中考专题复习之方案设计问题.docx
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中考专题复习之方案设计问题
专题复习（三） 方案设计问题
方案设计型题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优.方案设计的常见类型有利用方程、不等式进行方案设计、利用函数进行方案设计，图形问题中的方案设计、测量问题中的方案设计等.
题型之一 利用方程、不等式进行方案设计
（2014·益阳）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在
（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
【思路点拨】
（1）根据“3台A型＋5台B型”的销售收入等于1800以及“4台A型＋10台B型”的销售收入等于3100，列方程组得各自售价；
（2）设购进A型a台，则B型（30－a）台，利用金额不超过5400建立不等式求解；
（3）根据
（2）中30台得利润为1400，建立方程，求解.
【解答】
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元.依题意，得
解得
答：
A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30－a）台.依题意，得
200a＋170（30－a）≤5400，解得a≤10.
答：
超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元.
（3）依题意有
（250－200）a＋（210－170）（30－a）＝1400，
解得a＝20.
此时，a>10.
即在
（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标.
_
列方程（组）或不等式组设计方案问题的关键是找到题目中的等量关系或者不等关系，然后根据结果设计方案.
_
1.（2015·滨州模拟）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在
（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？
若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
2.（2013·自贡）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满.
（1）求该校的大小寝室每间各住多少人；
（2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？
3.（2014·衡阳）某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品.已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件.
（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；
（2）有多少种购买方案？
请列举所有可能的结果；
（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率.
题型之二 利用函数进行方案设计
_（2015·天门）随着信息技术的快速发展，“互联网＋”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：
收费方式
月使用
费/元
包时上网
时间/h
超时费/
（元/min）
A
7
25
0.01
B
m
n
0.01
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB.
（1）如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：
m＝ ；n＝ ；
（2）写出yA与x之间的函数关系式；
（3）选择哪种方式上网学习合算，为什么？
_
【思路点拨】
（1）根据一次函数图象0～50h的收费与时间得出m、n的值；
（2）A的收费方式包括两部分：
月使用费＋超过25小时产生的超时费；
（3）将yA的图象画在所给的坐标系中，根据函数图象解答.
【解答】
（1）由题意得m＝10，n＝50.
（2）当0≤x≤25，yA＝7；
当x>25时，yA＝7＋（x－25）×0.01×60
＝0.6x－8.
∴yA＝
（3）令yA＝10，得0.6x－8＝10.解得x＝30.
所以函数yA的图象在x取0～25h时，y＝7.
当x＝30时，y＝10.
在同一坐标系内画出yA的图象，如图.
∴当0≤x<30时，选A方式合算；
当x＝30时，选A方式或B方式一样；
当x>30时，选B方式合算.
_
运用一次函数判断何种方式更合算，通常用分类讨论的方法列出方程和不等式，求自变量的取值或取值范围，但如果题目中有画好的函数图象，也可以直接观察图象解决.
_
1.（2014·凉山）我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园.甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲、乙两种树苗的成活率分别是90%和95%.
（1）若购买这两种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）要使这批树苗的成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？
（3）在
（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？
并求出最低费用.
2.某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案：
甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？
3.（2014·丽水）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
m－3
月处理污水量（吨/台）
220
180
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？
并求出每月最多处理污水量的吨数.
4.（2015·临沂）新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：
第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：
降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：
降价10%，没有其他赠送.
（1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式；
（2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算.
题型之三 图形问题中的方案设计
（2014·济宁）在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：
（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；
（2）设计的整个图案是某种对称图形.王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告.
名称
四等分圆的面积
方案
方案一
方案二
方案三
选用的
工具
带刻度的三角板
画出
示意图
简述设
计方案
作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份.
指出
对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形
【思路点拨】 方案二：
由题意得分割成的一部分面积为9π，故在圆心O处以3个单位长度为半径作圆，然后将圆环三等分即可；方案三：
作出圆的直径AB，分别画两个半径为3个单位长度的小圆即可.
【解答】
名称
四等分圆的面积
方案
方案一
方案二
方案三
选用的
工具
带刻度的三角板
带刻度三角板、量角器、圆规.
带刻度三角板、圆规.
画出
示意图
简述设
计方案
作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份.
（1）以点O为圆心，以3个单位长度为半径作圆；
（2）在大⊙O上依次取三等分点A、B、C；（3）连接OA、OB、OC.则小圆O与三等分圆环把⊙O的面积四等分.
（1）作⊙O的一条直径AB；
（2）分别以OA、OB的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O1、⊙O2；（3）则⊙O1、⊙O2和⊙O中剩余的两部分把⊙O的面积四等分.
指出
对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形.
轴对称图形
既是轴对称图形又是中心对称图形.
_
图形方案设计问题通常先给出一个图形（可能是规则的也可能是不规则的），然后让你用直线或弧线将图形分成形状或面积相等的几部分.解决这类问题可借助对称的性质、角度的大小、面积公式等进行分割.
