第五讲++竞赛中的绝对值选讲.docx

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第五讲++竞赛中的绝对值选讲

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第五讲竞赛中的绝对值（选讲）

素养实验班内部讲义

考试范围：

有理数；考试时间：

100分钟；命题人：

王国胜

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一．选择题（共8小题）

1．a、b、c的大小关系如图所示，则

的值是（　　）

A．﹣1B．1C．﹣4D．3

2．等式|a﹣b|=|b﹣a|成立的条件是（　　）

A．a=bB．a，b中至少有一个为0

C．a，b同号D．a，b为任意有理数

3．在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|=c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|=（　　）

A．d﹣bB．c﹣bC．d﹣cD．d﹣a

4．已知x可以为任意值，则|2x﹣1|+|x+2|的最小值是（　　）

A．

B．5C．3D．

5．若|a|+|b|=|a+b|，则a、b间的关系应满足（　　）

A．b同号B．b同号或其中至少一个为零

C．b异号D．b异号或其中至少一个为零

6．当|x|≤4时，函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值与最小值之差是（　　）

A．4B．6C．16D．20

7．若y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|，y的最小值为（　　）

A．45B．95C．90D．190

8．a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0，则

的值等于（　　）

A．3B．1C．﹣1D．不唯一确定

第Ⅱ卷（非选择题）

请点击修改第Ⅱ卷的文字说明

评卷人

得分

二．填空题（共2小题）

9．已知x＞0，y＜0，z＜0，且|x|＞|y|，|z|＞|x|，化简|x+z|﹣|y+z|﹣|x+y|=　　．

10．已知a，b，c，d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，则|a+d|=　　．

评卷人

得分

三．解答题（共2小题）

11．若a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值．

12．

（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；

（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|=x？

（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|=14？

如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．

第五讲竞赛中的绝对值（选讲）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．a、b、c的大小关系如图所示，则

的值是（　　）

A．﹣1B．1C．﹣4D．3

【分析】根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可确定c＜a＜0＜b，即可确定a﹣b，b﹣c，c﹣aab﹣ac的符号，根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0，即可去掉式子中的绝对值符号，即可进行化简．

【解答】解：

从图中可见，c＜a＜b且a＜0，b＞0，c＜0

所以a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，ab＜0，ac＞0

所以ab﹣ac＜0，

则

=﹣1﹣1﹣1﹣1=﹣4，

故选：

C．

【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

2．等式|a﹣b|=|b﹣a|成立的条件是（　　）

A．a=bB．a，b中至少有一个为0

C．a，b同号D．a，b为任意有理数

【分析】根据绝对值的性质解答．

【解答】解：

|a﹣b|=|b﹣a|成立的条件是：

a，b为任意有理数．

故选：

D．

【点评】本题考查了绝对值的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

3．在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|=c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|=（　　）

A．d﹣bB．c﹣bC．d﹣cD．d﹣a

【分析】由|a﹣b|+|b﹣c|=c﹣a⇒a＜b＜c，又d在a、c之间，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c两种情况，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|=0．分别讨论可得|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|=|c﹣b|=c﹣b．

【解答】解：

由|a﹣b|+|b﹣c|=c﹣a可得a＜b＜c，

又因为d在a、c之间，

故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c两种情况，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|=0．

当a＜d＜b＜c时，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|=d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c=c﹣b，

当a＜b＜d＜c时，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|=d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c=c﹣b，

故选：

B．

【点评】此题主要考查绝对值的几何意义，解题的关键是由条件得出a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c两种情况，注意去掉绝对值时的符号．

4．已知x可以为任意值，则|2x﹣1|+|x+2|的最小值是（　　）

A．

B．5C．3D．

【分析】根据绝对值的性质，分别讨论2x﹣1，x+2与0之间的关系，算出结果，比较得出最后结果．

【解答】解：

①由2x﹣1＞0，x+2＞0得，x＞

，

此时，|2x﹣1|+|x+2|=3x+1＞

即

，|2x﹣1|+|x+2|

；

②由2x﹣1＜0，x+2＜0得，x＜﹣2，

此时，|2x﹣1|+|x+2|=﹣3x﹣1＞﹣3×（﹣2）﹣1，

即x＜﹣2时，|2x﹣1|+|x+2|＞5；

③由2x﹣1≤0，x+2≥0得，﹣2≤x≤

，

此时，|2x﹣1|+|x+2|=3﹣x，

﹣2≤x≤

时，3﹣

≤x≤3﹣（﹣2），

即

，

所以，当x=

时，|2x﹣1|+|x+2|最小，为

；

由2x﹣1＞0，x+2＜0得，x无解；

综上可知，当x=

，|2x﹣1|+|x+2|的值最小为

．

故选：

A．

【点评】本题主要考查了绝对值的性质：

正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

5．若|a|+|b|=|a+b|，则a、b间的关系应满足（　　）

A．b同号B．b同号或其中至少一个为零

C．b异号D．b异号或其中至少一个为零

【分析】根据题中条件判断a，b的关系，可以从相反面考虑．

【解答】解：

设a与b异号且都不为0，则|a+b|=||a|﹣|b||，当|a|＞|b|时为|a|﹣|b|，当|a|≤|b|时为|b|﹣|a|．

不满足条件|a|+|b|=|a+b|，

当a与b同号时，可知|a|+|b|=|a+b|成立；

当a与b至少一个为0时，|a|+|b|=|a+b|也成立．

故选：

B．

【点评】根据题中条件，运用绝对值的性质分情况讨论a与b的关系是做题的关键．

6．当|x|≤4时，函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值与最小值之差是（　　）

A．4B．6C．16D．20

【分析】利用绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，对x的范围分成﹣4≤x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3和3≤x≤4共4类，分别对函数解析式化简，然后根据化简结果求得最值．

