体表面的过程中，
（1）A点的场强大小和方向怎样变化？
（2）
B点的场强大小和方向怎样变化？
（3）通过S面的电通量如何变化？
答：
由于电荷q的作用，导体上靠近A点的球面感应电荷-q′，远离A点的球面感应等量的+q′,其分布与过电荷q所在点和球心O的联线成轴对称，故±q′在A、B两点的场强E′沿AOB方向。
（1）E=E0+E′，q移到A点前，E0和E′同向，随着q的移近不断增大，总场强EA也不断增大。
q移过A点后，E0反向，且E0>E′，EA方向与前相反。
随着q的远离A点，E0不断减小，±q′和E′增大，但因E′始终小于E0，所以EA不断减小。
（2）由于q及±q′在B点的场强始终同向，且随着q移近导体球，二者都增大，所以EB不断增大。
（3）q在S面外时，面内电荷代数和为零，故Φ=0；q在S面内时，Φ=q/ε0；当q在S面上时，它已不能视为点电荷，因高斯面是无厚度的几何面，而实际电荷总有一定大小，此时Φ=△q/ε0，△q为带电体处于S面内的那部分电量。
2、有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上，在此气球被吹大的过程中，下列各处的场强怎样变化？
（1）始终在气球内部的点；
（2）始终在气球外部的点；（3）被气球表面掠过的点。
答：
气球在膨胀过程中，电荷始终均匀分布在球面上，即电荷成球对称分布，故场强分布也呈球对称。
由高斯定理可知：
始终在气球内部的点，E=0，且不发生变化；
始终在气球外的点，场强相当于点电荷的场强，也不发生变化；
被气球表面掠过的点，当它们位于面外时，相当于点电荷的场强；当位于面内时，E=0，所以场强发生跃变。
3、求均匀带正电的无限大平面薄板的场强时，高斯面为什么取成两底面与带电面平行且对称的柱体的形状？
具体地说，
（1）为什么柱体的两底面要对于带电面对称？
不对称行不行？
（2）柱体底面是否需要是圆的？
面积取多大合适？
（3）为了求距带电平面为x处的场强，柱面应取多长？
答：
（1）对称性分析可知，两侧距带电面等远的点，场强大小相等，方向与带电面垂直。
只有当高斯面的两底面对带电面对称时，才有E1=E2=E，从而求得E。
如果两底在不对称，由于不知E1和E2的关系，不能求出场强。
若已先证明场强处处相等，就不必要求两底面对称。
（2）底面积在运算中被消去，所以不一定要求柱体底面是圆，面积大小也任意。
（3）求距带电面x处的场强时，柱面的每一底应距带电面为x，柱体长为2x。
同样，若已先证明场强处处相等，则柱面的长度可任取。
17、求一对带等量异号或等量同号电荷的无限大平行平面板之间的场强时，能否只取一个高斯面？
答：
如果先用高斯定理求出单个无限大均匀带电平面的场强，再利用叠加原理，可以得到两个无限大均匀带电平面间的场强。
在这样的计算过程中，只取了一个高斯面。
18、已知一高斯面上场强处处为零，在它所包围的空间内任一点都没有电荷吗？
答：
不一定。
高斯面上E=0，S内电荷的代数和为零，有两种可能：
一是面内无电荷，如高斯面取在带电导体内部；二是面内有电荷，只是正负电荷的电量相等，如导体空腔内有电荷q时，将高斯面取在导体中，S包围导体内表面的情况。
19、要是库仑定律中的指数不恰好是2（譬如为3），高斯定理是否还成立？
答：
不成立。
设库仑定律中指数为2+δ，
穿过以q为中心的球面上的电通量为
，此时通量不仅与面内电荷有关，还与球面半径有关，高斯定理不再成立。
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习题：
1、设一半径为５厘米的圆形平面，放在场强为３００Ｎ／Ｃ的匀强电场中，试计算平面法线与场强的夹角θ取下列数值时通过此平面的电通量。
（１）θ＝００；（２）θ＝３００；（３）θ＝９００；（４）θ＝１２００；（５）θ＝１８００。
解：
2、均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。
解：
通过半球面的电通量与通过半球面在
垂直于场强方向上的投影面积的电通量相等。
3、如附图所示，在半径为Ｒ１和Ｒ２的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Ｑ１和Ｑ２，求：
（１）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布；
（２）若Ｑ１＝－Ｑ２，情况如何？
画出此情形的Ｅ－r曲线。
解：
（１）应用高斯定理可求得三个区域内的场强为
E－r曲线
（r（R1（r>R2）
（2）若Ｑ１＝－Ｑ２，E1=E3=0,
E－r曲线如图所示。
4、根据量子理论，氢原子中心是一个带正电子qe的原子核（可以看成是点电荷），外面是带负电的电子云。
