.'r
作变换，令3=30,上式可改写为
R_»・
xE=（R-r）cos30+ecos（3cp）
r
R-ryE=（/?
_/•）sin30_£sin（3cp）
r
（3）
对照式
（2）和式（3）中的系数，有
联解之，得
（4）
3a
—a,e=—
22
做一个如图3・2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出p=acos20的四叶玫瑰曲线。
2.手指转笔
在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？
请你用卞述刚体简化模型，进行分析计算：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；
（3）给出笔与手指间的摩擦因数“随AC长度*变化应满足的条件。
手指转笔的刚体简化模型：
如题4图所示，设手指为半径为的圆柱，笔为一回转半径为Q的细直杆（对质心C转动惯量为〃s'）。
设手指保持不动，开始时笔在距质心C距离为Q的A处与手指相切，初角速度为％，设p＞冰，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。
q（x）
解:
（1）关键词：
平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒。
（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点川（圆柱上的点），此时杆绕川旋转的角速度为",
质心C与A距离为庆杆对A的转动惯量为JA=m（p2+x2）,依题意，A为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得
（1）
设杆受压力巴丫和摩擦力F,如图4」（“所示，a：
分别为质心加速度的径向和
切向分量，a为杆转动的角加速度。
A
i
nn
ClCAaC
kaCA
C
丿
X
'i
（a）（b）
图4-1
4和A'两点瞬时重合，A相对于A'的加速度与4相对于A的加速度等值反向，而
=Rco2（纯滚动接触点的加速度），由4指向0。
故有％=加，由O指向且A
点的加速度无切向分量，而由基点法可知
（2）
方向如图4」b所示，其中aA=a\=Rco\aTCA=xa.代入式
（2）后，投影得
a；=Rco2一ca,=co2x
（3）
（4）
根据刚体平面运动微分方程，可列出
macx=ma".=Fniacy=一〃=_Fn
mp2a=FNx
联立求解式（3）和式（4）,可得
>0
（6）
（3）、分析摩擦因数“应满足的条件：
若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数“应满
八
・W+jc）
足
（7）
因|x|=|p-/?
^|,对&w[0,2/r],有冈e[0,q],（°＞欣）。
则
PmaxW=“（P）=晋
K
故“日
R
三、小虫在转盘上爬行
一光滑水平面上的圆盘，中心O用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为人。
在圆盘上P点有一个质量为加的小虫，处于静止状态，如题5（a）图所示。
小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。
请你分析计算。
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）在g时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（b）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。
（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题3图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的
角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。
（b）
（c）
解：
（1）关键词：
点的合成运动，动量矩守恒。
（2）取小虫为动点，定参考系O-RZ，动参考系O-x'）々'固连在转盘上，与转盘一起转动。
根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴0的动量矩守恒。
设在心时刻，卩为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），-『为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为r为小虫相对于定参考系的位矢，r'为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度冬=0><「'。
