06一元一次方程.docx
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06一元一次方程
第6章 一元一次方程2
§6.1从实际问题到方程2
§6.2解一元一次方程4
1.方程的简单变形4
2.解一元一次方程6
阅读材料10
丢番图的墓志铭与方程10
§6.3实践与探索10
阅读材料14
2＝3？
14
小 结14
复 习 题15
第6章 一元一次方程
一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？
44×？
＋64＝328
§6.1从实际问题到方程
问题1某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还
需租用44座的客车多少辆？
回忆小学里已经学过列方程的解法，我们不妨回顾一下：
设需租用客车x辆，共可乘坐44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体
328人．可得44x＋64＝328． ①解这个方程，就能得到所求的结果．
问题2
在课外活动中，张老师发现同学们的年龄基本是13岁．就问同学：
“我
今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?
”“三年!
”小敏同学很快发现了答案．他是这样算的：
1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的
； 2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的
； 3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的
． 也有的同学说，我们可以列出方程来解：
设x年后同学的年龄是老师年龄的
，而x年后同学的年龄是（13＋x）
岁，老师的年龄是（45＋x）岁，可得13＋x＝
（45＋x）． ② 这个方程不像问题1中的方程①那样容易求出它的解．但小敏同学的方法
启发我们，可以用尝试、检验的方法找出方程②的解，即只要将x＝1，2，3，
4，…代入方程②的左右两边，看哪个数能使两边的值相等．这样得到x＝3是
方程的解．
思考如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？
如果
试验根本无法入手又该怎么办？
练习
根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）：
1.某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一组人数调整为第二组人数的一半，应从第一组调多少人到第二组去？
2.小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.
习题6.1
1.检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解：
（1）
，
；
（2）2（y－2）－9（1－y）＝3（4y－1），｛－10，10｝．
2.根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下．
3.小赵去商店买练习本，回来后问同学：
“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20本，结果便宜了1.60元．你猜原来每本价格多少?
”你能列出方程吗？
§6.2解一元一次方程
1.方程的简单变形
联想测量一些物体的质量时，我们经常将它们放在天平的左盘内，在右盘内放
上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，我们就可测得该物体的
质量．如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以发现天平
依然平衡；如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同
时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡．图6.2.1～6.2.3反映了由天平联想到的几个方程的变形．
x+2=5
x=5-2
图6.2.1
3x=2x+2
3x-2x=2
图6.2.2
2x=6
x=6
2
图6.2.3
归纳我们可以看到，方程能够这样变形：
方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变．
通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解．例1 解下列方程：
（1）x－5＝7；
（2）4x＝3x－4．解
（1）由x－5＝7，
两边都加上5，得x＝7＋5，即 x＝12．
（2）由4x＝3x－4，两边都减去3x，得4x－3x＝－4，即 x＝－4．
概括像这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形
叫做移项（transposition）．例2 解下列方程：
（1）－5x＝2；
（2）
x＝
．解
（1）方程两边都除以－5，得 x＝
．
（2）方程两边都除以
（或乘以
），得 x＝
×
，
即x＝
．这里的变形通常称作“将未知数的系数化为1”．
概括以上例1和例2解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的
形式．
练习
1．列方程的变形是否正确？
为什么？
（1）由3＋x=5,得x=5+3;
（2）由7x=-4,得x=-
;
（3）由
得y=2;（4）由3=x-2,得x=-2-3.
2.（口答）求下列方程的解：
（1）x-6=6;
（2）7x=6x-4;
（3）-5x=60;（4）
.
3.用方程的变形解§6.1中问题1所列出的方程.
做一做
利用方程的变形，求方程2x＋3＝1的解，并和同学讨论与交流.
例3 解下列方程：
（1）8x＝2x－7；
（2）6＝8＋2x；（3）
解
（1）8x＝2x－7， 8x－2x＝－7， 6x＝－7， x=
.
（2）6＝8＋2x， 8＋2x＝6， 2x＝－2， x＝－1． （3）
，
，
y=
练习
解下列方程：
1.3x＋4＝0. 2.7y＋6＝－6y
3.5x＋2＝7x＋8 4.3y－2＝y＋1＋6y.
5.
. 6.1－
x＝x＋
习题6.2.1
1.解下列方程：
（1）18＝5－x;
（2）
;
（3）3x－7＋4x＝6x－2;（4）10y＋5＝11y－5－2y;
（5）a－1＝5＋2a;（6）0.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x.
2.解下列方程：
（1）2y＋3＝11－6y
（2）2x－1＝5x＋7
（3）
x－1－2x＝－1;（4）
x－3＝5x＋
3.已知y1＝3x＋2,y2＝4－x.
（1）当x取何值时，y1=y2?
