勾股定理全章综合复习文档格式.doc

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②有一个角是45°

的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

例题：

例1：

已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=15，c=25，则b=___________；

②若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

（2）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）

A.B.C.D.以上都有可能

（3）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是

（4）一架5cm长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端1.4，若梯子顶端下滑了0.8m,则梯子底端将滑动

例2：

已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°

，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A、24 B、36 C、48 D、60

（3）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）．

A．12　　　B．7＋　　C．12或7＋　　D．以上都不对

（4）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）

A、5 B、25 C、7 D、15

考点二：

勾股定理的逆定理

（1）逆定理：

如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。

（2）常见的勾股数：

（3n,4n,5n）,（5n,12n,13n），（8n,15n,17n），（7n,24n,25n）…..（n为正整数）

（3）直角三角形的判定方法：

①如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。

②有一个角是直角的三角形是直角三角形。

③两内角互余的三角形是直角三角形。

④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数的应用

（1）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）

A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7

利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

（1）下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3；

③△ABC中，a：

b：

c=3：

4：

5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

（2）已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2－b2）（a2+b2－c2）＝0，则它的形状为（　　）

A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

（3）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）

A．a:

b:

c=8∶16∶17B．a2-b2=c2

C．a2=（b+c）（b-c）D．a:

c=13∶5∶12

（4）三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）

A.等边三角形;

B.钝角三角形;

C.直角三角形;

D.锐角三角形

（5）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为

（6）若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。

例3：

求最大、最小角的问题

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。

（2）已知三角形三边的比为1：

：

2，则其最小角为。

考点三：

勾股定理的应用

面积问题

（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）

A.13B.26C.47D.94

（图1）（图2）（图3）

（2）如图，△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）

A.S1+S2>

S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<

S1D.以上都不是

（3）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）

A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<

S1D.S2-S3=S1

求长度问题

（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；

另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

最短路程问题

（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是。

（结果保留根式）

（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。

（图1）（图2）

例4：

航海问题

（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．

（2）（深圳）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°

的方向上。

该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°

的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？

试说明理由。

（图1）

例5：

网格问题

（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）

A．0B．1C．2D．3

（2）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对

（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（）

A．25B.12.5C.9D.8.5

（图1）（图2）（图3）

例6：

图形问题

（1）如图1，求该四边形的面积

（2）如图2，已知，在△ABC中，∠A=45°

，AC=，AB=+1，则边BC的长为．

（图1）（图2）

（3）将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。

4）已知直角三角形的三边长为6、8、x，则以x为边的正方形的面积为_____.

（5）如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____米.

（6）如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.

（7）“交通管理条例”规定：

小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，这辆小汽车超速了吗？

拓展提高：

例1.如图中，，，，，求的长

例2．已知：

如图，△ABC中，∠C＝90°

，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：

AE2＋BF2＝EF2．

例3．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

提高练习：

1、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．

A

B

C

D

F

D/

3、如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在D/处，则重叠部分△AFC的面积是多少？

4．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积Sn＝______．

6、如图所示，在△ABC中，AB：

BC：

CA=3：

5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；

点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？

7、如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

并求AC+CE的最小值；

（2）若x+y=12，x＞0，y＞0请仿照

（1）中的规律，运用构图法求出代数式的最小值．

8、梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°

，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）

A.2.5AB B.3AB C.3.5ABD.4AB

9、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°

，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是　_________　．

10、如图：

在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，O为BC的中点．

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．

11、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°

，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

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