在正常状态（核外电子处在Ｓ态）下，电子云的电荷密度分布是球对称的：
式中a0为一常数（它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道的半径，称为玻尔半径）。
求原子内电场的分布。
解：
电子云是球对称分布，核外电子的总电荷量为
可见核外电荷的总电荷量等于电子的电荷量。
应用高斯定理：
核外电荷产生的场强为
原子核与核外电荷产生的总场强为
5、实验表明：
在靠近地面处有相当强的电场，Ｅ垂直于地面向下，大小约为１００Ｎ／Ｃ；在离地面1.5千米高的地方，Ｅ也是垂直地面向下的，大小约为２５Ｎ／Ｃ。
（1）试计算从地面到此高度大气中电荷的平均密度；
（2）如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。
解：
（１）以地心为心作球形高斯面，恰好包住地面，由对称性和高斯定理得
（2）以地球表面作高斯面
6、半径为Ｒ的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为λ.求场强分布，并画出E－r曲线。
解：
应用高斯定理，求得场强分布为
Ｅ＝０ rr>R
E－r曲线如图所示。
7、一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为Ｒ１和Ｒ２，筒面上都均匀带电。
沿轴线单位长度的电量分别为λ１和λ２，
（1）求各区域内的场强分布；
（2）若λ１＝－λ２，情况如何？
画出此情形的E－r曲线。
解：
（１）由高斯定理，求得场强分布为
rR1r>R2
（２）若λ１＝－λ２，Ｅ１＝Ｅ３＝０，Ｅ２不变。
此情形的E－r曲线如图所示。
8、半径为Ｒ的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度为ρ，求场强分布，并画出Ｅ—r曲线。
解：
应用高斯定理，求得场强分布为
圆柱体内
圆柱体外
E－r曲线如图所示
9、设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示
，式中r是到轴线的距离，ρ０是轴线上的密度值，a是常数，求场强的分布。
解：
应用高斯定理，作同轴圆柱形闭合柱面为高斯面。
Ｅ方向沿矢径r方向。
10、两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为±σ，求各区域的场强分布。
解：
无限大均匀带电平面所产生的电场强度为
根据场强的叠加原理，各区域场强分别为
可见两面外电场强度为零，两面间电场是均匀电场。
平行板电容器充电后，略去边缘效应，其电场就是这样的分布。
11、两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是σ，求各区域的场强分布。
解：
与上题同理，无限大均匀带电平面所产生的电场强度为
应用场强叠加原理，场强在各区域的分布为
可见两面间电场强度为零，两面外是均匀电场，电场强度大小相等，方向相反。
12、三个无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为σ１、σ２、σ３，求下列情况各处的场强：
（１）σ１＝σ２＝σ３＝σ；（２）σ１＝σ３＝σ；σ２＝－σ；（３）σ１＝σ３＝－σ；σ２＝σ；（４）σ１＝σ；σ２＝σ３＝－σ。
解：
无限大均匀带电平面所产生的电场强度为
各区域场强为各带电面产生场强的叠加
Ｅ１
Ｅ２
Ｅ３
Ｅ４
（１）
（２）
（３）
（４）
13、一厚度为d的无限大平板，平板体内均匀带电，电荷的体密度为ρ，求板内、板外场强的分布。
解：
根据对称性，板内外的电场强度方向均垂直于板面，并对中心对称。
应用高斯定理可求得：
板内（r板外（r>d/2）
14、
在半导体p-n结附近总是堆积着正、负电荷，在n区内有正电荷，P区内有负电荷，两区电荷的代数和为零。
把p-n结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触。
取坐标x的原点在p、n区的交界面上，n区的范围是-xn≤x≤0,p区的范围是０≤x≤xP.设两区内电荷体密度分布都是均匀的：
n区
，
P区
（突变结模型）
这里ＮＤ、ＮＡ是常数，且ＮＡxp=NDxn（两区电荷数量相等）。
试证明电场的分布为：
n区
，
P区
并画出ρ和Ｅ随x变化的曲线。
解：
将带电层看成无数无限大均匀带电平面的叠加，
由叠加原理可知，在p-n结以外区域，E=0
（1）对高斯面S1，应用高斯定理
（2）
（2）对高斯面S2，应用高斯定理
（3）ρ和Ｅ随x变化的曲线如图所示。
-
15、如果在上题中电荷的体分布为
p-n结外ρ（x）=0
-xn≤x≤xpρ（x）=-eax（线性缓变结模型）
这里a是常数，xn=xp（为什么？