（2）当x取何值时，y1比y2大4？
2.解一元一次方程
前面我们遇到的一些方程，例如44x＋64＝328，
13＋x＝
（45＋x）
等等，有一个共同特点，它们都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程（linearequationwithoneunknown）． 我们再一起来解几个一元一次方程． 例4 解方程：
3（x－2）＋1＝x－（2x－1）． 解 原方程的两边分别去括号，得
3x－6＋1＝x－2x＋1，
3x－5＝－x＋1， 3x＋x＝1＋5， 4x＝6， x＝
．
练习
1．解下列方程：
（1）5（x＋2）＝2（5x－1）;
（2）（x＋1）－2（x－1）=1－3x;
（3）2（x－2）－（4x－1）=3（1－x）.
2．列方程求解：
（1）当x取何值时，代数式3（2－x）和2（3+x）的值相等？
（2）当y取何值时，2（3y+4）的值比5（2y-7）的值3？
3．解§6.1中问题2所列出的方程.
例5 解方程：
解 由原方程得3（x－3）－2（2x＋1）＝6，3x－9－4x－2＝6，3x－4x＝6＋9＋2，－x＝17，x＝－17．在上述解方程的过程中，第一步是方程的两边都乘以同一个数6，使方程中的系数不出现分数．这样的变形通常称为“去分母”．
讨论在以上各例解一元一次方程时，主要进行了哪些变形？
如何灵活运用这些变形合理、简洁地解一元一次方程？
练习
1．指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正：
（1）解方程：
（2）解方程：
解：
15x-5=8x+4-1,解：
2x-2-x+2=12-3x
15x-8x=4-1+5,2x-x+3x=12+2+2
7x=84x=16
x=4.
2．解下列方程：
（1）
（2）
例6 如图6.2.4，天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？
分析设应从盘A内拿出盐xg，可列出表6.2.1．
解 设应从盘A内拿出盐xg放到盘B内，则根据题意，得51－x＝45＋x．
解这个方程，得x＝3．
经检验，符合题意．
答：
应从盘A内拿出3g盐放到盘B内．
例7学校团委组织65名新团员为学校建
花坛搬砖．女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学？
分析设新团员中有x名男同学，可列出表6.2.2．
解 设新团员中有x名男同学，则根据题意，得32x＋24（65－x）＝1800．
解这个方程，得x＝30．
经检验，符合题意．
答：
新团员中有30名男同学．
练习
1.学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间?
2.将上题的分析和列得的方程与例7相比较，看看是否相似.将你的想法和同学交流一下.
3．练习第1题中，若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”，你该如何求解？
归纳
用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关
系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.
这一过程也可以简单地表述为：
其中分析和抽象的过程通常包括：
（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；
（2）找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；
（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得
到方程.
在设未知数和解答时，应注意量的单位.
习题6.2.2
1．解下列方程：
（1）
;
（2）
2．解下列方程：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
3．
（1）在等式S=
中，已知S=279，b=7，n=18，求a的值.
（2）已知梯形上底a=3，高h=5，面积S=20,根据梯形的面积公式
S=
，求下底b的长.
4．球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色块数比白色块数的一半多2，问两种皮块各有多少？
5．学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区.这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？
6．学校所在地的出租车计价规则如下：
行程不超过3千米，收起步价8元，超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?
阅读材料
丢番图的墓志铭与方程
古希腊数学家丢番图（Diophantus），是以研究一类方程（不定方程）著称于世的数学家.在他的墓碑上，刻写着这样一段墓志铭：
坟中安葬着丢番图，
多么令人惊讶，
它忠实地记录了所经历的道路.
上帝给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，
享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓.
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途.
请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄.
你知道吗?
现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”上，经破译，上面都是一些方程，共85个问题.如“啊哈，它的全部，它的
，是19”；“一堆，它的
，居然是33”.译得更明白一点就是：
在我国，“方程”一词最早出现于东汉初年（公元前后）的数学经典著作《九章算术》的第八章“方程”，到唐、宋时期，对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段.这时所创立的用“天元术”解题，从设未知数到列方程都和现代数学十分相似.也就是在这段时期，方程的知识从中国传入日本.
§6.3实践与探索
问题1用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形．
（1）使长方形的宽是长的
，求这个长方形的长和宽．
（2）使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积．（3）比较
（1）、
（2）所得两个长方形面积的大小．还能围出面积更大的
长方形吗？
讨论每小题中如何设未知数？
在小题
（2）中，能不能直接设面积为x平方
厘米？
如不能，该怎么办？
探索将题
（2）中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即
长与宽相等），长方形的面积有什么变化？
练习
1．一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱,它的高是多少?
（精确到0.1厘米,π取3.14）
2．在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中，能否完全装下？
若装不下，那么瓶内水面还有多高？
若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.
读一读
本节问题1中，通过探索我们发现，长方形的周长一定的情况下，它的长
和宽越接近，面积就越大.当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大，通过
以后的学习，我们就会知道其中的道理.
有趣的是：
若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的
不规则图形），面积最大的是圆.这里面的道理需要较为高深的学问.将来你有兴趣去认识它吗？
问题2小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄．今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？
讨论扣除利息的20%，那么实际得到利息的多少？
你能否列出较简单的方程？
练习
填 空：
1.
（1）学校图书馆原有图书a册,最近增加了20%,则现在有图书_______册;
（2）某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,设去年产煤x万吨,则可列方程__________________;
（3）某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是_________元.