如图3、图4所示。
根据点的速度合成公式，有
v=vr+ve=vr+coxrf
（1）
由于系统对转轴的动量矩守恒，有
Joco+mrxv=0
（2）
在此问题中，r=r\可以得到
JQco+mrfx（vr+r）=0
进一步有
co+rxvr=0
人+加八
设厂与乙的夹角为方，则上式可以化为
Ifl~
"+7^^^sm'=0
（3）
（4）
（5）
所以，转盘转过的角位移为
将式中的用小虫在动参考系中爬行的路程d$表示，可得转盘转过的角位移为
mrfsin0f
（6）
0=_J-ds
“/+mr-
若用极坐标描述（如图5）,有
则式（6）可表示为
r=r\0）0<6><6>{
（7）
S人+加产（&）
（8）
从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。
（3）当小虫爬行的轨迹为圆弧时，如图6所示，有
0<0代入式（8）,得
mr^a
0=_2——
Jo+mr；
（9）
当小虫沿圆弧爬行一周时，将a=2”代入上式，可得转盘转过的角度为
2/rmr：
0=_—
Jo+mrj
（10）
四、四两拔千斤
•••■・■■•
（1）“四网拨干斤”与力学中的什么内容冇关系？
关键词：
力的合成。
〔2）试用力学原理简要解析一下“四两拨「•斤”的关键所在？
“四两拨T•斤”说的是用很小的力去改变一个很大的力的方向。
为了最仃效地改变力的方向，即要使合力集与原力片之间的夹角为最人。
以小力笃长度为半径価出—•圆，则片起点到圆的切线方向为合力耳与原力九之间夹角的最人值。
与切向垂肖的半径方向为耳最有效方向。
此时只与右的方向夹角为,T-a=^-aiccos^-0此方向的&不仅改变力的方向，而II也化解了部分的力，「厲|<|斤|。
故过招时改变对方力的方向的扱佳角度为与来力成一钝角。
原力人方向相垂冑的时候作用效果最明显。
（3）试分析图示拔桩装宣的力学原理。
（3）试分析图示拔桩装置的力学原理。
分别对A、B点受力分析町得两个力三角形，山几何关系可得
Fba=卩旳•cotatFcb=cota,
IhFab~尸恥，可得Fqb=^ha'co^2a。
为角度Q非常小时，COtCZ的值很人。
即町以川和对较小的力屜去拉动很人的力尸加。
五、自动向上滚的论子（南京工程学院）
有这么一条轨道，一个轮子放在这轨道上，轮子不是向下，反而向上滚6轮子由两个相同的圆锥底面相贴而成，轨道的形状如下图。
图
（2）⑹分别为轨道的侧视图与俯视图。
图（C）为轮子的示意图。
（a）
请你分析一下：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）试用力学原理简单解析一下轮子往上滚动的原因。
（3）求出直轨道和轮子的尺寸以及夹角的关系。
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
关键词：
重力作功。
（2）试用力学原理简单解析一下轮子往上滚动的原因。
轮子能往上滚动是因为重力作功。
由于轨道与轮子的形状比较特殊，虽然在轨道上看，轮子是往上滚动，但是轮子的重心在轨道低处时要比轮子在轨道高处时高。
重力作功，所以轮子能往上滚动。
（3）求出直轨道和轮子的尺寸以及夹角的关系。
设有效轨道的最低端为A,最高端为B,两端的水平距离为/,如图（3）,在A、B处轨道高度分别为仏、仏，而“分别为轮子在轨道a、B处与两侧轨道接触点之间的距离。
⑴
II则'I
b—*：
只要轮子在A处的重心位置比在E处高，轮子就可以沿着这条轨道往上滚动。
由图
（1）、
（2）、（3）的几何关系可得，
轮子在A处其重心到轨道底部距离为仏+（九一■|）/g&o
轮子在E处其重心到轨道底部距离为hB+（/70-£）fgOo
由图（3）可知
b-a=2/-tan—,
2
由图
（1）（3）可得
・tauae
C0ST
由①②式町得轮了在A、E处时具重心的岛度并为
a\
（b、
仏+
心7卜110
力b+
tau6?
=（hA一力』+牙（b_a）tan0
当A//>0,即轮子的豆心高度在轨道最低处A人于其在轨道最高处B时，轮子就会向上滚动。
丁足当满足下而的条件
tgaV
a轮子将会向上滚动。
六、难中的奖（南京工程学院）
游乐场中常有•种游戏，让人站在二米以外，用篮球把六个易拉罐垒成的二层结构打翻，易拉罐被打中后平移不算成功，三次机会，如果能都打翻就有奖品。
一个人在旁边看了很久，不少人去试，但是都-无所获。
这人注意到，易拉確里而都灌满了泯凝土，如下图垒三层放在地面上。
易拉罐均为圆柱体,高0.1277/,圆柱直径为0.06m,质量为0.81居，篮球直径为0・36加，质量
为0・4艇。
假设冲击力均足够大，地面摩擦系数足够大。
请你分析一下;
<1）为什么很难中这个奖?
（2）假设掷出的篮球都能碰到易阳中奖的儿率有笫大？
<3）为了中奖应采取什么措施?
（1）为什么很难中这个奖?