），统一用xm/2表示。
试证明电场分布为
并画出ρ和Ｅ随x变化的曲线。
解：
正负电荷代数和仍为零，p-n结外E=0
作高斯面
ρ和Ｅ随x变化的曲线如图所示。
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§1.4电位及其梯度
思考题：
1、假如电场力的功与路径有关，定义电位差的公式
还有没有意义？
从原则上说，这时还能不能引入电位差、电位的概念？
答：
如果电场力的功与路径有关，积分
在未指明积分路径以前就没有意义，路径不同，积分结果也不同，相同的位置，可以有无限多取值，所以
就没有确定的意义，即不能根据它引入电位、电位差的概念来描写电场的性质。
2、
（1）在附图a所示的情形里，把一个正电荷从P点移动到Q，电场力的功APQ是正还量负？
它的电位能是增加还是减少？
P、Q两点的电位哪里高？
（2）若移动负电荷，情况怎样？
（3）若电力线的方向如附图b所示，情况怎样？
答：
（1）正电荷在电场中任一点受电场力F=qE，方向与该点E方向相同，在ＰＱ路径上取任一微元， dA>0
P→Q，电场力的功APQ>0，
APQ=q（UP-UQ）=Wp-WQ>0,所以电位能减少，
q>o,A>0,所以ＵＰ>UQ
（２）负电荷受力与电场方向相反，P→Q，电场力的功APQ<0，电位能增加，但仍有ＵＰ>UQ
（３）由于场强方向与前述相反，则所有结论与（１）（２）相反。
3、电场中两点电位的高低是否与试探电荷的正负有关？
电位差的数值是否与试探电荷的电量有关？
答：
电位高低是电场本身的性质，与试探电荷无关。
电位差的数值也与试探电荷的电量无关。
4、沿着电力线移动负试探电荷时，它的电位能是增加还是减少？
答：
沿着电力线移动负试探电荷时，若dl与Ｅ同向，电场力作负功，电位能增加；反之电位能减少。
5、说明电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。
答：
在任何情况下，电力线的方向总是正电荷所受电场力的方向，将单位正电荷逆着电力线方向由一点移动到另一点时，必须外力克服电场力作功，电位能增加。
电场中某点的电位，在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电位能，因此，电位永远逆着电力线方向升高。
6、
（1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电场中高电位处跑还是向低电位处跑？
为什么？
（2）说明无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高处移向电位能低处。
答：
（１）电子带负电，被电场加速，逆着电力线方向运动，而电场中各点的电位永远逆着电力线方向升高——电子向高电位处移动。
（２）若电子初速度为零，无论正负电荷，单在电场力作用下移动，电场力方向与位移方向总是一致的，电场力作正功，电位能减少，所以电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。
7、可否规定地球的电位为+100伏，而不规定它为零？
这样规定后，对测量电位、电位差的数值有什么影响？
答：
可以。
因为电位零点的选择是任意的，假如选取地球的电位是100V而不是0V，测量的电位等于以地为零电位的数值加上100V，而对电位差无影响。
8、若甲、乙两导体都带负电，但甲导体比乙导体电位高，当用细导线把二者连接起来后，试分析电荷流动的情况。
答：
在电场力作用下，电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。
负电荷由乙流向甲，直至电位相等。
9、在技术工作中有时把整机机壳作为电位零点。
若机壳未接地，能不能说因为机壳电位为零，人站在地上就可以任意接触机壳？
若机壳接地则如何？
答：
把整机机壳作为零电位是对机上其他各点电位而言，并非是对地而言。
若机壳未接地，它与地之间可能有一定的电位差，而人站在地上，与地等电位，这时人与机壳接触，就有一定电位差加在人体上。
当电压较高时，可能造成危险，所以一般机壳都要接地，这样人与机壳等电位，人站在地上可以接触机壳。
10、
（1）场强大的地方，是否电位就高？
电位高的地方是否场强大？
（3）带正电的物体的电位是否一定是正的？
电位等于零的物体是否一定不带电？
（4）场强为零的地方，电位是否一定为零？
电位为零的地方，场强是否一定为零？
（5）场强大小相等的地方电位是否相等？
等位面上场强的大小是否相等？
以上各问题分别举例说明之。
答：
（1）不一定。
E仅与电势的变化率有关，场强大仅
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