2.肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元.问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）?
习题6.3.1
1.一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，求这个角的度数．2.某市去年年底人均居住面积为11平方米，计划在今年年底增加到人均13.5
平方米．求今年的住房年增长率（精确到0.1%）．
3.某银行设立大学生助学贷款，分3～4年期，5～7年期两种．贷款年利率分
别为6.03%、6.21%，贷款利息的50%由国家财政贴补．某大学生预计6年
后能一次性偿还2万元，问他现在大约可以贷款多少（精确到0.1万元）？
4.解答下列问题，并比较它们的区别：
（1）师徒两人检修一条长180米的自来水管道，师傅每小时检修15米，徒弟每小时检修10米．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？
（2）师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成要10小时，徒弟单独完成要15小时．现两人合作，需多少小时完成？
5.学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：
如果多
购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的
利润．求每套课桌椅的成本．
问题3课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个电话而离开教室．调皮的小刘说：
“让我试一试．”上去添了“两人合作需几天完成?
”有同学反对：
“这太简单了!
”但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来：
有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的……李老师回教室后选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：
现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元．如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
试解答这一问题，并与同学们一起交流各自的做法．
习题6.3.2
1.试将下题内容改为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列得的方程相同或相似：
食堂存煤若干吨，原来每天烧煤3吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量．
2.中国民航规定：
乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票．一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付1323元，求该旅客的机票价．
3.为庆祝学校运动会开幕，初一
（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半同学参加制作，每天制作40面。
完成了三分之一以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务。
假设每人制作的效率相同，问共制作小旗多少面？
阅读材料
2＝3吗
小红和小兵一起讨论方程
的解法.
小红说，移项求解：
x=1
小兵边听边想，只见他写下了如下的式子：
2＝3
小红一看，怎么，2＝3？
！
你能帮助他们解开这个谜吗？
小 结
一、知识结构
二、注意事项
1．对一元一次方程的认识，要联系生活实际，在学习中体会：
方程是反映
现实世界中数量相等关系的一个有效的数学模型.
2．解一元一次方程时，既要注意合理地进行方程的变形，也要注意根据方程
的特点灵活运用.
3．在应用一元一次方程解实际问题时，要学会分析问题的本领.能根据题
意，将实际问题转化为数学问题，特别是寻求主要的数量相等关系，列出方程.求得方程的解后，要注意检验所得结果是否符合实际问题的要求.
复 习 题
A组
1．解下列方程：
（1）
（2）
（3）4x＋3＝2（x－1）＋1； （4）
（5）
（6）
2．
（1）x取何值时，代数式4x－5与3x－6的值互为相反数？
（2）k取何值时，代数式
的值比
的值小1？
3．课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组．问这些学生共有多少人？
4．一种药品现在售价每盒56.10元，比原来降低了15%，问原售价多少元？
5．用一根直径12厘米的圆柱形铅柱，铸造10只直径12厘米的铅球，问应截取多长的铅柱（球的体积为
R3）？
6．一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数．
7．一年级三个班为希望小学捐赠图书．1班捐了152册，2班捐书数是三个班级的平均数，3班捐书数是年级总数的40%，三个班共捐了多少册？
B组
8．
（1）
（2）
（3）
（4）
9．已知x＝
是方程
的解，求m的值．
10．当k取何值时，方程2（2x－3）＝1－2x和8－k＝2（x＋1）的解相同？
11.学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种，已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵，杉树的棵数比总数的三分之一少14棵．两类树各种了多少棵？
12．一家商店将某型号彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款．求每台彩电的原售价.
13.从甲地到乙地公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程近了30
千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4个小时即可到达。
求甲乙两地之间高速公路的路程。
14．小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿400米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间，叔叔跑3圈．一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇．求两人的速度．第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇．你能先给小王预测一下吗？
C组
15．当x＝2时，代数式2x2＋（3－c）x＋c的值是10，求当x＝－3时这个代
数式的值．
16.解下列方程：
（1）︱x－3︱＝2
（2）︱2x＋1︱＝5
17．一批树苗按下列方法依次由各班领取：
第一班取100棵和余下的
，第二班取200棵和余下的
，第三班取300棵和余下的
，……最后树苗全部被取完，且各班的树苗数都相等．求树苗总数和班级数．
18．小赵为班级购买笔记本作晚会上的奖品．回来时向生活委员小陈交账说：
“一共买了36本，有两种规格，单价分别为1.80元和2.60元．去时我领了100元，现在找回27.60元．”小陈算了一下，说：
“你肯定搞错了．”小赵一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里原有的2元钱一起当作找回的钱款给了小陈．请你算一算两种笔记本各买了多少？
想一想有没有可能找回27.60元，试应用方程的知识给予解释．
19．初一（5）班有46名学生，安排值日生时要考虑：
周一至周五每天除打扫教室外，还要打扫学校包干区；包干区面积不大，平时人数可少些，周五大扫除要和打扫教室人数差不多；周一早晨需安排1至2名同学整理教室；每位同学每周轮到一次值日．请你代理劳动委员，安排值日人数．
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