【解答】解：

因为﹣4≤x≤4，所以

所以当x=﹣4时，y取最大值18，

当x=2时，y取最小值2．

则最大值与最小值的差是18﹣2=16．

故选：

C．

【点评】本题主要考查了绝对值的性质，正确对x的范围进行分类是解决本题的关键．

7．若y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|，y的最小值为（　　）

A．45B．95C．90D．190

【分析】本题最大的特点是逐步引导研究函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．从而得出对于函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣19|，当x=10时取得最小值．

【解答】解：

由绝对值的几何意义可知，当绝对值的个数为奇数时，取得最小值x是其中间项，而当绝对值的个数为偶数时，则x取中间两项结果一样．

因此，对于函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|，当x=10时取得最小值，

此时ymin=（9+8+7+6+5+4+3+2+1）×2=90．

故选：

C．

【点评】本题主要考查带绝对值的函数、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，归纳能力．属于基础题．

8．a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0，则

的值等于（　　）

A．3B．1C．﹣1D．不唯一确定

【分析】根据a，b，c为非零有理数，且a+b+c=0，则这三个数中既有正数又有负数，不妨设a＞0，c＜0，而b的符号不确定，可以分b＞0和b＜0两种情况进行讨论，求解．

【解答】解：

∵a，b，c为非零有理数，且a+b+c=0

∴这三个数中既有正数又有负数，不妨设a＞0，c＜0

当b＞0时，原式=

+

+

=1﹣1﹣1=﹣1；

当b＜0时，原式=

+

+

=﹣1+1﹣1=﹣1．

故选：

C．

【点评】本题主要考查了绝对值的性质：

正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，正确对a，b，c的符号进行讨论是解决本题的关键．

二．填空题（共2小题）

9．已知x＞0，y＜0，z＜0，且|x|＞|y|，|z|＞|x|，化简|x+z|﹣|y+z|﹣|x+y|=　﹣2x　．

【分析】根据题意，可得x+z＜0，y+z＜0，x+y＞0，进而可以去掉|x+z|﹣|y+z|﹣|x+y|的绝对值，进而可得答案．

【解答】解：

根据题意，

可得x+z＜0，y+z＜0，x+y＞0，

则|x+z|=﹣（x+z），|y+z|=﹣（y+z），|x+y|=x+y，

原式=﹣（x+z）+（y+z）﹣（x+y）=﹣2x，

故答案为﹣2x．

【点评】本题考查绝对值的化简，即|a|=

．

10．已知a，b，c，d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，则|a+d|=　1或0　．

【分析】根据题意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以不外乎两种可能：

①3个为0，1个为2；②2个为0，2个为1，继而讨论|a+d|的值．

【解答】解：

由题意得：

|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以有两种可能：

①3个为0，1个为2，

②2个为0，2个为1，

所以|a+d|只可能取0、1、2，若为2，

则|a+b|=|b+c|=|c+d|=0，

不难得出a=﹣d，所以|a+d|=0，与假设|a+d|=2矛盾．

所以|a+d|只可能取0、1，a=0，b=0，c=﹣1，d=1时|a+d|=1；

a=﹣1，b=0，c=0，d=1时|a+d|=0．

故答案为：

1或0．

【点评】本题考查了绝对值的知识，难度较大，注意对各种情况的讨论，不要漏解．

三．解答题（共2小题）

11．若a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1，试计算|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|的值．

【分析】根据绝对值的定义和已知条件a，b，c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|99=1确定出a、b、c的取值及相互关系，进而在分情况讨论的过程中确定|c﹣a|、|a﹣b|、|b﹣c|，从而问题解决．

【解答】解：

a，b，c均为整数，则a﹣b，c﹣a也应为整数，且|a﹣b|19，|c﹣a|99为两个非负整数，和为1，

所以只能是|a﹣b|19=0且|c﹣a|99=1，①

或|a﹣b|19=1且|c﹣a|99=0．②

由①知a﹣b=0且|c﹣a|=1，所以a=b，于是|b﹣c|=|a﹣c|=|c﹣a|=1；

由②知|a﹣b|=1且c﹣a=0，所以c=a，于是|b﹣c|=|b﹣a|=|a﹣b|=1．

无论①或②都有|b﹣c|=1且|a﹣b|+|c﹣a|=1，

所以|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|=2．

【点评】根据绝对值的定义和已知条件确定出a、b、c的取值及关系是解决本题的关键，同时注意讨论过程的全面性．

12．

（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；

（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|=x？

（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|=14？

如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．

【分析】

（1）数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数或|a﹣b|；

（2）利用绝对值的几何意义进行化简；

（3）利用绝对值的几何意义进行化简，求得|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再进行判断．

【解答】解：

（1）|a﹣b|；

（2）x的取值可能是x＜﹣1，﹣1≤x≤3，x＞3，

化简得﹣2x+2，4，2x﹣2，

则不存在|x+1|+|x﹣3|=x的情况；

（3）x的取值可能是x＜﹣4，﹣4≤x＜﹣3，﹣3≤x≤3，3＜x≤4，x＞4，

化简得﹣4x，﹣2x+8，14，2x+8，4x，

故存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|=14，

即﹣3≤x≤3，x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．

【点评】本题考查了绝对值的性质，几何意义，分情况进行讨论，有一定的难度．