_
1.（2015·广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的裁剪线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积.（注：
不同的分法，面积可以相等）
_
2.（2015·哈尔滨）图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点.
（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON＝90°；
（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于
（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）.
_
3.如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形.
（1）请你仿照图1，用两段相等的圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形；
（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形.
_
题型之四 测量问题中的方案设计
（2014·达州）达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°.己知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm，如图1，请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD，如图2所示，要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡.
_
（1）在图3中画出设计草图；
（2）求BC、CD的长度.（结果精确到个位）
（参考数据：
sin35.5°≈0.58，cos35.5°≈0.81，tan35.5°≈0.71，sin82.5°≈0.99，cos82.5°≈0.13，tan82.5°≈7.60）
【思路点拨】
（1）根据题意结合入射角度画出符合题意的图形；
（2）利用有公共边的双直角三角形的“一公共直角边”作为桥梁，利用线段的和与差求出待求线段.
_
【解答】
（1）如图所示.
（2）由题意可得：
∠CDB＝35.5°，∠CDA＝82.5°，
设CD＝x，则tan35.5°＝
，∴BC＝0.71x.
在Rt△ACD中，
tan82.5°＝
＝
＝7.6，解得x≈30.
∴BC＝0.71×30≈21（cm）.
答：
BC的长度是21cm，CD的长度是30cm.
_
这是一道给定条件设计测量方案的题，要根据所给条件将问题转化到直角三角形中，利用锐角三角函数解直角三角形，进而进行设计.
_
_
1.（2015·佛山）如图，在水平地面上竖立着一面墙AB，墙外有一盏路灯D.光线DC恰好通过墙的最高点B，且与地面形成37°角.墙在灯光下的影子为线段AC，并测得AC＝5.5米.
（1）求墙AB的高度；（结果精确到0.1米，参考数据：
tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
（2）如果要缩短影子AC的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法.
_
2.如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处去测飞行距离），请设计一个求路MN的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤.
3.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路x同侧，AB＝50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小明设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线x垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和s1＝PA＋PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线x的对称点是A′，连接BA′交直线x于点P），P到A、B的距离之和s2＝PA＋PB.
_
（1）求s1、s2，并比较它们的大小；
（2）请你说明s2＝PA＋PB的值为最小；
（3）恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线y的距离为30km，请你在x旁和y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
参考答案
题型之一 利用方程、不等式进行方案设计
1．
（1）设A型号电风扇的销售单价为x元，B型号电风扇的销售单价为y元，
由题意得
解得
答：
A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设再采购A型号电风扇a台，则B型号电风扇（50－a）台，由题意得160a＋120（50－a）≤7500.
解得a≤37.5.因为a为正整数，所以A种型号的电风扇最多能采购37台．
（3）能实现利润超过1850的目标．
理由如下：
由题意得（200－160）a＋（150－120）（50－a）＞1850.
解得a>35.所以在
（2）的条件下，要实现利润超过1850，则35因为a为正整数，所以a取36，37.
方案一：
A型号电风扇36台，B型号电风扇14台；
方案二：
A型号电风扇37台，B型号电风扇13台．
2.
（1）设该校大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，则
解得
答：
该校大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．
（2）设应安排小寝室z间，则有6z＋8（80－z）≥630，解得z≤5.
∵z为自然数，∴z＝0，1，2，3，4，5.
答：
共有6种安排住宿方案．
3.
（1）y＝15－2x.
（2）设笔记本和中性笔两种奖品各a，b件，则a≥1，b≥1，2a＋b＝15.
当a＝1时，b＝13；
当a＝2时，b＝11；
当a＝3时，b＝9；
当a＝4时，b＝7；
当a＝5时，b＝5；
当a＝6时，b＝3；
当a＝7时，b＝1.
故有7种购买方案．
（3）买到的笔记本和中性笔数量相等的购买方案有1种，共有7种购买方案．
（4）∵1÷7＝
，
（5）∴买到的笔记本和中性笔数量相等的概率为
.
题型之二 利用函数进行方案设计
1.
（1）设购甲种树苗x株，乙种树苗y株，则
解得
答：
购甲种树苗400株，乙种树苗600株．
（2）设购买甲种树苗z株，则乙种树苗（1000－z）株，列不等式：
90%z＋95%（1000－z）≥92%×1000.
解得z≤600.答：
甲种树苗至多购买600株．
（3）设购买树苗的总费用为w元，则w＝25z＋30（1000－z）＝－5z＋30000.
∵－5＜0，∴w随z的增大而减小．
∵0＜z≤600，∴当z＝600时，w最小值为30000－5×600＝27000（元）．
答：
当购甲种树苗600株，乙种树苗400株时，总费用最低，最低费用是27000元．
2.设有x（x>0）名教师到外地进行学习，甲宾馆费用为y甲，乙宾馆费用为y乙．
当x>45时，由题意，得y甲＝120×35＋（x－35）×120×90%＝108x＋420；
y乙＝120×45＋（x－45）×120×80%＝96x＋1080.