球面与圆形物体接触时，力所在方向一定在过接触点与易拉罐电心的纵截面上。
图
（1）
图
（2）分别为篮球击屮易拉罐并使貝翻倒的最低点和最高点，球心与接触点连线与水平方
向夹角分别为a】、a,o
由图中几何关系得
".18-121
snicr.==一
1183
129
^2=—=2
I6
因冲击力的方向沿球与易拉罐的接触点与球心的连线方向，篮球只能冲击易拉罐前端的顶点才有可能击翻易拉罐。
如果球心与接触点连线与水平方向夹角为°,则必须有勺<°<6，冲击力才能产生使易拉罐绕另一侧底边转动的力矩。
若°>8,则冲击力对另一侧底边的力矩的方向均与易拉罐重力相同，无论冲击力有多大都不能击翻易拉罐。
为能击翻易拉罐，篮球的最低点距离地面最大为
12一（18一18sin如=18x吕一6=10.1c〃7
在距离三米以外击中易拉罐这么小的范围非常困难。
如果角度不对，力量再大也不能击翻易拉罐。
所以很难中这个奖。
（2）假设掷出的篮球都能碰到易拉罐，中奖的几率有多大？
粗略地计算，篮球能击翻易拉罐其最低点离地面最大为10.1cm,而篮球能碰到易拉罐其最低点离地面最大为36cm,假设只有正碰时才能击翻易拉罐，则每次机会都要击翻地面上的一个易拉罐。
于是中奖的几率为
可见中奖的儿率非常低。
（3）为了中奖应釆取什么措施？
只要击翻了地面上的三个易拉罐，垒在其上的另外三个也将翻倒。
故每次机会都应瞄准地面上的易拉罐，投掷的角度不能太大，这样才能提高中奖的可能性。
八、四人追车
平直轨道上有一节质量M二20m的车厢，速度为v0,车厢与铁轨间摩擦可以忽略。
有4个人列队前行，前两个人质量同为〃7,第3个人质量为加3,第4个人质量为〃心当前两个人发现车厢后，以速度2“追上车厢并且登上去坐下。
第3个人发现较晚，但是也以2.2vo的速度追上登上去坐下。
第4个人发现最晚，但最后还是以1.15vo速度追上去刚好登上了车厢。
根据以上条件，回答下下列问题：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）加3，加4与加有没有关系？
如果有关系，请找出它们与〃7的关系。
（3）如果其它条件不变，第4个人的质量加4增加，登上车厢后坐下，对车厢的速度影响有多大？
答案：
（1）动量守衡。
（2）假设第3个人登上去坐下后，车厢的速度为“，
根据动量守衡：
（M+2tn+m5）u=Mv0+4加％+2.2n?
3v0
得打_24〃叫+2.2®%
22〃？
+阳3
又u=1.15v0
由上面两式得：
加3=L24加
W4与m没有关系。
（3）假设第4个人登上去坐下后，车厢的速度仍然为v=1.15v0,所以如果其他
条件不变他的质量对速度没有变化。
Vo
九、魔术表演
利用一无底的薄壁圆桶（设半径R）,再找两个乒乓球，如果满足2R>2r>R就可以进行魔术表演了：
把两乒乓球如图所示放在圆桶内，那么有时候圆桶会翻倒，有时候不会翻倒。
1、为什么要满足2R>2r>R
2、假设圆桶重Q,球重P,圆桶不翻倒需要满足什么条件？
3、要使得圆桶有时候翻倒，有时候不翻倒，这里面有什么“机关”？
解答：
1、2R>2i,保证球可以放入桶内。
2r>R,保证两球重心不在一水平线，从而产生翻倒力矩。
2、
Q
整体受力如图，在临界翻倒的情况下，应有M=0,对〃取矩，有
QR+P（2/?
-r）+Pr=Nc（2R-r）
取两球为研究对象，可得
W2P
联立求解，可得：
P=QR/2（R-r）
故要使得圆桶不翻倒，必须满足P3、魔术的机关在于：
2个乒乓球的重量不一样，一个是普通的乒乓球，一个是注水的乒乓球。
表演魔术时，如果先放空心乒乓球再放注水乒乓球，圆桶就会翻倒，若先放注水乒乓球再放空心乒乓球，圆桶不会翻倒。
要满足的条件：
根据2的结果，注水乒乓球的重量Pi>"2（凡方,空心乒乓球的重量Pi十、绊马索
古代战争中，绊马索常用于拦截敌方的骑兵队伍。
下图为一隐蔽在树林中的绳索，两端系于树根部。
当敌方的骑兵向绊马索的中部冲杀过来时，坐骑可能会被绊倒。
若设绳索的弹性模量为E,强度极限为巧,，系于两树之间的长度为厶，横截面积为A。
试问：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）绳子中部的变形量△与冲击力尸的关系？
（3）若绳索的初始张力为化，坐骑与士兵的总质量为加。
试问，要想冲断绳索,骑兵的极限速度至少为多少？
解：
（1）
（2）
卜
冲击问题，强度问题
1+耳竺丫
2（L丿
竺，5】％丄=竺
8EAA%L
FI
EA
FL?
（3）能量守恒
1.—mv・2
1EA
•■I
2L
L
△厂
鑫’得到宀8E4
1
mv2eV
4EA
FEA
Z7_T
31
（g晋聞
故极限速度T的T°）馬
升级会员 