分三种情况：
①当y甲>y乙时，108x＋420＞96x＋1080.解得x>55；
②当y甲＝y乙时，108x＋420＝96x＋1080.解得x＝55；
③当y甲＜y乙时，108x＋420＜96x＋1080.解得45当x≤45时，又分两种情况：
①当0＜x≤35时，y甲＝y乙＝120x；
②当35此时y甲综上所述当人数大于55人时选乙宾馆，当人数大于0小于等于35人或等于55人时甲乙宾馆均可，
当人数大于35人小于55人时选甲宾馆．
3.
（1）根据题意，得
＝
，解得m＝18.经检验，m＝18是所列方程的解，且符合题意．
答：
m的值为18.
（2）由
（1）可知，A型号的污水处理设备每台18万元，B型号的污水处理设备每台15万元．
设购买A型号的污水处理设备x台，则18x＋15（10－x）≤165，解得x≤5.又∵0＜x＜10，且x为整数，
∴x可取0，1，2，3，4，5，即共有6种购买方案．
设某种方案每月能处理的污水量为w吨，则w＝220x＋180（10－x）＝40x＋1800.
∵w随x的增大而增大，
∴当x＝5时，w有最大值，其最大值为2000.
即购买A型号、B型号的污水处理设备分别为5台、5台时，月处理的污水量最多为2000吨．
4.
（1）当1≤x≤8时，y＝4000－30（8－x）＝30x＋3760；
当8∴所求函数关系式为y＝
（2）当x＝16时，方案一每套楼房总费用：
w1＝120（50×16＋3600）×92%－a＝485760－a；
方案二每套楼房总费用：
w2＝120（50×16＋3600）×90%＝475200.
∴当w110560；
当w1＝w2时，即485760－a＝475200时，a＝10560；
当w1>w2时，即485760－a>475200时，a<10560.
因此，当每套赠送装修基金多于10560元时，选择方案一合算；
当每套赠送装修基金等于10560元时，两种方案一样；
当每套赠送装修基金少于10560元时，选择方案二合算．
题型之三 图形问题中的方案设计
1．第一种分法中的最小三角形的面积为1，
第二种分法中的最小三角形的面积为2，
第三种分法中的最小三角形的面积为2，
第四种分法中的最小三角形的面积为
.
2.略
3.略
题型之四 测量问题中的方案设计
1．
（1）在Rt△ABC中，tanC＝
.∴AB＝AC·tan37°＝5.5×0.75＝4.125≈4.1（米）．
（2）方法一：
将灯泡D向上移动；
方法二：
将灯泡D向右移动；
方法三：
将灯泡D向右上移动．
2.
（1）如图，测出飞机在A处对山顶的俯角α，测出飞机在B处对山顶的俯角β，测出A、B的距离d，
连接AM，BM.
（2）第一步：
在Rt△AMN中，tanα＝
，
∴AN＝
.
第二步：
在Rt△BMN中，tanβ＝
，
∴BN＝
.
∵AN－BN＝d，∴
－
＝d.
解得MN＝
.
3.
（1）图1中过B作BC⊥x于C，过A作AD⊥BC于D，则BC＝40km.
又∵AP＝10km，
∴BD＝BC－CD＝40－10＝30（km）．
由勾股定理可得AD＝
＝40（km）．
在Rt△PBC中，BP＝
＝40
（km）．
s1＝（40
＋10）km.
图2中，过B作BC⊥AA′，垂足为C，AA′与直线x交于点N，则A′C＝NC＋NA′＝NC＋AN＝50（km）．
又AC＝CN－AN＝40－10＝30（km），AB＝50km，则在Rt△BCA中，BC＝40km.
∴BA′＝
＝10
（km）．
由轴对称知：
PA＝PA′，
∴s2＝PA＋PB＝PA′＋PB＝BA′＝10
（km）．
∴s1＞s2.
（2）如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA′，由轴对称知MA＝MA′，
∴MB＋MA＝MB＋MA′＞A′B.
∴s2＝BA′＝PA＋PA为最小．
（3）如图3过A作关于x轴的对称点A′，过B作关于y轴的对称点B′，
连接A′B′，交x轴于点P，交y轴于点Q，
则P，Q即为所求．过A′、B′分别作x轴、y轴的平行线交于点G，
连接QB、PA.B′G＝40＋10＝50（km），A′G＝30＋30＋40＝100（km），A′B′＝
＝50
（km），
∴AB＋AP＋BQ＋QP＝AB＋A′P＋PQ＋B′Q＝50＋50
（km）．
∴所求四边形的周长为（50＋50
）km.
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